含復雜聲邊界的圓柱殼結構聲振特性研究①

王 威， 陳爐云

(1.武漢大學土木建筑工程學院，湖北 武漢 430072；2.上海交通大學海洋工程國家重點實驗室，上海 200240)

含復雜聲邊界的圓柱殼結構聲振特性研究①

王 威1， 陳爐云2

(1.武漢大學土木建筑工程學院，湖北 武漢 430072；2.上海交通大學海洋工程國家重點實驗室，上海 200240)

對復雜聲邊界內的結構振動-聲輻射問題開展了研究。針對同時存在著自由液面和剛性壁面的復雜聲邊界問題，結合鏡像法原理，應用雙反射方法推導了復雜聲邊界條件下的圓柱殼結構遠場聲壓方程式。最后，以直角空間域內的圓柱殼結構為例，進行了結構的聲振特性數值計算。在算例中，對比了聲邊界特性、頻率及與聲邊界的距離對聲輻射功率、聲輻射指向性的影響。研究成果為解決含復雜聲學邊界的聲振問題提供了參考。

聲輻射； 圓柱殼； 雙反射法； 復雜聲邊界

引 言

連續結構的振動噪聲問題成為當前研究的一個熱點。對于無界空間(自由聲場)的結構聲輻射問題，可通過直接求解 Helmholtz 聲學方程來解決。然而，在實際的聲學計算中需考慮各種聲邊界條件的影響。當前，很多的研究工作涉及到半空間域內的結構聲輻射問題。Al-Khaleefi等[1]通過求解不同聲邊界條件的聲格林函數解，分析聲邊界特性對結構-聲輻射特性的影響。Liu等[2]應用邊界積分方法對半空間域內的聲輻射和聲散射問題進行研究。鄒元杰等[3-4]用鏡像法探討了半空間內輻射頻率、聲源位置及自由液面和剛性壁面對聲振特性的影響。Seybert等[5]應用修正格林函數來消除無窮大邊界積分問題，并將邊界積分方程推廣到四分之一空間域內。林皋等[6]給出了滿足所有自由邊界條件的半無限彈性空間域的Green函數解形式，并將邊界元法推廣到三維聲振耦合問題中。Lu等[7]基于聲格林函數，對海底的聲反射問題進行研究，并對比水深對聲輻射特性的影響。Bapat等[8]基于鏡像理論，采用快速多點邊界元法研究了三維半空間的聲輻射問題。此外，為解決具有更為復雜聲邊界條件的結構-聲輻射問題，陳爐云等[9]應用保角變換理論推導了具有組合邊界任意夾角聲域的聲輻射問題，并研究直角空間域內點聲源的聲輻射功率、聲指向性問題。Chan等[10]針對角域內的結構振動波的反射問題，應用雙反射法對結構振動波進行求解。

圓柱殼結構廣泛應用于航空航天、海洋工程等領域，對圓柱殼結構聲振問題的研究具有重要的理論和實踐意義。Hasheminejad等[11-12]應用鏡像理論分析了半空間域內的圓柱殼結構聲輻射問題。Shao等[13]針對圓柱殼結構的聲輻射問題，利用復變函數和漢克爾函數將無限積分問題變成有限積分問題，提高了計算效率并保證了計算精度。劉佩等[14]對有限深水域中的底部邊界對圓柱殼聲振特性的影響進行研究，同時對比分析了靜水壓力對聲輻射特性的影響。陳美霞等[15]將環肋、艙壁等構件定義為系統的子結構并用圓環板模型進行處理，在此基礎上根據變形協調條件將其組裝在總模型中，最后應用波動法對加肋圓柱殼結構的振動問題進行了求解。對于復雜邊界條件下的圓柱殼結構聲振問題，葉文兵等[16，17]推導了含自由液面和剛性面的組合邊界下的圓柱殼結構聲輻射方程，但在其研究中沒有考慮自由液面與剛性面交界處的影響，同時假設邊界處不存在二次反射。

文章針對含復雜邊界的圓柱殼結構聲振問題，通過引入雙反射理論，推導了同時具有自由液面和剛性面的圓柱殼結構聲輻射方程。最后，分析邊界特性、輻射頻率和位置對聲輻射功率和聲指向性的影響。

1 圓柱殼結構聲振方程

如圖1所示為處于自由聲場的圓柱殼結構的聲振系統，以z，θ和r分別表示殼體的軸向、周向和徑向方向建立柱坐標系統。以u(z,θ)，v(z,θ)和w(z,θ)分別表示圓柱殼結構殼體的中面軸向、周向和徑向位移。

圖1 圓柱殼體坐標系Fig.1 Schematic of the system for cylindrical shell

在圖1中，殼體為薄殼結構，其厚度為t且滿足t/R?1、中面半徑為R、結構材料密度為ρ，材料彈性模量為E，材料泊松比為μ。

1.1 圓柱殼動力響應方程

設圓柱殼結構為無限長薄殼結構，基于Flügge圓柱殼薄殼理論，將中面位移展開為與殼體的軸向波數有關的函數形式，此時圓柱殼軸向、環向和徑向位移函數可分別寫為：

(1a)

(1b)

(1c)

式中n為展開系數，系數Un(kz)，Vn(kz)和Wn(kz)分別為波數域下的軸向、周向和徑向的位移幅值，kz為軸向波數。

1.2 圓柱殼聲輻射方程

連續結構的穩態振動將在理想流體介質中引起的小振幅聲波，其聲壓方程滿足如下波動方程和邊界條件：

▽2p(r,θ,z)+k2p(r,θ,z)=0

(2)

(3)

式中 ▽2為拉普拉斯算子，k=ω/c為波數、ω為圓頻率、c為聲速。在柱坐標系下，自由聲場的圓柱殼結構的遠場輻射聲壓方程可寫成如下形式

(4)

2 復雜邊界下圓柱殼聲壓方程

復雜的聲域空間通常包括一種或多種邊界條件，如結構邊界、剛性反射面、自由液面等等。對于水中的圓柱殼結構，在特定的情況下，可能同時存在自由液面和剛性壁面的情況，由于受多種類型的邊界條件的影響，這種聲邊界條件下的水下圓柱殼結構的聲振特性必然有其獨特性。如潛艇位于碼頭附近與潛艇位于淺水中的聲振問題都可抽象成這種情況。基于此理念，文章對三維空間內含復雜邊界的圓柱殼聲振特性進行研究，并分析其結構聲輻射功率和聲指向性。

2.1 復雜邊界模型

設無限長圓柱殼結構處于自由液面和剛性壁面邊界所組成的直角空間域內，如圖2所示。以圓柱殼結構的中心為原點建立坐標系，定義z坐標為圓柱殼的軸向方向。x軸正方向向下，y軸正方向向右。圓柱殼中心與剛性壁面以及自由液面之間的距離分別為l和s，并滿足(l>R，s>R)，其中R為圓柱殼結構半徑。

圖2 復雜聲邊界下圓柱殼結構模型Fig.2 Complex acoustic boundary of cylindrical shell

在文獻[16-17]中，研究了具有組合聲邊界的圓柱殼結構聲輻射問題，但在該文中沒有考慮二次反射問題。

對于這種含復雜聲邊界的聲輻射問題，由于同時存在著剛性壁面和自由液面，此時在兩個聲邊界的交界處將不能用單一的剛性壁面及自由液面特性來描述。此時，為解決交界處的影響，需要用雙反射理論來解決。

圖3所示為直角域內的雙反射模型。

圖3 直角域內雙反射模型Fig.3 Double reflection method in quarter-infinite domain

在圖3中，ox和oy為直角域內的兩個聲邊界。Original 為實際聲源，Image1和Image2分別為通過邊界oy和ox鏡像獲得的“像聲源”，而Image3為由雙反射而獲得的“像聲源”。

2.2 復雜邊界下圓柱殼聲壓方程

根據雙反射理論，可得到如圖4所示的復雜聲邊界下的圓柱殼結構聲輻射示意圖。圖4中，P點為聲場中任意參考點、實線環oT為真實圓柱殼結構、虛線環o1為因自由液面存在而形成的鏡像、o2為因剛性壁面存在而形成的鏡像、o3為因雙反射而形成的鏡像。在聲場中，聲波在剛性壁面上發生全反射(表面法向速度為零)，在自由液面處聲壓為零。

圖4 復雜邊界下的鏡像圖Fig.4 The image method in complex boundary

由于存在著3個鏡像聲源，對于聲場空間上的任意參考點P，其聲壓值為p(r,θ,z)可由4部分疊加而成：

p(r,θ,z)=pT(rT,θT,zT)+p1(r1,θ1,z1)+

p2(r2,θ2,z2)+p3(r3,θ3,z3)

(5)

式中pT(rT,θT,zT)是真實柱面波在P點的輻射聲壓，p1(r1,θ1,z1)是以自由液面為對稱面的鏡像聲源柱面波在P點的輻射聲壓，p2(r2,θ2,z2)是以剛性壁面為對稱面的鏡像聲源柱面波在P點的輻射聲壓，p3(r3,θ3,z3)為雙反射形成的鏡像聲源柱面波在P點的輻射聲壓。

3 復雜邊界下的圓柱殼聲輻射特性

3.1 自由液面鏡像

在自由液面處的聲壓為零，此時自由液面任意點(rT=r1=RT，θT=π-θ1)處的聲壓方程滿足

(6)

將式(6)進行正交化處理，可寫成如下形式

(7)

(8)

式中J()為第一類貝塞爾函數。

3.2 剛性壁面鏡像

在剛性壁面處的法向振速為零，此時剛性壁面上的任意點(rT=r2=RT，θT=π-θ2)的聲壓方程滿足：

(10)

式中J()為第一類貝塞爾函數。

3.3 雙反射鏡像

根據波的雙反射理論，在自由液面和剛性壁面的交界處(圖3中通過點o的線)的聲壓為零，在o點(rT=r3=RT，θT=π-θ3)處的聲壓方程滿足

(11)

(12)

式中J()為第一類貝塞爾函數。

3.4 聲輻射方程

結合公式(5)，(8)，(10)和(12)，可獲得聲場中具有復雜邊界的圓柱殼結構遠場聲輻射方程為

(13)

對于式(13)的物理解釋如下：根據圓柱殼結構及其鏡像分布的對稱性特點，真實圓柱殼結構和3個鏡像圓柱殼結構的柱形聲波到達剛性壁面上任意一點時，法向合成速度為零；同時，在自由液面上的聲壓為0。根據聲波動方程解的唯一性原理，式(13)滿足波動方程，因而式(13)是圖2所敘述問題的唯一正確解。通過進一步的研究表明，當直角空間域的兩個邊界都為自由液面或剛性壁面情況下時，應用雙反射法也可獲得相應的解析解，對于這兩種情況文中不進行展開敘述。

式(13)與文獻[16]所描述的聲壓方程表達式相比，增加了聲壓項p3(r3,θ3,z3)，因而在理論和計算結果都與文獻[16]的結果有重大的差異。

根據式(13)所描述的聲輻射方程，可進行場點P的聲壓和聲功率計算。定義4個圓環的中心點o為坐標系的原點，建立坐標系統為(r,θ,z)，其聲壓方程如下

(14)

4 含復雜邊界的圓柱殼聲輻射方程

4.1 圓柱殼聲輻射功率

4.2 復雜邊界下圓柱殼聲指向性分析

(15)

根據式(14)，(15)以及聲輻射功率函數，即可計算出具有復雜邊界特性的圓柱殼結構在流場中聲輻射功率與聲指向性。

5 數值分析和討論

在數值計算中，對比圓柱殼結構位置、輻射頻率等參數對圓柱殼聲輻射功率和指向性的影響。

5.1 模型概述

在上述推導中，定義圓柱殼為無限長圓柱殼。在實際工程中，如有L?l,s,r,R，則此時圓柱殼兩端對結構聲輻射的影響可以用兩端存在兩個無限大聲障板，聲學空間在[0，L]以內。

圓柱殼結構基本參數為：圓柱殼直徑D=1 m; 圓柱殼長度L=50 m;殼板厚t=0.01 m。結構材料為鋼，其力學特性為：密度ρ=7800 kg/m3；彈性模量E=210 GPa；泊松比μ=0.3。

聲介質為水，聲速c=1500 m/s，密度ρ=1000 kg/m3，聲功率參考值：W0=1×10-12W。

設圓柱殼結構的表面運動為脈動運動，即結構表面速度幅值為一定值，其大小為 1.0 m/s。

圓柱殼結構中心與自由液面和剛性壁面之間的距離分別為s和l。分別以l=2.0 m，s=2.0 m；l=2.0 m，s=5.0 m；l=5.0 m，s=2.0 m；l=5.0 m，s=5.0 m共4種情況進行圓柱殼結構聲輻射和聲指向性對比分析。在計算中，頻率段范圍在0～800 Hz之間。在計算中的頻率步長為2 Hz。

5.2 聲功率對比分析

圖5所示為圓柱殼結構位于流場中的不同位置處的聲輻射功率對比圖。

圖5 聲功率對比圖Fig.5 The acoustic power comparison

由圖4中的具有不同頻率和與位置對聲功率的影響可知：在低頻段，與自由液面的距離對圓柱殼結構聲輻射功率削減作用敏感，隨著頻率增加削減作用逐漸減弱。

5.3 聲指向性對比分析

在圓柱殼結構指向性函數中，由于包含了場點P的距離參數r。在數值計算中，定義參數r=100 m，它描述了r=100 m的場點聲壓相對值，并將其定義成聲壓指向性參數。計算頻率分別為100，200，400和800 Hz四種工況。聲輻射指向性圖如圖6～9所示。

圖6 聲指向性對比圖(100 Hz)Fig.6 The acoustic direction comparison (100 Hz)

圖7 聲指向性對比圖(200 Hz)Fig.7 The acoustic direction comparison (200 Hz)

圖8 聲指向性對比圖(400 Hz)Fig.8 The acoustic direction comparison (400 Hz)

圖9 聲指向性對比圖(800 Hz)Fig.9 The acoustic direction comparison (800 Hz)

對比圖6～9中具有不同頻率與位置參數對聲輻射指向性的影響可知:

(1)在低頻段時，圓柱殼結構與邊界距離對指向性影響不是很明顯，且主要指向為x正方向。

(2)在高頻段時，與自由液面的距離對指向性影響很大，隨著頻率的增加表現得更為明顯。

6 結 論

本文應用雙反射理論結合鏡像方法，獲得了同時具有自由液面和剛性壁面邊界的圓柱殼結構的聲輻射方程。最后，通過數值計算對比位置、頻率對聲功率和聲輻射指向性的影響。計算表明：在低頻段與自由液面的距離對圓柱殼結構聲輻射功率削減作用敏感；在高頻段時，與自由液面的距離對指向性影響很大。研究成果可為進一步分析復雜受控聲域內的結構聲學特性提供參考。

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Vibro-acoustic characteristics of cylindrical shells with
complex acoustic boundary conditions

WANGWei1,CHENLu-yun2

(1. School of Civil Engineering, Wuhan University, Wuhan 430072, China;
2. State Key Laboratory of Ocean Engineering, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China)

The structural vibro-acoustic problem with complex acoustic boundaries is studied in this paper. According to the characteristic of acoustic boundary condition which combination free interface and rigid wall interface at the same time, the double reflection method and mirror image method are applied, and the expression function of the acoustic radiation function for the cylindrical shell structure is derived. Finally, the acoustic radiation characteristics of an infinite cylindrical shell structural in a quarter-infinite domain and numerical simulations are compared to illustrate the effects of the acoustic boundary characteristic, location, and radiation frequency on acoustic radiation power and acoustic radiation directivity. This study provides a new method to analyze the acoustic radiation problem with complex boundaries.

acoustic radiation; cylindrical shells; double reflection method; complex acoustic boundaries

2015-09-30；

2016-04-13

海洋工程國家重點實驗室研究基金資助項目(1507)

TB532； O327

1004-4523(2016)06-1034-07

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.06.012

王威(1975—)，男，高級工程師。電話: 13808636644;E-mail: 1841666106@qq.com

陳爐云(1975—)，男，助理研究員。電話: 13681708619;E-mail:cluyun@sjtu.edu.cn