基于擬不可積哈密頓理論的橋梁動力可靠度計算

赫中營， 王根會， 葉愛君， 夏修身

（1．河南大學(xué)土木建筑學(xué)院，河南開封475004；2．同濟大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點實驗室，上海200092；3．蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院，甘肅蘭州730070）

基于擬不可積哈密頓理論的橋梁動力可靠度計算

赫中營1，2， 王根會3， 葉愛君2， 夏修身3

（1．河南大學(xué)土木建筑學(xué)院，河南開封475004；2．同濟大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點實驗室，上海200092；3．蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院，甘肅蘭州730070）

為提高鐵路橋梁動力可靠度計算的效率，考慮結(jié)構(gòu)非線性，基于振型空間，導(dǎo)出了鐵路橋梁動能和勢能的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)擬Hamilton系統(tǒng)理論確定鐵路混凝土橋梁的廣義動量、廣義速度、Hamilton函數(shù)及擬Hamilton系統(tǒng)方程．只考慮橫向位移和扭轉(zhuǎn)位移，導(dǎo)出了鐵路混凝土橋梁的擬不可積Hamilton系統(tǒng)方程，得到條件可靠度函數(shù)應(yīng)滿足的后向Kolmogorov方程及其定量邊界、初值條件，并用中心差分法求解該方程．以實際鐵路橋梁為算例，用上述方程求解其在列車荷載作用下的動力可靠度．研究結(jié)果表明：非線性橋梁結(jié)構(gòu)的動力可靠度和概率密度峰值隨橋梁初始能量增大而減小，隨橋梁臨界能量增大而增大；不同跨度橋梁的分析結(jié)果與實際情況相符，說明基于擬不可積Hamilton系統(tǒng)理論計算鐵路橋梁的非線性動力可靠度是可行的．

鐵路橋梁；動力可靠度；擬不可積Hamilton系統(tǒng)理論；有限差分法

鐵路橋梁在服役期間，將不可避免地受到地震、風(fēng)和車輛等動力作用，動力破壞是其一種主要的失效模式［1］．近年來鐵路高速化和重載化發(fā)展趨勢，使鐵路橋梁的動力穩(wěn)定性顯得尤為重要［2］．

經(jīng)過70余年的發(fā)展，國內(nèi)外結(jié)構(gòu)動力可靠度理論取得了重要成果，并逐步完善．分析方法主要可以分為3類［3］：（1）基于隨機振動理論解析解的動力可靠度計算方法；（2）基于Monte-Carlo法的動力可靠度計算方法；（3）將動力可靠度問題轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)可靠度問題的計算方法．近年來，李杰和陳建兵等基于概率密度演化理論，建立了結(jié)構(gòu)隨機響應(yīng)和動力可靠度分析的廣義概率密度演化方程［4-5］，可求解線性、非線性及隨機結(jié)構(gòu)反應(yīng)與動力可靠度．

由于動力可靠度分析計算的復(fù)雜性，對于第1類方法，即使對簡單的首超失效問題，也只有SO Rice提出過精確解，而且是針對一定前提下的簡單情況［6-7］．中國工程院院士朱位秋等提出的隨機動力學(xué)與控制的哈密頓理論體系（Hamiltonian system theory）［8-11］，為研究多自由度體系哈密頓系統(tǒng)的首超問題、估計首超概率及平均首超時間提供了新的思路和解決方法．

本文考慮結(jié)構(gòu)非線性，導(dǎo)出了結(jié)構(gòu)的動力方程，基于哈密頓體系理論中的擬不可積Hamilton系統(tǒng)［8，12-15］，獲得了鐵路橋梁的等價擬不可積Hamilton方程，確定了其在列車荷載作用下的條件可靠度函數(shù)及其初始條件和邊界條件，并將理論結(jié)果應(yīng)用于2種跨徑實際橋梁的動力可靠度分析，驗證了該方法的合理性和適用性．

1 非線性橋梁結(jié)構(gòu)的能量表達(dá)式

結(jié)構(gòu)質(zhì)量不隨結(jié)構(gòu)的工作狀態(tài)（線性或非線性）發(fā)生變化，結(jié)構(gòu)進(jìn)入非線性狀態(tài)后，阻尼會略微增大［16］．若忽略阻尼的變化，則鐵路橋梁的非線性動力控制方程為［16］

式中：M和C分別為多自由度體系的質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣；fs（U，˙U）為結(jié)構(gòu)的恢復(fù)力；U、˙U和¨U分別為各自由度的相對位移、速度和加速度列向量，是時間t的函數(shù)；F（t）為激勵荷載．

式（1）左邊為結(jié)構(gòu)慣性力和結(jié)構(gòu)恢復(fù)力組成的保守力向量，右邊為外作用力和阻尼力組成的非保守力向量．對于空間結(jié)構(gòu)，在基于有限元法的能量表達(dá)式中，未知參數(shù)個數(shù)為結(jié)點數(shù)的6倍，考慮結(jié)構(gòu)的非線性，需采用逐步迭代法計算，而且極其復(fù)雜［17］．因此，可考慮對方程（1）進(jìn)行線性等效，以利用振型疊加方法表示鐵路混凝土橋梁的振動位移，則其能量表達(dá)式將大大簡化．

假設(shè)結(jié)構(gòu)屈服后各階振型不變，且阻尼矩陣也適用正交條件，則非線性結(jié)構(gòu)動力方程可在振型空間解耦為

對于線性結(jié)構(gòu)體系，其動能Ek和勢能Ep分別為：

式中：mij和kij分別為廣義質(zhì)量和廣義剛度；重復(fù)下標(biāo)表示求和（下同）．

對于非線性結(jié)構(gòu)（此處以單自由度結(jié)構(gòu)體系為例），其非線性恢復(fù)力-位移曲線見圖1（圖中K1為結(jié)構(gòu)屈服前剛度，K2為結(jié)構(gòu)屈服后剛度，uy為屈服位移）．從圖1可見，結(jié)構(gòu)進(jìn)入非線性狀態(tài)后，其等效線性剛度（Kei、Kej）隨位移增大而減小．

結(jié)構(gòu)進(jìn)入非線性狀態(tài)后，其勢能

式中：Ke為等效剛度；Epy為結(jié)構(gòu)的線性勢能；α＝K2／K1；β＝α（u－uy）2／u2；γ＝1＋β．

圖1 單自由度結(jié)構(gòu)的恢復(fù)力-位移（fs-u）曲線Fig．1 Resilience-displacement of a single-degree-of-freedom structure

參考非線性單自由度體系勢能表達(dá)式，以振型坐標(biāo)為參數(shù)的非線性多自由度體系的勢能

式中，Δkij為修正剛度．

2 鐵路橋梁的等價擬不可積Hamilton系統(tǒng)

根據(jù)上述能量分析，非線性橋梁結(jié)構(gòu)體系對應(yīng)的Lagrange函數(shù)為

廣義動量

式（8）稱為由Lagrange函數(shù)L生成的Legendre變換．式（8）為非奇異變換、可逆，則其逆變換也是Legendre變換．根據(jù)Legendre變換的逆變換定理［18］，式（8）逆變換的生成函數(shù)為

式中，p為廣義動量向量．

H（q，p，t）即為Hamilton函數(shù)，其表達(dá)式為

結(jié)構(gòu)以qi和pi為基本變量的Hamilton方程為

記Fdi＝－cij（q，p）?H／?pi為隨機激勵耗散Hamilton系統(tǒng)的耗散力，為耗散Hamilton系統(tǒng)的激勵力，可根據(jù)Hamilton原理和Legendre變換導(dǎo)出Gauss白噪聲激勵下n自由度耗散Hamilton系統(tǒng)的運動微分方程

顯然，對于橋梁結(jié)構(gòu)等耗散的Hamilton系統(tǒng)，fik不依賴于p，Wong-Zakai修正項為0，從而ˉH＝H，則式（12）等價的Ito隨機微分方程

式中：σik（q，p）為激勵強度；Bk（t）為第k維標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程．

設(shè)阻尼力和隨機激勵強度均為ε階小量，即

則式（13）可寫成

式（15）稱為擬Hamilton系統(tǒng)，對應(yīng)于H（q，p）為不可積函數(shù)的系統(tǒng)稱為擬不可積Hamilton系統(tǒng)．

在物理上，只要振動一周中，隨機激勵輸入系統(tǒng)的能量與阻尼消耗的能量之差與系統(tǒng)本身能量相比很小，即可視為擬Hamilton系統(tǒng)．

根據(jù)以上等價擬不可積Hamilton系統(tǒng)理論，鐵路混凝土橋梁系統(tǒng)的廣義動量、廣義速度、Hamilton函數(shù)和擬Hamilton方程為

式（19）中的位移、質(zhì)量、剛度和阻尼分別為廣義振型坐標(biāo)、廣義質(zhì)量、廣義剛度和廣義阻尼．

將式（3）兩邊同除以Mi，可得

式中：fi（t）＝φTiF（t）；ξi為第i振型阻尼比；ωi為第i振型頻率；Δωi為修正頻率．

式（20）的振動結(jié)構(gòu)體系，宏觀上可視為各自由度互不耦合的n維單位質(zhì)量振動體系，該體系的廣義質(zhì)量、廣義阻尼和廣義剛度分別為

對應(yīng)的廣義動量、廣義速度、Hamilton函數(shù)和擬Hamilton方程分別為

式中：κk＝fik（q，p）／Mi（k＝1，2，…，m），定義為激勵荷載的第k維廣義質(zhì)量．

若某結(jié)構(gòu)體系的Hamilton函數(shù)最終能表示為式（24）的形式，且其修正項不可積，則該結(jié)構(gòu)體系即為擬不可積Hamilton系統(tǒng)，可用本文方法求解．

3 鐵路混凝土橋梁非線性動力可靠度

考慮鐵路混凝土橋梁的橫向位移和扭轉(zhuǎn)位移（即考慮列車構(gòu)架蛇形波激勵下的橋梁可靠度），并考慮橫向位移與扭轉(zhuǎn)位移的耦合和非線性恢復(fù)力，則其修正剛度可表示為能量的函數(shù)，即（b為一常量參數(shù)）．以隨機量（Q，P）代替（q，p），則其運動微分方程為

式中：下標(biāo)1、2分別表示橫向位移和扭轉(zhuǎn)位移各參數(shù)；z1和z2分別為橫向和扭轉(zhuǎn)激勵源，是強度為2Di（i＝1，2）的獨立Gauss白噪聲；（其中，i＝1，2；mc為一個構(gòu)架分擔(dān)的車體質(zhì)量；mi為第i自由度對應(yīng)的質(zhì)量；l為梁的跨徑）．

相應(yīng)的Hamilton函數(shù)為

H不可分離，式（26）為擬不可積Hamilton系統(tǒng)．按隨機平均法［19］，可得式（26）的平均Ito方程［12］

其中，漂移和擴散系數(shù)分別為

式中，H0為Hamilton函數(shù)初值（初始能量）．

初始條件：

式中，ΩH為安全域．

定量邊界條件：

式中，Hc為Hamilton函數(shù)臨界值（臨界破壞能量）．

求該系統(tǒng)首次穿越的條件可靠性函數(shù)的解析解極其困難，這里只能采用有限差分法求解［20］．只考慮在離散能量點和離散時間點的）值，Hη和tλ將平面（t，H0）劃分成矩形網(wǎng)格，用相鄰點的R值表示R的一階和二階導(dǎo)數(shù)，代入后向Kolmogorov方程和邊界條件，就能由已知初值求出任意點在任意時刻的R值．

4 工程算例

某鐵路線允許速度為100 km／h，全線圬工橋梁跨度有23．8和31．7 m兩種．跨度23．8 m預(yù)應(yīng)力梁的ANSYS模型及單片T梁的截面特性分別見圖2和圖3（2種跨度梁截面相同）．

圖2 跨度23．8m梁的有限元模型Fig．2 Finite element model for a beam with a span of 23．8m

圖3 跨度23．8m梁的單片T梁截面（單位：m）Fig．3 Cross-section of single T-beam（unit：m）

4．1 計算參數(shù)取值

對于該混凝土橋梁，取阻尼比ξ＝0．05［1］（最大阻尼比）．激振源（即式（26）中的z）取文獻(xiàn)［1］中隨機模擬的82 km／h貨車構(gòu)架加速度蛇形波，強度D＝100 cm／s2．文獻(xiàn)［19］已證明，該隨機蛇行波為平穩(wěn)Gauss過程，進(jìn)一步假設(shè)其為Gauss白噪聲過程（即假設(shè)各頻帶內(nèi)功率譜密度相同）．取貨車質(zhì)量為80 t／節(jié)，每個構(gòu)架對應(yīng)的質(zhì)量40 t［21］；取橋梁橫向和扭轉(zhuǎn)一階振型函數(shù)φi（x）＝sin（πx／l），橫向位移相應(yīng)質(zhì)量m1＝ρAx，扭轉(zhuǎn)位移相應(yīng)質(zhì)量m2＝h3m1／3（ρ＝2．6 t／m3為混凝土密度，A＝1．618 m2為T梁截面積，h＝2．46 m為T梁高度）．

用有限元軟件ANSYS計算出跨度23．8 m梁的一階橫向和扭轉(zhuǎn)頻率分別為4．543和12．277 Hz，跨度31．7 m梁的一階橫向和扭轉(zhuǎn)頻率分別為3．036和8．905 Hz［17］．用中心有限差分法（邊界處用向前差分法）計算可靠性函數(shù)和可靠性概論密度函數(shù)時，取N＝51（即50等分Hc），d t＝0．2 ms（計算時長t＝2 s時）或d t＝1．0 ms（計算時長t＝40 s時）．

橋梁臨界（破壞）能量Hc可根據(jù)規(guī)定的振幅界限、列車脫軌能量界限或橋梁結(jié)構(gòu)破壞能量和計算需要確定．鑒于目前對鐵路橋梁的臨界能量無明確規(guī)定，此處臨界能量取值僅為分析比較用．

4．2 計算結(jié)果分析

用MATLAB編程計算式（30），求解條件可靠性函數(shù)R（t）和轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)p（t）［22］．跨度23．8 m梁的計算結(jié)果見圖4和圖5．跨度31．7 m梁的可靠性函數(shù)R（t）、概率密度函數(shù)p（t）與23．8 m梁相似，部分結(jié)果見圖6和圖7．

可見：（1）橋梁初始能量越大，橋梁的可靠性越低；橋梁的臨界能量Hc越大，橋梁的可靠性越高；（2）橋梁的初始能量越大，其概率密度的峰值越大，概率密度函數(shù)分布越集中；橋梁的臨界能量Hc越大，其概率密度函數(shù)的峰值越小，概率密度函數(shù)分布越均勻．

相同條件下，H0＝0時2種跨度梁可靠性的比較見圖8．在初始能量為0，臨界能量相等的情況下，跨度31．7 m梁的可靠性比跨度23．8 m梁的大．對于實際橋梁結(jié)構(gòu)體系，其他參數(shù)（剛度等）相同時，橋梁的初始能量越大，意味著列車通過橋梁前，橋梁的變形或振動越大，列車通過橋梁時其破壞概率越大，可靠性越低；臨界能量大，意味著橋梁變形能力強，可靠性較高．在其他參數(shù)相同的情況下，橋梁跨度越大，結(jié)構(gòu)越柔，變形能力越強．

圖4 23．8 m梁的可靠度Fig．4 Reliability of the beam with a span of 23．8 m

圖5 23．8m梁的轉(zhuǎn)移概率密度Fig．5 Transition probability density of the beam with a span of23．8 m

圖6 31．7m梁的可靠度Fig．6 Reliability of a beam with a span of 31．7 m

圖7 31．7 m梁的轉(zhuǎn)移概率密度Fig．7 Transition probability density of the beam with a span of31．7m

圖8 23．8和31．7 m梁可靠度的比較Fig．8 Comparison between reliabilities of the two beams

從以上分析可知，基于擬不可積Hamilton系統(tǒng)的該鐵路混凝土橋梁的動力可靠度函數(shù)符合實際情況，說明這種方法是合理的．

5 結(jié) 論

本文考慮橋梁結(jié)構(gòu)的非線性，基于振型疊加法，建立了既有鐵路混凝土橋梁的等價擬不可積Hamilton系統(tǒng)方程．通過對此系統(tǒng)方程的分析，獲得了鐵路混凝土橋梁在列車橫向激勵下以系統(tǒng)能量為唯一參數(shù)的條件概率可靠性函數(shù)和其定量邊界條件、初值條件，借助MATLAB軟件使得方程求解非常容易．工程實例的數(shù)值分析結(jié)果表明，該方法用于鐵路橋梁的動力可靠度分析是可行的、合理的，分析結(jié)果與實際情況相符．

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（中、英文編輯：付國彬）

Dynam ic Reliability Calculation of Bridge Based on Quasi-non-integrable-Hamiltonian System Theory

HE Zhongying1，2， WANG Genhui3， YE Aijun2， XIA Xiushen3
（1．School of Civil Engineering and Architecture，Henan University，Kaifeng 475004，China；2．State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering，Tongji University，Shanghai 200092，China；3．School of Civil Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China）

To improve the computation efficiency of bridge dynamic reliability，kinetic energy and potential energy of a railway bridge with nonlinear characteristics were expressed in the modal space，and the generalized momentum，the generalized velocity，the Hamiltonian function and the quasi-Hamiltonian system equation were established based on the quasi-Hamiltonian system theory．A quasinon-integrable-Hamiltonian equation for a railroad concrete bridge was derived just considering its lateral and torsion displacements，and the backward Kolmogorov（BK）equation governing conditional reliability function and its corresponding quantitative boundary and initial conditions were obtained，and the central finite difference method was introduced to calculate the BK equation．The case research results show that the dynamic reliability of a nonlinear bridge structure and the peak value of probability density decrease as the primary energy increases，while they increase as the limit energy raises；and the contrastive analysis results of railway bridges with different spans are agreed with the actual situations，illustrating that the dynamic reliability calculation of railway bridges based on thequasi-non-integrable-Hamiltonian system theory is feasible．

railway bridge；dynamic reliability；quasi-non-integrable-Hamiltonian system theory；finite difference method

U24

A

0258-2724（2016）01-0050-07

10．3969／j．issn．0258-2724．2016．01．008

2014-12-15

國家973計劃資助項目（2013CB036302）；國家自然科學(xué)基金資助項目（51368033）

赫中營（1980—），男，講師，博士，研究方向為橋梁抗震與振動控制、橋梁健康診斷與維修加固，E-mail：0hezhy89＠tongji．edu．cn

赫中營，王根會，葉愛君，等．基于擬不可積哈密頓理論的橋梁動力可靠度計算［J］．西南交通大學(xué)學(xué)報，2016，51（1）：50-56．