半序s－度量空間中積分型壓縮映射公共耦合不動點定理

張丹青，柴國慶

（湖北師范大學數學與統計學院，湖北黃石 435002）

半序s－度量空間中積分型壓縮映射公共耦合不動點定理

張丹青，柴國慶

（湖北師范大學數學與統計學院，湖北黃石 435002）

給出了s－度量空間中幾種形式的公共耦合不動點定理，改進并推廣了前人的結果．

s－度量空間；耦合不動點；偏序集；混合單調性；混合g－單調性

0 引言

Banach壓縮映象原理［1］被廣泛地應用于數學學科及其它領域，成為非線性科學中一個重要工具．近年來，學者們對它進行了各種推廣．最近有作者研究了偏序條件下度量空間中的壓縮映射不動點定理（見［2－7］），從而開啟了廣義度量空間中不動點理論的研究．此外，作者們還考慮了各種空間．例如2－度量空間［8］，G－度量空間［8］，D＊－度量空間［10］，錐度量空間［11］，s－度量空間［12］等空間中的不動點定理．

首先介紹一些基本概念和結果，它們在本文中多處用到．

定義1［12］設是X一個非空集合，s∶X3→［0，＋∞）為一個映射．若?x，y，z，a∈X，滿足下列條件：

（P1）?x，y，z∈X，當x≠y≠z時，則s（x，y，z）＞0；

（P2）s（x，y，z）＝0?x＝y＝z；

（P3）s（x，y，z）≤s（x，x，a）＋s（y，y，a）＋s（z，z，a） ?x，y，z，a∈X，

則s稱為s－度量，而稱（X，s）為s－度量空間．

引理1［13］在s－度量空間中，有s（x，x，y）＝s（y，y，x）．

定義2［14］設（X，s）是一個s－度量空間，對于?x∈X，存在x∈X，定義Bs（x，r）是x關于r的開球如下：

定義3［14］設（X，s）是一個s－度量空間，A?X．

1）若?x∈X，?r＞0，使得Bs（x，y）?A，則稱A為X中的開集；

2）若?r＞0，?x，y∈A，有s（x，x，y）＜r，則稱A為s－有界；

3）若s（xn，xn，x）→0（n→∞），則稱｛xn｝?X收斂于x；

4）若?ε＞0，?n0∈?，使得?n，m＞n0時，s（xn，xn，xm）＜ε，則稱｛xn｝?X為柯西列；

5）若X中的每個柯西列都收斂，則稱（X，s）是完備的；

6）τ是A一個集族，A?X，A集合是由所有滿足下列條件的x組成：x∈A 當且僅當存在r＞0滿足Bs（x，r）?A，稱τ是X上的拓撲．

引理2［14］設（X，s）是一個s－度量空間．如果當n→∞時，存在序列｛xn｝，｛yn｝滿足xn→x，yn→y，則s（xn，xn，yn）→s（x，x，y）．

引理3［15］設（X，s）是一個s－度量空間，則對于任意的x，y，z∈X，有

定義4［16］設（X，≤）是一個半序集．a，b∈X稱為可比較的當且僅當a≤b或b≤a成立．

定義5［16］設X是一個非空集合，若下列兩個條件成立，則稱（X，s，≤）為有序s－度量空間：

1）（X，s）是一個s－度量空間，

2）（X，≤）是一個半序集．

定義6［4］設（X，≤）是一個半序集，H∶X×X→X，稱映射H具有混合單調性當且僅當對于任意的a，b∈X，

定義7［17］設（X，≤）是一個半序集，H∶X×X→X，g∶X→X，稱映射具有混合g－單調性當且僅當對于任意的a，b∈X，

定義8［14］（a，b）∈X×X稱為映射F∶X×X→X和g∶X→X的耦合重合點．如果F（a，b）＝g（a）且F（b，a）＝g（b），如果F（a，b）＝g（a）＝a且F（b，a）＝g（b）＝b時，（a，b）稱為耦合不動點．

定義9［18］設X，Y?（－∞，＋∞），函數φ∶X→Y稱為次可加可積函數當且僅當?c，d∈X，

定義10［18］（X，s）和（X′，s′）是兩個s－度量空間．映射f∶（X，s）→（X′，s′）是一個函數，稱f在a∈X連續當且僅當對于任意X中的序列xn，s（xn，xn，a）→0可得到s′（f（xn），f（xn），f（a））→0．f 在X上連續當且僅當對于任意的a∈X都連續．

引理4［18］設｛rn｝n∈?是一個非負序列，滿足n→∞時rn→a．則

其中φ∶［0，＋∞）→［0，＋∞）是在［0，＋∞）上的任何有界閉集，且對于任意ε＞

引理5［18］設｛rn｝n∈?是一個非負序列當且僅當limrn＝0，其中φ∶［0，＋∞）n→∞→［0，＋∞）是在［0，＋∞）上的任何有界閉集，且對于任意ε

1 主要結果

定理1 （X，s，≤）是一個半序s－度量空間，H∶X×X→X和g∶X→X是兩個映射．其中H滿足混合g－單調性．如果存在a0，b0∈X，滿足g（a0）≤H（a0，b0），g（b0）≥H（b0，a0），且存在正實數k1和k2滿足k1＋k2∈（0，1），滿足下列條件

其中a，b，c，p，q，r∈X，ga≥gp≥gc且gb≤gq≤gr或ga≤gp≤gc且gb≥gq≥gr．

φ∶［0，＋∞）→［0，＋∞）是一個非負Lebesgue可積的映射，且滿足可列可加性，且對于?ε＞0，有，滿足下列條件：

1）H（X×X）?g（X），

2）g（X）是完備的，

3）g是連續的且關于H可交換．

那么H和g存在一個耦合重合點．進一步地，如果gp＝gc且gq＝gr，那么存在a∈X，滿足g（a）＝H（a，a）＝a．

證明：設a0，b0滿足g（a0）≤H（a0，b0），g（b0）≥H（b0，a0），由于H（X×X）?g（X），故存在a1，b1∈g使得g（a1）＝H（a0，b0），g（b1）＝H（b0，a0）．又由于H（X×X）?g（X），同樣存在a2，b2∈g使得g（a2）＝H（a1，b1），g（b2）＝H（b1，a1）．重復以上過程，可得到X中的兩個序列｛an｝，｛bn｝滿足

其中n∈?．

下面證明?n∈?，有

應用歸納法，當n＝0時，由于

故g（a0）≤g（a1）．現假設存在一個n≥1，使得（3），（4）成立，則由（2）式可得

故?n∈?，（3）－（4）成立．于是由于g（an＋1）＝H（an，bn），g（bn＋1）＝H（bn，an），故當（an，bn）＝（an＋1，bn＋1），有g（an＋1）＝g（an）＝H（an，bn），g（bn＋1）＝g（bn）＝H（bn，an）

我們斷言：H和g存在一個耦合重合點．事實上，假若

即

由于g（an）≤g（an＋1），g（bn）≥g（bn＋1），故由（1）得

當m＝2p時，有

由于k1＋k2＜1，故當n，m→∞時，s（gam，gam，gan）→0．所以｛gan｝是g（X）中的柯西列．類似地，可以證明｛gbn｝是g（X）中的柯西列．因為g（X）是完備的，所以X中存在a，b使得當n→∞時，gan→a，gbn→b．由于g是連續的，故

由于g和H是可交換的，故有

現證，（a，b）是H和g的耦合重合點．事實上由（1），有

由于g是連續的，故當n→∞，有

所以ga＝H（a，b）．類似地，我們可以證明gb＝H（b，a）．

接下來我們證明H（a，a）＝g（a）＝a．由于（a，b）是H和g的耦合重合點，故有g（a）＝H（a，b），g（b）＝H（b，a）．

假設ga≠gb，由（1），我們有

矛盾．故ga＝gb，于是H（a，b）＝ga＝gb＝H（b，a）．

又由于n→∞時，gan＋1＝a，gbn＋1＝b，故

由于g是連續的，當n→∞，有

類似地，我們可以得到

由于k1＋k2＜1，故上式成立當且僅當s（ga，ga，a）＝s（gb，gb，b）＝0．故ga＝a，gb＝b．由此得到ga＝H（a，a）＝a．

應用舉例

其中k1

故定理1條件成立．故存在a∈X，ga＝H（a，a）＝a，其中a＝0．

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Common couple fixed point theorems for integral type mappings in ordered s－metric spaces

ZHANG Dan－qing，CHAI Guo－qing

（College of Mathematics and Statistics，Hubei Normal University，Huangshi 435002，China）

Several common couple fixed point results for integral type mappings in ordered s－metric spaces are given，which improve and generalize the previous results in the literature．

s－metric space；coupled point；partially ordered set；mixed monotonity；mixed g－monotonity

G250

：A

1009－2714（2016）04－0051－07

10．3969／j．issn．1009－2714．2016．04．012

2016—05—10

張丹青（1989— ），男，貴州六盤水人，碩士研究生，研究方向為非線性泛函分析．