從Berwald空間到Riemann空間的射影變換

程新躍，沈玉玲，馬小玉

(重慶理工大學 數學與統計學院，重慶　400054)

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引用格式：程新躍，沈玉玲，馬小玉.從Berwald空間到Riemann空間的射影變換[J].重慶理工大學學報(自然科學版)，2016(1):107-110.

Citation format：CHEN Xin-yue, SHEN Yu-ling, MA Xiao-yu.Projective Changes from Berwald Spaces to Riemann Spaces[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(1):107-110.

從Berwald空間到Riemann空間的射影變換

程新躍，沈玉玲，馬小玉

(重慶理工大學 數學與統計學院，重慶400054)

摘要：給定一個n維緊致無邊的微分流形M，已證明：如果≤sspan，那么從Berwald空間)到Riemann空間(M,F)的任何逐點C-射影變換均是平凡的，并且關于F是平行的。這里，表示的Ricci曲率張量關于F的跡，sspan:=trspanRic是F的數量曲率。特別地：如果，那么從Riemann空間到另一個Riemann空間(M,F)的任何射影變換都是平凡的。

關鍵詞：芬斯勒度量；Berwald空間；射影變換；Ricci曲率；數量曲率

1預備知識

這一部分將給出芬斯勒幾何中的一些定義。相關術語和記號可查閱文獻[1-3]。給定芬斯勒流形(M,F)。F誘導一個射流G,其定義為

其中

Gi定義為

Gi被稱為F的測地系數。芬斯勒度量F的測地線σ=σ(t)由以下方程描述：

黎曼幾何中的黎曼曲率概念可以推廣到芬斯勒幾何中。對于任一個向量y∈TxM{0}，黎曼曲率Ry:TxM→TxM可定義為

(1)

其中

(2)

Ry是滿足Ry(y)=0的線性變換，我們稱R為黎曼曲率，令

(3)

(4)

易見

(5)

(6)

在式(3)和式(4)的基礎上，通過直接計算可得

(7)

(8)

2Finsler度量的射影變換

(9)

式中P稱為射影因子。若P=0，稱這個射影變換是平凡的，見文獻[2，4-5]。

由式(9)可以得到

(10)

(11)

(12)

這里用到了以下約定：

(13)

其中P;j表示P在(M,F)上的協變導數，即

(14)

將式(12)關于yh求導，再利用式(4)可得

(15)

(16)

定義1如果Qij=0，那么芬斯勒度量的射影變換稱為C-射影變換。

此時射影因子P就是F，則有Pi=yi/F，其中yi=gij(x,y)yj。由于F;i=0,則可以得到

為下一步研究需要提供以下引理：

引理1一個Berwald空間在射影變換下的像仍為Berwald空間，當且僅當射影因子P滿足下面方程[6-7]：

(17)

很明顯，如果射影變換滿足式(17)，那么射影因子P可以寫為以下形式

(18)

其中Ai(x)與y無關。

3主要定理

(19)

進一步假設射影變換是C-射影變換。由定義1和式(13)、(19)可知?Aj/?xk-?Ak/?xj=0,即協變向量場Ai(x)是一個局部梯度向量場。因此，M上存在一個光滑函數A(x)使得?A/?xi=Ai(x)，此時可以得到

因此式(15)、(16)變為

(22)

由此，可得如下定理：

證明用ghj縮并式(21)，得

即

(23)

即

(24)

參考文獻：

[1]BAO D,CHERN S S,SHEN Z.An introduction to Riemann-Finsler geometry[M].Springer Science & Business Media,2012.

[2]CHEN X,SHEN Z.A comparison theorem on the Ricci curvature in projective geometry[J].Annals of Global Analysis and Geometry,2003,23(2):141-155.

[3]SHEN Z.Differential geometry of sprays and Finsler spaces[M].[S.l.]:Kluwer Academic Publishers,2001.

[4]MATSUMOTO M.Projective changes of Finsler metrics and projectively flat Finsler spaces[J].Tensor,NS,1980,34:303-315.

[5]SHEN Z.On projectively related Einstein metrics in Riemann-Finsler geometry[J].Mathematische Annalen,2001,320(4):625-647.

[6]FUKUI M,YAMADA T.On projcctive mappings in Finsler geometry[J].Tensor,NS,1981,31:216-222.

[7]ANTONELLI P L,INGARDEN R S,MATSUMOTO M.The theory of sprays and Finsler spaces with applications in physics and biology[M].[S.l.]:Springer Science & Business Media,2013.

[8]SHEN Z.Lectures on Finsler Geometry[M].[S.l.]:World Scientific Co.,Singapore,2001.

(責任編輯陳艷)

Projective Changes from Berwald Spaces to Riemann Spaces

CHEN Xin-yue, SHEN Yu-ling, MA Xiao-yu

(College of Mathematics and Statistics,

Chongqing University of Technology, Chongqing 400054, China)

Abstract:Given a compact and boundaryless n-dimensional differentiable manifold M, we showed that any pointwise C-projective changes from a Berwald space ) to a Riemann space (M,F) is trivial if ≤sF, where denotes the trace of the Ricci curvature of with respect to F and sF:=trFRic is the scalar curvature of F. In particular, we showed that any projective change from a Riemann space ) to another Riemann space (M,F) is trivial if ≤sF.

Key words:Finsler metric; Berwald space; projective change; Ricci curvature; scalar curvature

文章編號：1674-8425(2016)01-0107-04

中圖分類號：O186.1

文獻標識碼：A

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.01.019

作者簡介：程新躍(1958—), 男, 重慶人, 博士，教授, 主要從事微分幾何研究。

基金項目：國家自然科學基金資助項目(11371386); 歐盟FP7(SEVENTH FRAMEWORK PROGRAMME)資助項目(PIRSES-GA-2012-317721).

收稿日期：2015-09-19