一道習題的研究及其應用

□杭 靜

一道習題的研究及其應用

□杭 靜

有這樣一道題：3個球隊進行單項循環比賽（參加比賽的每一個球隊都與其他所有的球隊各賽一場），總的比賽場次是多少？4個球隊呢？5個球隊呢？n個球隊呢？

圖1

如何解決這個問題呢？我們先從最簡單的情況開始，可以將3個球隊用字母A、B、C來表示，設想讓他們站在一條直線上，如圖1，則參加比賽的每一個隊都與其他所有的隊各賽一場，相當于數出圖形中線段的條數.一般來說，對于一條直線上有多個不重合端點的圖形，要數出其中線段的條數，根據線段有兩個端點的特征，可以先固定第一個端點，再以其余的點為另一個端點組成線段，然后固定第二個端點，與其余的點（第一個點除外）組成線段，依此類推，直到找出最后的線段為止.按這種順序識圖可以避免遺漏、重復現象.圖1中固定A點，有2條線段：AB和AC；固定B點，有1條線段BC，則共有線段2＋1＝3條.類似地，如果是4個球隊，可以將4個球隊用字母A、B、C、D來表示，設想讓他們站在一條直線上，如圖2，則參加比賽的每一個隊都與其他所有的隊各賽一場，相當于數出圖形2中線段的條數，仿上可知，圖2中共有3＋2＋1＝6條線段，它們分別是線段AB、線段AC、線段AD、線段BC、線段BD、線段CD.用這種方法可以得到如下一般性的結論：

圖2

下面，我們一起看看應用這個模型可以解決哪些問題.

例14支排球隊進行單循環比賽（參加比賽的每兩支球隊之間都要進行一場比賽），則總的比賽場數為場.

例2如圖3，數一數圖中共有多少個長方形？

圖3

這個模型也適合于數角等問題.

例3如圖4，從點O引m條射線OA、OB、OC、…、OD，則圖中有多少個銳角？

圖4

思考題：如果平面上有m（m≥3）個點，其中任意3個點都不在同一條直線上，那么，過兩點畫一條直線，一共可以畫多少條直線？