基于變易理論的數學核心素養的培養

□劉堂利

基于變易理論的數學核心素養的培養

□劉堂利

隨著新課改的深入推進，學生素質的重要性越發凸顯。對于高中數學學科而言，關于數學核心素養的問題更是引發教師、學生的關注與重視。文章以變易理論為基礎，探討了中學生數學核心素養的具體措施。

變易理論；數學；核心素養

數學核心素養是具有數學基本特征、適應個人終身發展和社會發展需要的必備品格與關鍵能力，是數學課程目標的集中體現。它是在數學學習的過程中逐步形成的。數學核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。

數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程。邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據邏輯規則推出一個命題的思維過程。數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學知識與方法構建模型解決問題的過程。直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程。數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的過程。數據分析是指針對研究對象獲得相關數據，運用統計方法對數據中的有用信息進行分析和推斷，形成知識的過程。

本文從變易理論的角度嘗試培養學生的數學核心素養。

一、變易理論簡介

變易理論由瑞典學者Ference Marton提出，起源于80年代的現象圖示學研究。變易理論認為，學習認識事物或現象就是從對象中區分出一些主要特征，并將注意力同時聚焦于這些特征，學習就是識別，而識別依賴于對差異的認識，主體所能同時體驗到關于對象各個方面的變異維數就直接決定可能的學習空間。識別和變異是其核心概念。識別是指在變易空間中對學習對象的多種關鍵屬性進行分辨，變異則指在現象、概念認識和問題解決過程中，對問題不同形式的變換。

變易理論在數學中的應用主要是變式教學。變式教學是對學生進行數學技能和思維訓練的重要方式，通過對數學問題進行多角度、多方面的變式探索研究，有意識地引導學生從變化的問題中發現不變的本質，從不變的本質中探索變的規律，優化學生思維品質，培養學生的數學核心素養。

二、基于變易理論的教學思考

1.利用“一題多變”豐富問題情景

從基本問題出發，通過不同的視角，變換問題的條件、結論和形式，但不改變問題的本質，使本質的東西更全面。

【例1】已知復數z1、z2，其中｜z1｜=1，z2的實部為1，且若z=z1z2，求z在平面上的區域面積。

解題思路：先確定z的軌跡形狀、大小，再求其面積。本題最后結果為3π平方單位。（略）

根據上述方法，可得下面幾個問題。

【問題1】已知復數z1、z2滿足｜z1｜=1，Re z2=1，且1≤｜z2｜≤求區域P={z｜z=z1z2}的面積。此題與原題意一樣，目的在于熟悉符號Re z2、點集與區域關系。

【問題2】已知復數z1、z2滿足｜z1｜=1，Re z2=1，且1≤求區域P={z｜z=z1+z2}的面積。此題是根據四則運算，由乘法聯想到加法。

【問題3】已知復數z1、z2滿足｜z1｜=1，Re z2=1，且1≤求區域P={z｜z=z1n+z2n}的面積。問題的提出同問題2。但本題易造成學生心理上的壓力和恐懼感，如同原命題聯系起來，問題就不難以解決了。

【問題4】已知復數z1、z2滿足｜z1｜=1，Rez2=1，且1≤｜z2｜≤求區域繞直線z=1旋轉一周所得旋轉體的體積。由面積聯想到體積，由平面圖形聯想到空間圖形，聯想到旋轉體，把求面積問題演變為求體積問題。這是問題的由來。解答如下：

解：設z=x+yi，z1=cosθ+i sinθ，z2=1+bi（x，y∈R，-1≤b≤1），由z=z1+z2得，x+yi=cosθ+i sinθ+1+bi。即x+yi=（1+ cosθ）+i（b+sinθ），由復數相等定義得消去參數θ得（x-1）2+（y-b）2=1（*），表示以（1，b）為圓心，1為半徑的圓。因為b在 [-1，1]上變化，（*）表示一簇圓，簇圓半徑均為1，圓心在線段x=1（-1≤y≤1）上滑動。圓滑動后的軌跡如圖陰影部分。因為x=1為此平面圖形的對稱軸，旋轉后的旋轉體為一圓柱、兩個半球拼湊而成。故所求體積立方單位。

問題4比較綜合，拐彎較多，由例1推來，其解決也就變得容易了。

例題1通過變易問題的不同情景，使學生學習時能看到問題的本質，能克服和減少思維僵化和思維的惰性，從而可以更深刻地理解問題。一題多變有利于促進學生提出問題、分析問題和建模能力的培養，培養學生解決實際問題的能力。

【例2】若點P1、P2表示復數z1、z2，線段P1P2繞點P1逆時針旋轉90°到P1P3位置，證明點P3表示的復數是z1+i（z2-z1）。

若將原題中的“90°”改為“α”，其他條件都不變，則有：

【命題1】若點P1、P2表示復數z1、z2，線段P1P2繞點P1逆時針旋轉α角到P1P3位置 ，則點P3表示的復數為z1+（z2-z1）（cosα+i sinα）。

在命題1的基礎上附上條件“｜P1P3｜=r·｜P1P2｜”，則有：

【命題2】若點P1、P2表示復數z1、z2，線段P1P2繞P1逆時針旋轉α角到P1P3位置，且｜P1P3｜=r·｜P1P2｜，則點P2表示復數z1+（z2-z1）[r（cosα+i sinα）]。

這就是復數中的旋轉公式，此公式在解決向量旋轉問題時有重要作用，要求學生切實掌握，由例2推得命題2，有助于學生記憶并熟練地運用它。

同樣，將命題2中的“逆時針”改為“順時針”即可得。

【命題3】若點P1、P2表示復數z1、z2，線段P1P2繞P1順時針旋轉α角到P1P3位置，使｜P1P3｜=r·｜P1P2｜，則點P3表示復數z1+（z2-z1）[r cos（-α）+i sin（-α）］。

可見，重視解題后的分析，有利于思維能力的培養，有助于新問題的發現和解決，達到化繁為簡、變難為易的效果。同時還有助于對問題進行分類，便于記憶等等。

2.利用“一題多解”拓展數學思維

一題多解是從不同角度、運用不同的思維方式來解答同一個問題的思考方法。一題多解有利于培養學生直觀想象能力和數據分析能力。數據分析是指針對研究對象獲得相關數據，運用統計方法對數據中的有用信息進行分析和推斷，形成知識的過程。直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程。在尋求一題多解的過程中，學生需要從多角度收集數據，提取信息，借助空間關系和圖形描述進行分析、推理和綜合。

解題思路：結合本題求范圍的問題，通常采用的思路是：一是根據化歸思想，化二元轉為一元，即利用將a+b中的b用a表示，然后用基本不等式求范圍；二是對進行變形，找到a+b與ab的關系，然后消去ab，建立a+b的不等式求解。

通過一題多解，還可以總結出運用基本不等式求最值或取值范圍的常用技巧：①含有多個變量的條件最值問題，一種方法是減少變量的個數，將問題轉化為只含有一個變量的函數的最值問題進行解決；另一種方法是采用代換的方法，對代數式變形后，再運用基本不等式；②妙用常數代換求代數式的最值：在求解含有兩個變量的代數式的最值問題時，通常的解決辦法是常值替換，即由已知條件得到某個式子的值為常數，然后將要求最值的代數式乘以常數，再對代數式進行變形整理，最后利用基本不等式求最值。

運用變易理論中的變式教學，可以培養學生數學核心素養。在實際教學過程中需要注意以下問題：①精選問題。要選擇具有示范性、發散性、重點突出的典型問題進行變易，從而提高學生發現問題、解決問題的能力；②以生為本。問題變式要充分認識到學生的最近發展區。通過設置具有啟發性和科學性的“臺階”和問題情境，讓學生在主動發現、主動探究的過程中完成變式的認知過程，促進新舊知識的聯系；③情境豐富。變式情境要和現實生活緊密聯系，要讓學生從原始的問題情景中抽象出數學問題，建立模型，變易模型和問題情境。

[1]李巧春.基于變易理論的函數y=Asin(ωx+φ)性質的認識[J].數學教學研究,2014,33(6):20—41.

（編輯：易繼斌）

G633.6

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1671-0568（2016）36-0090-02

劉堂利，湖北省鄂南高級中學教師。