大學數學與高中數學教學銜接的探討

楊躍男

(沈陽師范大學數學與系統科學學院，遼寧 沈陽 110034)

大學數學與高中數學教學銜接的探討

楊躍男

(沈陽師范大學數學與系統科學學院，遼寧 沈陽 110034)

摘要：從高中到大學，這是一個跨越，對于大多數的學生來說，同樣也是一種升華。而相較數學這一學科，更是一種思維及邏輯上的提升。所以數學無論在高中還是大學都是比較重要的，學好這門學科的益處也是巨大的，這就需要了解大學數學與高中數學的異同，以便更好地進行銜接。

關鍵詞：大學數學與高中數學；教學銜接探討

大學數學和高中數學盡管在思維和方法上有些差距，但是其本質都是一樣的。要說不同點，主要就在于高中數學和大學數學教學中對極限的研究，高中數學需要建立函數，對應的模型，可能涉及到導數。大學數學中求極限只是基礎，需要在這個基礎上做出進一步深入研究。

1大學數學與高中數學

高中和大學的數學大體涉及這些內容：文科高中數學的集合論、函數概論也就是函數的定義和單調性及一些具體的函數講解，比如指數、對數、冪函數、三次函數、三角函數入門、數列概論、等差和等比數列、極限與導數的定義、函數求導、橢圓曲線和雙曲線、立體幾何、概率的概念和計算，平面幾何在初中的基礎上進一步深化；大學就拿會計專業的數學為例，比如：微積分、線性代數、概率論、統計學，其中微積分是高中極限和導數的深化，概率論是高中概率的深化。

代數上，初等數學建立了方程，未知數的概念，研究的顛峰是二次方程求根公式；在大學數學里，這個是域擴張的最源頭；

幾何上，初等數學的幾何也不能叫幾何，平面幾何主要是建立公理化數學的概念，方便以后研究各種公理化數學不覺得困難；

而對于向量，在高等數學中研究的是它的代數抽象而不是幾何抽象，因為歐氏空間在高等數學眼中實在是太好，它的幾何就顯得有點平凡；

除了極限，還有個比較明顯的區別，就是研究的對象里，“映射”占了很大比例，很多時候我們討論的都是“映射”，而且一般是具有某些特性的一類映射，下面就舉一些具體的例子：

1.1最簡單的例子當然就是“一元函數”，也就是從R到R的的映射，比如f(x) = x^3；

1.2線性空間上的線性映射，也就是大一所應該學的線性代數；

1.3如果是多重線性函數，如f(ax,by,cz)=a*f(x)+b*f(y)+c*f(z)，實際上就是張量，這是微分幾何里重點關注的對象之一；

1.4在分析里面，比如泛函分析、調和分析，關注函數空間之間的各種算式，也就是換了名字的映射；

1.5方程，解方程本身就是在討論映射；

1.6還有拓撲里面同倫、同調，就是在討論映射之間的關系；

2教學銜接探討

初等和高等并沒有明顯的分水嶺，其實都是數學發展的過程產物之一，研究對象一直是從具體到抽象，從狹義到廣義，不斷擴大的過程。但是這也不意味著數學家喜歡作無意義地推廣，數學家總是喜歡研究有一定研究價值的公理系統所界定的數學子學科。就如導數作為某個可微函數的“規律”，原則上有無窮種從拓撲上建立分析的方法，但是起源我們都知道是牛頓和萊布尼茲從力學和幾何上建立的，也就是我們所在的這個世界的特定研究對象所引入的，這個只代表了數學的早期溯源，實際上非標準分析的建立，泛函分析的建立。

比如作為常人思維的自然推廣：分數階導數理論的建立就發展得不是很廣大，但是值得注意的是，當數學嚴格公理化后，可以視為數學的一個分水嶺。高中的數學本質上在思維上都是存在盲區的，比如大家對實數的連通性并不了解，對有理數和無理數的本質并不了解等。

談及大學數學，就需要分很多領域，諸如：分析、代數、代數幾何、幾何、拓撲、微分方程、矩陣論、數論、組合、概率、最優化、博弈論等，只能挑一些有代表性的討論一下。嚴格地講，代數是一門更本質的學科，代數從初中和大學所研究的多項式方程組的解，專門為了研究它們如數和矩陣的代數運算下蘊含的代數結構。因為代數運算是一個更一般的東西，數學家于是對它進行了推廣，而推廣后的代數對象往往是未知的，所以也就是抽象的，數學家更在乎的是這些抽象對象在滿足一些條件下有哪些良好的性質，這就是現代代數本質與初等代數的差別嚴格地來講，大學數學系的幾何學和高等代數中的多項式的不涉及本質的研究，在現代數學上看來都是初等的，只是線性代數本身作為一種具體的代數對象，在群表示等領域，對研究抽象的代數結構有重要的工具意義而一直存在著。

實際上，現在的數學已經走入了拓撲為材，分析(微積分)為刃，代數為招的時代，而幾何與數論比作競技場，組合深藏其中。

高考中的數列遞歸有技巧，在大學的離散動力系統也有這樣的技巧，甚至在一些偏難險怪的習題集，如周民強老師的“臭名昭著”的習題演練中的數列極限與數項級數章節就將類似的初等技巧體現得淋漓盡致。解析幾何和高中的也是一脈相承，比如尤承業老師的解析幾何書里就有幾道特別難算而且計算量頗大的習題，如果問的是平面幾何與立體幾何，這個和映射幾何的思想方法關系還是比較大的。

3總結

大學數學與高中數學是遞進的過程，高中數學是在為大學數學夯實基礎，大學數學是高中數學的更高級的存在。在教學中應當時刻注意這兩者之間的關系，高中的數學課堂中將大學的部分有關知識關聯串講也是可以的，可能還會在一定程度上激發學生對數學更深的興趣。

參考文獻：

[1]徐葉琴. 大學數學與高中數學教學銜接問題探討[D].遼寧師范大學,2009.

[2]湯瓊,劉羅華,劉霞文,周小奇. 大學數學與高中數學教學銜接的探討[J]. 湖南工業大學學報,2011(05):92-94.

中圖分類號:G633

文獻標志碼：A

文章編號：1671-1602(2016)12-0142-01