超級畫板對學生直觀想象能力的培養探究

喬 霽，高 琳，龐之與，楊 芳，陳 莉

(貴州師范學院數學與計算機科學學院，貴州貴陽 550018)

超級畫板對學生直觀想象能力的培養探究

喬 霽，高 琳，龐之與，楊 芳，陳 莉

(貴州師范學院數學與計算機科學學院，貴州貴陽 550018)

如何培養學生的數學核心素養是目前數學教育的熱點話題。直觀想象是數學核心素養的重要組成部分，良好的直觀想象能力有助于學生深刻體會數學的創造過程，形成嚴謹的邏輯思維能力。融合信息技術培養學生的數學核心素養是數學課程改革的方向之一。針對數學中的動點型問題、動態圖形重疊面積問題及圓錐曲線問題，探究如何借助超級畫板在幾何直觀方面的優勢來培養學生的直觀想象能力。

超級畫板;核心素養;直觀想象

“要根據實際情況和各學段學生的特點，把核心素養和學業質量要求落實到各學科教學中”是2014年4月教育部印發的《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》中明確提出的要求。數學是學生學習的主要課程，是一門基礎學科，因此數學核心素養的培養尤為重要。培養數學核心素養有利于學生學會用數學的角度去觀察、分析和認識世界。高中課程標準修訂組按照內涵、價值和表現的框架，給出的高中數學核心素養是數學抽象、邏輯推理、數學建模、運算能力、直觀想象和數據分析［1］。其中直觀想象是指利用幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的思維過程。它是發現和提出數學問題、分析和解決數學問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構建抽象結構的思維基礎［2］。

2001年，張景中院士和李傳中教授提出智能教育平臺的思想，強調要加強“用數學”方面的教育［3］，“用數學”更加體現了高中數學具有的發展性。數學的學習不僅要在提升核心素養上下功夫，還要注重學生的可持續發展。超級畫板，即“Z+Z”智能教育平臺，是幫助學生認識數學本質、形成和發展直觀想象能力的一個非常好的操作平臺。它將動態幾何、符號運算、自動推理、編程環境以及課件制作等進行有機的集成，發展成集動態圖形與動態計算于一體的邏輯動漫平臺，這一基于動態幾何的平臺，能畫、能算、能動、能變、能測，是深入數學學科的信息技術［4］。

強調信息技術應用于教育是當前課程改革的焦點。超級畫板在培養學生的直觀想象能力方面有巨大的優勢。在具體數學問題中，借助超級畫板可以實現幾何直觀的呈現、圖形變化的過程、數學模型的建立等，這些都有助于學生認識事物的運動規律、形態變化和位置關系。學生在教師引導或自主應用超級畫板解決數學問題的過程中可以培養和提高直觀想象能力。

本文將從中學數學中的三類典型問題:動點型問題、動態圖形重疊面積問題和圓錐曲線問題來探究如何借助超級畫板培養學生的直觀想象能力。

一、動點型問題

動點型問題是指題中圖形存在一個或多個動點，它們在線段、射線、直線或弧線上運動，求其動點的運動軌跡或者運動規律的問題［5］。問題難點在于需要學生利用幾何直觀了解動點的運動規律以及數與形的聯系，有較強的綜合性。解決此類問題的主要思想方法是以靜制動、數形結合。借助超級畫板可以將文字轉化為圖形、化抽象為直觀。直觀呈現動點的動態過程，有助于學生觀察動點的變化情況，發現動點的運動規律。學生在圖形變化中探索不變的性質，增強運用幾何直觀想象解決問題的意識，提高數形結合能力，讓直觀想象能力得以形成和發展。

例1:(2011年江西高考卷理科卷第10 題)一個直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內壁的逆時針方向滾動，ABCO和OC是小圓的一條固定直徑的兩個端點。那么，當小圓這樣滾過大圓內壁的一周，點M、N在大圓內所繪出的圖形大致是( )。

圖1

本題主要考察擺線的參數方程。分析出動點M、N與定圓圓心的相對位置的變化是解答本題的關鍵。學生通過紙筆作圖難以得出M、N的位置變化情況。運用超級畫板中的作圖、動畫和跟蹤等功能，將問題以動畫的方式呈現，得到動點的運動軌跡，進而解決問題，發展學生幾何直觀能力。把原本用參數方程解決的靜態問題提升到動態問題上，通過動態化的問題呈現得到更具體的理解，學生在感受動態過程中培養了直觀想象能力。針對本題，在超級畫板中可以便捷地設置動圓的半徑大小，進而改變了定圓和動圓半徑比。將內容拓展到內擺線的知識，有助于學生深入理解內擺線，培養創新思維。

動態實現:①以原點O為圓心作半徑為1的大圓，并作坐標點A(cos(a)，sin(a))即大圓上一點(這個點也是運動時大圓與小圓的切點);

②以OA為直徑做小圓，圓心為B;

③將A點繞小圓圓心B旋轉-2a(負號是因為切點旋轉方向與小圓自身轉動方向相反，2倍是由于弧長相等但半徑一個是2，一個是1，所以角度是2倍)，得到點C(即需要觀察的直徑的一個端點);

④將點C繞小圓圓心旋轉pi得到需要觀察的直徑的另一個端點D;

⑤設置a的動畫，跟蹤點C、點D，所得圖形即為所求。(過程呈現見圖2)

圖2

二、動態圖形重疊面積問題

動態圖形重疊面積問題是指圖形通過平移、旋轉、翻折或縮放等運動，其中一個圖形與另一個圖形重疊，并求其重疊部分的面積與運動變量之間的函數關系［6］。問題難點在于需要學生準確把握重疊圖形的形狀變化，注意形狀變化的臨界點，在運動中分析，在變化中求解。解決此類問題的主要思想是先確定自變量的取值范圍，分類重疊面積的形狀，再確定臨界點，進行靜態分析，從而分段計算。借助超級畫板能直觀呈現重疊面積的變化過程，有助于學生直接看出重疊部分圖形的變化和不同形狀之間的臨界點。學生在求解的過程中體會數形結合和分類討論的數學思想，建立良好的數學直覺，積累此類問題的活動經驗。

例2:(2009年徐州中考卷)如圖3，在平面直角坐標系中，直角梯形的邊落在x軸的正半軸上，且AB∥OC，BC⊥OC，AB=4，BC=6，OC=8。正方形ODEF的兩邊分別落在坐標軸上，且它的面積等于直角梯形ABCO面積。將正方形ODEF沿x軸的正方向平行移動，設它與直角梯形ABCO的重疊部分面積為S。

正方形ODEF平行移動過程中，通過操作觀察可判斷S(S＞0)的變化情況是( );

A．逐漸增大 B．逐漸減少

C．先增大后減少 D．先減少后增大

圖3

本題涉及了平移、一次函數和二次函數等知識點。準確判斷重疊部分圖形并分類，確定重疊圖形形狀變化的臨界點，逐段分析并計算圖形的面積是解答本題的關鍵。學生很難想象重疊部分圖形的形狀并確定臨界點，其中，重疊部分為五邊形時是學生最難想到的。運用超級畫板的填充區域、測量和跟蹤等功能，將重疊圖形的變化以動畫的方式呈現。結合點O的移動距離，學生能從中找出臨界點的具體值，進而分段計算圖形面積，運用函數作圖及跟蹤功能呈現變化曲線從而解決問題。在此題求解的過程中，提高了學生用以靜制動的眼光分析和解決問題的能力，培養和發展了學生的直觀想象能力。

動態實現:①依照題意，作出正方形OABC和直角梯形DEFG(坐標點用變量a表示)，分別將正方形和直角梯形設置成多邊形并作出兩個多邊形區域的交;

②觀察重疊面積的變化情況并進行分類，分別測量不同情況的面積;

③設置J點橫坐標為梯形向右移動的距離，縱坐標為重疊的面積(利用畫板中的符號函數sign(a，b)來表示)［7］;

④對a的值進行動畫(區間為［-6，8］)并對J點進行跟蹤得知重疊面積與O點向右移動的距離的函數變化。(過程呈現見圖4)

圖4

三、圓錐曲線問題

圓錐曲線類問題主要涉及求圓錐曲線方程、弦長問題、垂直問題、參數范圍問題、向量問題［8］。問題難點在于需要學生將圓錐曲線與函數等知識緊密聯系，運用圓錐曲線圖像分析問題，構建圓錐曲線問題的直觀模型。學生需要一定的直觀想象能力形成解決問題的思路，借助幾何直觀可以把圓錐曲線的弦長、垂直、參數范圍等問題簡明、形象的表示出來。解決此類問題的主要思想方法是用坐標法研究直線與圓錐曲線之間位置關系及方程與曲線之間的聯系。借助超級畫板，學生能從可視化圖像中鞏固基礎，聯系相關知識點嘗試建立數學模型，找到解題思路。超級畫板還具有很強的開放性，可以從本質上探索圓錐曲線的幾何性質。在問題解決與問題再探究中，增強學生從幾何直觀的角度來思考問題的意識，培養創新思維，提高直觀想象能力。

例3:(2012年湖北高考理科卷第21 題)設A是單位圓x2+y2=1上的任意一點，l是過點A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點，點 M在直線l上，且DM = mDA(m＞0且m≠1)。當點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C。

(1)求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標;

(2)過原點且斜率為k的直線交曲線C 于P、Q兩點，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點N，直線QN交曲線C于另一點H。是否存在m，使得對任意的k＞0，都有PQ⊥PH?若存在，求m的值;若不存在，請說明理由。

本題考察的重點是函數、導數、不等式的證明等知識點。運用化歸與轉化的思想方法，分析函數的圖像變化，對m值的正確理解是解答本題的關鍵。問題(1)中，由于m值的不確定性，學生難以把握變量改變后的圖像變化，建立數與形的聯系。學生需要紙筆大量地作圖，才能確定軌跡。運用超級畫板的動畫和跟蹤功能，可直接觀察到軌跡變化情況并判斷圓錐曲線的類型，化抽象為直觀，進一步確定軌跡方程。問題(2)中，變量的增多加大了學生紙筆解題的難度。運用超級畫板的變量尺和測量等功能，根據題目作出幾何圖形、設置變量，通過調整變量值可直觀看出圖像變化并判斷m值的存在性。針對超級畫板中變量易控制的特點，學生可自主探索圓錐曲線中的其它問題。例如當題目中的PQ、PH所成角度不為90°時，k值的改變可影響角度的大小。在學生自我探索的過程中，提高自主學習和解決問題的能力，發展直觀想象能力。

動態實現:針對問題(1):根據題意用超級畫板作出單位圓并在其上取一個半自由點A，過點A作與x軸垂直的直線l并取其與x軸的交點D，接著在直線l上任取幾個點并對其進行跟蹤，再對點A設置動畫。(過程呈現見圖5)。

針對問題(2):根據題意運用m變量作出橢圓、k變量作出直線并取其與橢圓交點。然后改變k值，作出射影點N進而作出另一條直線QN及其與曲線的交點。(過程呈現見圖6)

圖5

圖6

四、結語

直觀想象是數學核心素養的重要組成部分。建立數與形的聯系是培養學生直觀想象能力的關鍵。超級畫板中的動態作圖和圖形可視化是實現數與形結合的良好助推器。文章以動點型問題、動態圖形重疊面積問題及圓錐曲線問題為例，利用超級畫板將復雜問題簡單化，從而確定解題方向，引發學生的思考并形成學生解題的直接經驗，最終說明超級畫板在培養學生直觀想象能力方面的優越性。培養學生的直觀想象能力，對學生理性認識和分析問題以及提升學習興趣作用很大，利于學生在生活中更好地“用數學”。

［1］教育部課程標準修訂組．普通高中各學科核心素養一覽表［EB/OL］．http://learning．sohu．com/20160422/ n445632409．shtml．

［2］何小亞．數學核心素養指標之反思［J］．中學數學研究(華南師范大學版)，2016(13):53+1-4．

［3］彭翕成．運用超級畫板開展中學數學實驗［J］．數學通報，2008(06):44-46+50．

［4］徐章韜．超級畫板:獲取數學基本活動經驗的優秀認知平臺［J］．數學教育學報，2011(03):97-99．

［5］李偉泰，曹嘉芮．探究中考中的動點問題［J］．中學數學研究(華南師范大學版)，2015(14):39-40．

［6］顧桂新．運用幾何畫板動態解析中考數學動態問題［D］．廣州大學，2012．

［7］張景中，彭翕成．數學教育技術［M］．北京:高等教育出版社，2009:234-238．

［8］姚尉林．圓錐曲線中幾類典型問題的求解方法［J］．數學通訊，2008(Z1):19-21．

［責任編輯:周冬梅］

On the cultivation of students’intuitive imagination in the super sketchpad

QIAO Qi，GAO Lin，PANG Zhi-yu，YANG Fang，CHEN Li

(School of Mathematics and Computer Science，Guizhou Education University，Guiyang，Guizhou，550018)

How to cultivatestudents＇mathematical core competency is a hot topic in the current mathematics education．Intuitive imagination is an important part ofthe students＇mathematical core competency．Good intuitiveimaginationwill help students to experience creative process more profoundly and form rigorous logical thinking ability．The integration of information technology andmathematical core competency is one of the directions of mathematics curriculum reform．Thispaper，based on the movable pointproblems，overlapping area of dynamic graph and conic curve problems，explores how to take advantage of the strength of the super sketchpad to cultivate students＇ability in intuitive imagination．

Supersketchpad;Corecompetency;Intuitiveimagination

G633．63

A

1674-7798(2016)09-0068-05

10.13391/j.cnki.issn.1674-7798.2016.09.014

2016-06-25

2014年貴州省本科教學工程(教學內容與課程體系改革)項目“教育數學思想在本科《中學數學研究》課程體系中的應用與改革”(黔教高發〔2014〕378號);貴州師范學院學生科研項目“超級畫板在數學解題中的應用研究”(項目編號:2015DXS101)。

喬 霽(1994-)，女，江蘇泰州人，貴州師范學院在讀大學生，研究方向:數學與應用數學。