論高等數學在經濟分析中的應用

蘇麗（吉林華橋外國語學院 吉林 長春 130117）

論高等數學在經濟分析中的應用

蘇麗
（吉林華橋外國語學院 吉林 長春 130117）

目前，金融經濟水平在飛速發展，經濟數學在金融領域中也顯示出了越來越重要的作用。一些金融類高校在經濟數學的教學過程會把經濟數學有效地結合到金融經濟專業課中，這也會導致未來經濟數學的教學改革。數學方法在現代經濟理論的分析中可以用大量的數理模型從理論框架和實驗檢驗這兩個方面不斷推動現代經濟分析的完善以及發展。本文從金融經濟中的實際問題展開，結合專業課的內容，對經濟數學在金融經濟分析里的應用進行一些探討。

經濟數學；經濟分析；數學模型

1.引言

由于現代社會經濟的發展壯大，對一些金融與經濟類的專業問題也逐漸從過去的定性分析轉而成為定量和定性相結合的分析方式。而廣泛地應用數學方法和理論可以解決許多實際的經濟問題，可以將復雜轉為簡單，可以更精確地表達研究出來的成果，金融與經濟分析中引入數學方法可以更好地推動自身的發展。

社會經濟行為和經濟現象作為現代經濟分析的對象很難在人為控制的環境中進行反復的實驗，因為受到了多方面諸如政治、社會、文化等的影響因素的牽制表現出了巨大的動態演變性和問題復雜性。此外，數學工具在有些問題上也產生了一些濫用和誤用現象，這些問題還需要在實際中的使用進行不斷改進和完善，以此更好地將數學工具應用到經濟分析中。

2.數學在金融與經濟分析中的影響和作用

經濟分析的形成和發展與引入數學方法是密不可分的，在經濟學中數學已經占據著越來越重要的地位，尤其在是構建大量的數理分析模型以及計量經濟學方法的應用，從理論分析和實證檢驗這雙重方面都進行著嚴密和準確的分析，從而推動現代經濟分析的發展和進步。

2.1 數學方法使經濟分析可以簡化研究的對象，能夠根據復雜的社會經濟現象中的關鍵變量和關鍵因素來討論它們之間的因果關聯。在這里數學方法發揮了三種作用：一是著重關鍵變量，忽視次要變量。將數量和種類都簡化，讓變量之間的分析和因果分析盡可能顯得簡便；二是觀察關鍵變量，分析社會經濟的總體特征以及運作規律，排除次要因素的阻礙和不利影響；三是緊扣人類經濟活動還有社會經濟中的重要特征，觀察社會經濟現象和人類經濟活動的關聯和特征規律。

2.2 引入數學方法利于統一與完善現代經濟分析法，更好地描述經濟分析中的一些基本理論和概念。因為數學方法有著嚴密和邏輯性強的特征，對經濟分析方法是彌補性的一個工具，能夠準確地定義經濟分析中的一些基本的概念比如是需求、供給、效用、偏好等詞，使用這些概念可以避免產生歧義與學術爭辯；規范經濟分析，能夠在各方面促進經濟分析方法的發展和補充，配合與促進；對經濟分析的原理可以進行科學系統的闡述、說明與論證，明確原理使用的邊界和條件，比如薩伊定理、供求原理、凱恩斯定理等。

2.3 引入數學方法還可以在一定條件下對經濟分析里的相關的結論和未知命題進行邏輯上的合理驗證，證明真偽。采用數學工具可以從假設條件中得出一個一致性的推導結論，驗證推理過程是否具有準確性和邏輯性，然后對過程驗證是證實還是證偽；數學方程可以對設定的經濟環境作出精確的描述，能除去模糊的狀態，清晰地界定變量之間的復雜關系；對經濟分析結論作出邏輯檢驗，然后對特定結論或者命題的前提條件進行分析，最后驗證真偽。

2.4 引入數學方法能夠拓寬經濟分析的思路和框架，科學地描述出人類經濟活動以及社會經濟現象，避免模糊與誤差問題，把之前沒有或者難以納入到人類經濟或者社會活動中的現象納入到了現代經濟分析框架中來，拓展了現在理論和分析的框架解釋范圍；彌補了定性或者描述性的研究工作在精確方面的欠缺，增加了準確度和提高了解釋力；綜合比較了不同的理論和分析的框架，能促進現代經濟分析不斷進步發展，構建新理論與解釋框架，對現在新出現的一些相關經濟活動作出科學合理的解釋；還為各個經濟活動的主體比如企業、政府以及個體消費者等提供了方法論的工具。

2.5 引入數學方法能夠對金融與經濟分析中獲得的許多命題、原理以及定理進行恰當的檢驗，分析經濟現狀是否吻合現實的人類經濟活動和社會經濟，構建出計量經濟分析模型，做出假設檢驗和參數估計，觀察現實數據和理論模型的擬合程度；根據數學方法選擇樣本數據以及經典案例，以此提供合理、可靠、科學和準確的驗證證據；將實證中分析出的結論用數學的手法進行理論解析和對策分析，評價經濟結論、命題與原理。

3.數學理論在經濟學中的基本應用

在經濟數學中，微積分里的極限，導數和微分方程以及線性代數里的矩陣等都是十分重要的，也是經濟問題中研究與解決問題的基本方法。

3.1 運用函數模型研究經濟問題

作為經濟數學的基礎，函數經常被運用來解決經濟中的實際問題。比如用經濟數學知識去研究在市場關系中的供求問題，人們的價值觀、消費水平、商品的可替代程度、價格等都是市場中的影響因素，尤其價格是最重要的因素。因此，用函數構造需求和供給的關系。

一般來說，需求函數是一個減函數，價格上漲會引起需求量的減少。供給函數是一個增函數，價格上漲會帶動供給量增加。在市場經濟的供需變化中，價格是使供需兩方達成一致的成交價格，也就是說價格決定問題。在產品價格和技術水平不變的情況下，就自然形成了成本與產量之間的成本函數關系：C(x)=C0+C1(x)。而收入是生產方生產商品得到的收入，因為生產商品的時候和成本有關，還和商品收入有關，商品銷量和收入的關系形成了收益函數關系R(x)=xp，利潤則是生產方在售出商品后扣除成本之后的剩余部分，是產量函數。

3.2 極限理論在經濟分析中的應用

很多數學理論和概念將極限理論作為一個基礎才能引導出許多結論來，因此說極限理論就是經濟數學的靈魂。有句古話“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”就是對極限理論的一個精準描述。而且，極限思想在經濟數學中的金融管理、經濟管理和經濟分析的領域中也占有了非常重要的地位，比如經濟中許多事物增長衰減的一個定律，人口增長以及設備折舊的價值等都用到了極限思想。還有經濟學里的儲蓄連續復利更是具體體現了極限思想在經濟數學中的重要分析應用。

3.3 導數在經濟分析中的應用

在經濟學中導數也有邊際的概念，從而使經濟學研究對象從常量變為了變量，這也是數學理論的一個極為經典的運用，在經濟學中有著重要的含義。

邊際函數包括邊際收益函數、邊際成本函數、邊際需求函數以及邊際利潤函數等，用導數來研究變化率的問題能夠準確反映出微小變化發生的自變量和因變量，比如用來研究人口問題、種群變化率的問題等。實質上，邊際分析就是用導數來研究經濟學中函數的變化量的，即為自變量發生在實際含義里的微小變化的時候，相應的因變量所產生的變化量。舉一個成本函數的例子，先算出一個產品在固定產量下的邊際成本，這個成本也就是再生產出一個這種產品花費的成本量，對比平均成本，根據結果決定該產品生產量究竟該擴大還是縮小，也就是說，邊際成本如果低于平均成本的話，那么需要擴大生產，而邊際成本高于平均成本則應該減少生產量。此外，導數還可以用來研究經濟分析中的彈性問題，也就是函數的相對變化率問題。

舉例來說，一個工廠對其生產的產品情況作出大量的統計和分析后得到總利潤L(Q)(元)和每月的產量Q(噸)之間的關系是：L=L(Q)=250Q-5Q2，設每月產出比如20噸，25噸，35噸的邊際利潤，然后作出經濟學中的解釋。邊際利潤函數L′(Q) =250-10Q，則L′(Q)|Q=20=L′(20)=50，L′(Q)|Q=25=L′(25)=0，L′(Q)|Q=35=L′(35)=-100。這個結果說明，當生產量為每月20噸的時候增加一噸就會使利潤增加50元；而當產量為每月25噸的時候，再加一噸，利潤則不變；當產量為每月35噸的時候，再加一噸，那么利潤會減少100元。這個結果充分說明了，對生產方而言，不是說生產的產品數越多利潤就越高。

導數還經常用在經濟中的最優選擇問題中，這是經濟決策中的重要根據，也是相當重要的。最優化問題包括了最大利潤、最優收入分配、最佳資源配置和最大經濟效益等問題，其中還用到了求極值的數學基本方法。舉例來說，設某工廠一個月生產某產品Q件時, 總共花費成本為C(Q)=200+5Q(萬元), 所得總收益為R(Q)=10Q-0.01Q2, 計算每個月生產數為多少時能夠獲得最大利潤？根據題意知：L(Q)=R(Q)-C(Q)=10Q-0.01Q2-5Q-200=5Q-0.01Q2-200(0≤Q<1)，令L′(Q)=5- 0.02Q=0得Q=250。又因為L"(Q)=-0.02<0，L"(250)<0。因此，L(250)=425(萬元) 是L一個極大值，所以當每月生產250件產品的時候，能夠獲得最大利潤是425萬元。

3.4 微分方程在經濟問題中的實際應用

在一些實際問題中經常遇到十分復雜的函數關系，如何能夠客觀地運用函數建立反應量與量之間的關系是一個重要的問題。但是建立變量和導數或者微分之間的關系卻是比較容易的，因此用到了微分方程。微分方程就是一個方程中含有自變量、未知函數和它的導數或者微分。在經濟學的分析中是經常能用到微分方程的，比如可以用于商品銷售的預測當中，可以建立微分方程，其中商品增長速度已知，可以算出銷售量；預測可再生資源產量；分析商品在市場中的供需關系函數；分析國民收入、投資和儲蓄的問題等等。

另外，經濟學中還可能碰到關于兩個或者兩個以上更多自變量的函數問題，這樣就先把一個變量看作是常量，按照一個變量的方法先解決出該問題，通常可用偏導數的理論還解決。更復雜的問題還可以同微分、全微分等的知識來求解。比如說計算近似值，可以利用微分中的推到公式求出。

4.數學在金融領域的主要應用

4.1 資產估價模型

不同時間點上，現金流動無法直接進行互相加減的比較，所以資金是具有時間價值的。美國經濟學家歐文就提出了資產目前的價值和未來現金流量貼現值之和相等這一思想，建立了資產估價模型的基礎，最簡單的模型也就是復制公式：投資未來時刻設為t的現金流量是C(t)，貼現率R(t)，期數n，總現值PV，那么PV=∑C(t)[1+R(t)]-1，這個表達式就是用來計算證券投資價值資本化的基礎，具有多種表現形式。美國投資理論家威廉斯有提出了貼現現金流模式DCF，說明了股票內在價值和未來股息貼現值之和相等：P(t)=∑∞k=1D(t+k)(1+i)-(1+k)，P是時刻t的股票價格，D(t+k)是時刻t+k時獲得股息，i是貼現利率。之后以此公式為基礎還產生了其他條件下的價值模型，比如股息零增長模型、固定收入證券價值模型等。

4.2 證券投資組合模型

由于金融市場的不確定性，在投資時候要注意和收益會存在時間的滯后，這樣就有很多未來不確定性的因素影響，可能導致投資者資金虧損，這就是投資風險。用數學工具來表達，股票未來價格是一個隨機變量，不同時間的股票不能比較價格，因此將價格序列轉化為百分數表示的收益率序列表，將收益率作為隨機變量就能用數學處理了。比如收益率R的數學期望E(R)是未來收益率的點值預測，R的方差D(R)=σ2用來測量未來實際收益率和預期收益率中偏離程度的數字特征,也就是采用方差(或者標準差)衡量關于投資風險的大小。

4.3 均值方差模型

用這個模型可以將金融學由描述性科學轉為分析性的科學，也就是投資組合選擇理論。當投資時候選擇全部風險資產，模型的表述就是：X=(x1,x2,…,xn)T是一個n維的投資向量,而xi(1≤i≤n)是投資比例；I=(1,1,…,1) T；E(R)=[E(R1),E(R2)…E(Rn)]T，其中E(Ri)(i=1,2,…,n)是資產的期望收益率。

5.數學在現代經濟學中面臨的問題以及前進方向

數學工具在經濟學中也存在一些相應的問題，具體分析數學在經濟學中所面臨的問題以及未來的方向。

5.1 引入數學方法會導致經濟分析對象過于復雜或者過于簡單化，弱化了經濟分析的能力。因為在實際問題中，除了社會現象的一些關鍵因素和關鍵變量，還有其他的許多非關鍵變量與次要變量，但是也有可能轉變為主要因素或者關鍵變量，因此變量之間的相互演化會對現在的經濟分析方法產生不利影響。

5.2 引入數學方法雖然利于經濟分析方法的完善和統一，但是也會導致教條化，使得很多基本的概念和原理脫離了社會現象與人類活動這個實際范圍。因為數學本身強大的邏輯性和嚴密性也會產生對其他學科的研究方法的排擠效應，各個可能使用的分析工具之間會有沖突、矛盾以及不相協調的現象，這樣導致了思路的混亂。

5.3 雖然數學方法可以對各種經濟分析出的命題、原理、定理等進行實證檢驗，但是如果收集樣本數據的方式有限，技術也有限，那么這種驗證也只是理想中的準確度，現實無法達到真正的準確，存在著在假定的條件下對經濟中相關問題和結論不能夠證實的可能性。

5.4 引入數學方法雖然會擴大現在的經濟分析思路在人類活動以及社會現象中的描述，但是也會出現泛數學化、泛模型化等超出數學解釋的應有的邊界，這樣會嚴重阻礙人類的思想進步。人類活動中的實際情況并不會是預算中那么準確的，在有些方面無法用數學精準刻畫，過度定量的話將會導致過于簡單地裁決了現實中多重復雜的問題。

5.5 那么如何針對以上問題進行提升和改進呢？

（1）必須做到提高使用數學方法的合理性、科學性以及嚴謹性，嚴防數學工具被濫用或者誤用。完善數學分析的手段和工具；準確掌握社會經濟中許多變量的演變規律，區別多重變量的類型，避免濫用變量進行關于因果和相關的分析；在分析經濟問題時不能放棄其他好的科學方案，可以試著把數學方法和其他的方法合并利用。

（2）運用數學原理的時候要確保充分地認識與了解了某些方面的局限性和存在的不足問題，避免產生誤差和偏差導致結果的錯誤。防止數學工具被非定義領域內濫用或者誤用，嚴防歧義造成的概念偏差。對無法用數學工具表達的原理和結論要給予尊重，恪守科學上的多樣化研究方法原則。

（3）要牢記數學方法主要是為了研究經濟活動中的人類活動和社會現象，不是某種技能的顯現和脫離現實的教條。經濟分析中的理論和結論都要對人類活動和社會現象能夠作出一定程度上合理的解釋，如果數學方法在其中成為了擺設或者是教條都會喪失本身的應用價值。在使用過程中必須保持案例分析的代表性和典型性，確保數據真實可靠性，盡可能消除掉在驗證過程中產生的偏差，從實際出發而不是簡單地套用，這樣才能提升數學在經濟學中的有效應用。

（4）數學方法中還需不斷推動和改善才能得到更好的應用，成為研究現代經濟分析的可靠的工具，要緊隨時代不停地擴寬思路和框架，提高關于經濟學理論的解釋力。充分研究定量和定性之間的優勢，并做配合與補充，提升分析中的科學性與精確性。把之前未被納入或者很難納入的一些人類活動和社會現象納入到現代經濟分析中，擺脫僵化思想的束縛。適應時代需求，開發出更新更好的分析工具，為使用這些工具的企業、政府以及消費者提供更好、更科學、更先進的理論工具。

6.結語

通過分析復雜的社會經濟系統中含有的經濟變量之間產生的聯系、演變規律以及產生的影響效果，現代經濟分析能夠進一步地研究出經濟運作中的一般規律，還可以為決策主體提供可靠的理論和實踐經驗作為參考。數學方法在經濟分析中占據著非常重要的地位，準確的應用會提升經濟分析的科學性、可靠性和準確性。數學的理論思想和計算方法可以被廣泛應用于許多學科領域中，對于經濟和金融的領域更是離不開數學的理論思想來分析和解決問題。經濟現象通常有許多的影響因素，這門學科也是不容易被量化和定性分析的，并且還具有一定規律的周期性。因此，用數學方法對其進行分析和預測是十分必要的。金融類高等院校所教授的經濟數學是起著核心作用的基礎學科，和金融經濟等學科交叉滲透，對金融、管理和會計等專業課的學習提供了充足的數學知識。隨著數學學科、金融數學以及經濟學科的進步，數學與這些學科會越來越緊密地進行融合，共同促進走向成熟。

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