FIR濾波器的等波紋最佳逼近法優(yōu)化設(shè)計

蔚瑞(渤海大學(xué) 遼寧 錦州 121000)

FIR濾波器的等波紋最佳逼近法優(yōu)化設(shè)計

蔚瑞
(渤海大學(xué) 遼寧 錦州 121000)

本文針對窗函數(shù)設(shè)計法和頻率采樣法在FIR濾波器設(shè)計中存在較大的資源浪費的問題提出采用等波紋最佳逼近法進行優(yōu)化，并且采用MATLAB編程對窗函數(shù)設(shè)計法和該方法進行比較以求能直觀地驗證其優(yōu)越性。

FIR濾波器優(yōu)化設(shè)計；等波紋最佳逼近法；MATLAB仿真

1.引言

在現(xiàn)代信號處理中，例如圖像處理、數(shù)據(jù)傳輸、雷達接收以及一些要求較高的系統(tǒng)對相位要求較為嚴格所以通常采用有限沖激響應(yīng)濾波器即FIR濾波器。設(shè)計該濾波器的方法一般有窗函數(shù)設(shè)計法和頻率采樣法，雖然它們簡單方便，易于實現(xiàn)但都有缺點，總的來說是所設(shè)計的濾波器性價比低，所以FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計就顯得格外重要。

2.FIR數(shù)字濾波器的優(yōu)化設(shè)計

2.1 優(yōu)化設(shè)計準則

優(yōu)化設(shè)計有以下三種方法：均方誤差最小化準則、最大誤差最小化準則和切比雪夫最佳一致逼近。其中均方誤差最小準則就是選擇一組時域采樣值，以使均方誤差最小。這一方法注重的是在整個-π～π頻率區(qū)間內(nèi)總誤差的全局最小，但不能保證局部頻率點的性能，有些頻點可能會有較大的誤差。最大誤差最小化準則（也叫最佳一致逼近準則）是通過改變N個頻率采樣值（或時域h（n）值），使頻響誤差在給定頻帶范圍內(nèi)最大逼近誤差達到最小。

2.2 等波紋最佳逼近法

2.2.1含義及優(yōu)點 使用的最佳化準則是“最大誤差最小化準則”，所謂的等波紋是指用此方法設(shè)計的FIR數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)在通帶和阻帶都是等波紋的，而且分別控制通帶和阻帶波紋幅度。最佳逼近是指在濾波器長度給定的條件下，使加權(quán)誤差波紋幅度最小化。優(yōu)點：階數(shù)相同時，使濾波器的最大逼近誤差最小，也就是通帶最大衰減最小，阻帶最小衰減最大；指標相同時，可使濾波器階數(shù)最低。

2.2.2基本思想 等波紋最佳逼近基于切比雪夫逼近，在通帶和阻帶以|E(ω)|的最大值最小化為準則，采用Remez多重交換迭代算法求解濾波器系數(shù)h（n）。定義加權(quán)誤差函數(shù)E（ω）為

其中W(ω)稱為誤差加權(quán)函數(shù)，用來控制不同頻段（一般指通帶和阻帶）的逼近精度。表示希望逼近的幅度特性函數(shù)，設(shè)計線性相位FIR數(shù)字濾波器時必須滿足線性相位約束條件，表示實際設(shè)計的濾波器幅度特性函數(shù)。

在此方法設(shè)計中，把數(shù)字頻段分為“逼近（或研究）區(qū)域”和“無關(guān)區(qū)域”。逼近區(qū)域通常指通帶和阻帶，而無關(guān)區(qū)域一般指過渡帶。設(shè)計過程中只考慮對逼近區(qū)域的最佳逼近，但是無關(guān)區(qū)寬度不能為零，即不能是理想濾波特性。用等波紋最佳逼近法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器的步驟為：

根據(jù)給定的逼近指標估算濾波器階數(shù)N和誤差加權(quán)函數(shù)W(ω)；

采用remez算法得到濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)。

3.計算機模擬

3.1 已有的編程工具

MATLAB信號處理工具箱函數(shù)中為我們提供了采用經(jīng)典窗函數(shù)法設(shè)計線性相位FIR數(shù)字濾波器的函數(shù)即fir1且具有標準低通、帶通、高通，帶阻等類型。其調(diào)用格式及功能如下：

? hn=fir1(M，wc)，返回6dB截止頻率為wc的M階（單位脈沖響應(yīng)h（n）長度N=M+1）FIR低通（wc為標量）濾波器系數(shù)向量hn，默認選用漢明窗。濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)和向量hn的關(guān)系為：h（n）=hn（n+1） n=0，1，2，…，M。而且滿足線性相位條件：h（n）=hn（N-1-n），其中wc是對π歸一化的數(shù)字頻率，0≤wc≤1。

當wc=[wcl，wcu]時，得到的是帶通濾波器，其-6dB通帶為wcl≤ω≤wcu。

? hn=fir1(M，wc，‘ftype’)，可設(shè)計高通和帶阻FIR濾波器。當ftype=high時，設(shè)計的是高通濾波器；當ftype=stop，且wc=[wcl，wcu]時，設(shè)計的是帶阻濾波器。在設(shè)計高通和帶阻FIR濾波器時，階數(shù)M只能取偶數(shù)（h（n）長度N=M+1為奇數(shù)）。不過，即使用戶將M設(shè)置為奇數(shù)時，fir1也會自動對M加1。

hn=fir1(M，wc，window)，可以指定窗函數(shù)向量window。如果缺省window參數(shù)則默認為漢明窗。

hn=fir1(M，wc，‘ftype’，window)，通過選擇wc，ftype和window參數(shù)可以設(shè)計各種加窗濾波器。

而remez和remezord是用來實現(xiàn)線性相位FIR數(shù)字濾波器的等波紋最佳逼近設(shè)計的MATLAB信號處理工具箱函數(shù)。下面介紹這兩種函數(shù)的調(diào)用格式和功能：

remez

remez函數(shù)實現(xiàn)線性相位FIR數(shù)字濾波器的等波紋最佳逼近設(shè)計。其調(diào)用格式有以下幾種分別為：

?hn=remez（M，f，m，w）%最常用的格式

調(diào)用結(jié)果返回單位脈沖響應(yīng)向量hn。remez函數(shù)的調(diào)用參數(shù)（M，f，m，w）一般通過調(diào)用remezord函數(shù)來計算。調(diào)用參數(shù)含義為：M為FIR數(shù)字濾波器階數(shù)，hn 長度N=M+1。f是邊界頻率向量，0≤f≤1，要求f為單調(diào)增向量（即f（k）< f（k+1），k=1，2，…），且從0開始，以1結(jié)束，1對應(yīng)數(shù)字頻率ω=π（模擬頻率，表示時域采樣頻率）。m是與f對應(yīng)的幅度向量，m與f長度相同，m（k）表示頻點f（k）的幅度響應(yīng)值。f和m給出希望逼近的幅度特性，w是誤差加權(quán)向量。

?hn=remez(M，f，m)

設(shè)計一個M階FIR數(shù)字濾波器，其頻率響應(yīng)在數(shù)組f 和m中給定，含義與上述情形相似，只是數(shù)組w中的值均為1。

?hn=remez（M，f，m，w，ftype）

含義與上述情形均類似，只有當ftype是字符串“hilbert”或“differentiator”時，它相應(yīng)地設(shè)計數(shù)字希爾伯特變換器或數(shù)字微分器。

對于數(shù)字希爾伯特變換器，數(shù)組f中的最低頻率不能等于0，最高頻率不能等于1；而對于數(shù)字微分器來說，矢量m不給出每個帶中預(yù)期的斜率，而是給出預(yù)期的幅度。

remezord

remezord函數(shù)可根據(jù)逼近指標估算等波紋最佳逼近FIR數(shù)字濾波器的最低階數(shù)M、誤差加權(quán)向量w和歸一化邊界頻率向量f，使濾波器在滿足指標的前提下造價最低。其返回參數(shù)作為remez函數(shù)的調(diào)用參數(shù)。其調(diào)用格式為：

[M，fo，mo，w]=remezord(f，m，rip，F(xiàn)s)

參數(shù)含義說明:f與remez中的類似，這里f可以是模擬頻率（單位是Hz）或歸一化數(shù)字頻率，但必須從0開始，到（用歸一化頻率對應(yīng)1）結(jié)束，而且其中省略了0 和兩個頻點。為采樣頻率，缺省時默認=2Hz。但是f的長度（包括省略的0和兩個頻點）是m的兩倍，即m中的每個元素表示f給定的一個逼近頻段上希望逼近的幅度值。rip表示f和m描述的各逼近頻段允許的波紋幅度（幅頻響應(yīng)最大偏差），f的長度是rip的兩倍。

所以，調(diào)用這兩個函數(shù)設(shè)計線性相位FIR數(shù)字濾波器的關(guān)鍵在于要根據(jù)設(shè)計指標求出remezord函數(shù)的調(diào)用參數(shù)f、m、rip和。

3.2 編程驗證

以設(shè)計FIR數(shù)字低通濾波器為例，相應(yīng)的指標為：

其中含義如下：

首先對所需指標進行估算可以得到：選擇凱塞窗可以降低濾波器階數(shù)。

3.2.1使用凱塞窗設(shè)計的MATLAB程序如下：

fp=1500；fs=2500；rs=40；Fs=10000；

wp=2*pi*fp/Fs；ws=2*pi*fs/Fs；

Bt=ws-wp； %計算過渡帶寬度

alph=0.5842*(rs-21)^0.4+0.07886*(rs-21)； %計算kaiser窗的控制參數(shù)a

M=ceil((rs-8)/2.285/Bt)； %計算kaiser窗所需階數(shù)M

wc=(wp+ws)/2/pi；

hn=fir1(M，wc，kaiser(M+1，alph))；%調(diào)用kaiser計算低通FIRDF的h（n）

運行結(jié)果如下圖：

可以看到M=23即使用kaiser窗設(shè)計的濾波器階數(shù)為23。

3.2.2使用等波紋最佳逼近法設(shè)計的MATLAB程序如下：

Fs=10000；f=[1500，2500]；m=[1，0]；

rp=1；rs=40；

dat1=(10^(rp/20)-1)/(10^(rp/20)+1)；

dat2=10^(-rs/20)；

rip=[dat1，dat2]；

[M，fo，mo，w]=remezord(f，m，rip，F(xiàn)s)；%邊界頻率為模擬頻率（Hz）時必須加入采樣頻率

M=M+1； %估算的M值達不到要求，加1后滿足要求

hn=remez(M，fo，mo，w)；

運行結(jié)果如下圖：

可以看到M=15即使用等波紋最佳逼近法設(shè)計的濾波器階數(shù)為15。

綜上，我們可以從MATLAB編程運行的結(jié)果直觀地看到：指標相同時，即使用等波紋最佳逼近法設(shè)計可使濾波器階數(shù)明顯降低。

3.2.3同時用窗函數(shù)和等波紋最佳逼近設(shè)計相同階數(shù)的FIR數(shù)字濾波器

以設(shè)計一個20階FIR低通濾波器為例，要求如下：

MATLAB程序如下：

fp=1500；fs=2500；Fs=10000；

wp=2*pi*fp/Fs；ws=2*pi*fs/Fs；

M=20；n=M+1；

wc=(wp+ws)/2/pi；

hn1=fir1(M，wc)；% 默認采用漢明窗設(shè)計濾波器

[h，w1]=freqz(hn1)；%計算濾波器的頻率響應(yīng)

f=[0，0.3，0.5，1]；

m=[1，1，0，0]；

hn2=remez(M，f，m)；%采用remez設(shè)計濾波器

[hh，w2]=freqz(hn2)；%計算濾波器的頻率響應(yīng)

figure(1)

plot(w1/pi，abs(h)，w2/pi，abs(hh)，f，m)；grid on%繪制濾波器幅頻響應(yīng)

legend('fir1'，'remez'，'理想特性')；%給出圖例

xlabel('w/pi')；ylabel('幅度')

figure(2)

plot(w1/pi，20*log10(abs(h))，w2/pi，20*log10(abs(hh)))； %繪制損耗函數(shù)

grid on

legend('fir1'，'remez')；%給出圖例

xlabel('w/pi')；ylabel('幅度/dB')

figure(3)

impz(hn1，n)；grid on%繪制單位脈沖響應(yīng)

xlabel('n')；

ylabel('h(n)')

figure(4)

impz(hn2，n)；grid on%繪制單位脈沖響應(yīng)

xlabel('n')；

ylabel('h(n)')

程序運行后可得：

幅頻響應(yīng)損耗函數(shù)

結(jié)論：從幅頻響應(yīng)可以直觀地看到用等波紋最佳逼近法設(shè)計FIR低通濾波器相較窗函數(shù)設(shè)計法更接近于理想特性。但是由于remez要求等波紋的特點，其在通帶內(nèi)的振動幅度較大；由損耗函數(shù)可以清楚地看出阻帶的波紋變化曲線，remez接近等波紋，而fir1的振動幅度較大。并且比較窗函數(shù)設(shè)計法和等波紋最佳逼近法的濾波器指標可以看到，前者的過渡帶寬較寬，通帶最大衰減較小。

4.結(jié)束語

通過MATLAB仿真來直觀地驗證了使用等波紋最佳逼近法設(shè)計FIR濾波器時可以達到在指標相同時階數(shù)最低，而階數(shù)相同時濾波器的最大逼近誤差最小，所以等波紋最佳逼近法在FIR濾波器的設(shè)計中有重要意義。

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TP3

A

1009-5624（2016）06-0045-04