帶有支承間隙的壓力管道振動非線性動力學行為研究①

唐千升， 李朝峰， 聞邦椿

(東北大學機械工程與自動化學院， 遼寧 沈陽 110819)

帶有支承間隙的壓力管道振動非線性動力學行為研究①

唐千升， 李朝峰， 聞邦椿

(東北大學機械工程與自動化學院， 遼寧 沈陽 110819)

以現代非線性動力學和Sanders薄殼理論為基礎，建立了一端帶有支承間隙的壓力管道的非線性動力學模型，利用Ritz法對模型進行分析。針對非線性系統的具體特點，通過數值計算，得到管壁振動的幅頻特性曲線，并研究了支承剛度和支承間隙對管道動力學特性的影響。結果表明：一端帶有支承間隙的壓力管道的管壁振動幅頻曲線呈現出明顯的非線性特征。支承間隙和支承剛度對管壁振動響應的各次諧波，尤其是低階諧波的共振幅值和共振頻率有著顯著的影響。了解帶有支承間隙的壓力管道振動非線性動力學行為對管道的設計、安裝和日常維護檢查工作有著重要的意義。

非線性振動； 壓力管道； 間隙模型； 共振頻率； 共振幅值

引 言

離心壓縮機進出口管道振動破壞是壓縮機組振動故障的主要表現形式之一，劇烈的管道振動會造成管道管壁、管道與機器的連接部件發生疲勞破壞、松動、破裂等故障。由于多數情況下管道內處理的是高壓有毒氣體，所以強烈的管道振動會影響壓縮機組安全運行，甚至造成安全事故。因此，對于管道振動的研究有著不可回避的任務。

在壓縮機組工作過程中，由于管道管壁的持續振動可能會造成支承件變形，使得其與管壁間產生間隙、松動，從而影響管道的動力學特性，因此有必要對更貼近實際工況的非線性支承的管道動力學特性進行研究。目前，大多數非線性約束的研究是基于管道梁模型[1-4]。但是，研究梁模型的運動僅限于管道的橫向運動，適用于管長遠遠大于管徑的厚壁管道振動分析，且其環向的模數較小。對于壓縮機出口管道，其管長和管徑之比往往較小，且多為薄壁管道，其振動現象更為復雜，殼模型才能夠更準確地反映實際振動系統狀況，揭示更多管道梁模型難以解釋的現象。

對于薄殼模型，學者們也進行了許多研究。曹志遠[5]系統地介紹了一系列的針對圓柱殼的分析方法。其他學者也對經典邊界、彈性邊界和特殊邊界情況下各類圓柱殼振動做了許多工作，如劉彥琦[6]考慮不同邊界條件下旋轉薄壁圓柱殼的內力和固有特性。孫述鵬[7]引入彈簧對一般彈性邊界下旋轉圓柱殼進行建模，并利用正交多項式法對其固有特性進行了求解分析。A G Shah[8]基于波傳播法對Pasternak基礎下的多功能梯度圓柱殼進行了分析。Liu[9]分析了復雜激勵下簡支圓柱殼非線性動力學特性，分析激振力、幾何缺陷和體分比對響應的影響。在流固耦合領域，張琪昌[10]基于Donnell簡化殼理論，應用多尺度法研究了流體脈動激勵下的薄壁圓柱殼非線性動力學特性。

雖然學者們在殼模型方面做了許多工作，但針對非線性支承下壓力管道，尤其是對一端帶有支承間隙的壓力管道的研究尚不多見。本文引入管道圓柱殼模型，針對工程中管道管夾變形情況，建立了一端帶有支承間隙的壓縮機出口壓力管道的簡化模型。利用Ritz法對模型進行分析，通過數值計算得到管壁振動的幅頻特性曲線。研究了支承剛度和支承間隙對管道動力學特性的影響。

1 帶有支承間隙壓力管道模型的建立

1.1 系統動力學簡化模型

本文將一段壓縮機出口壓力管道列為研究對象，管道一端為焊接(固定支承)，另一端為管夾支承(間隙端)。根據所取管段的長徑比較小，徑厚比較大的結構特點，可建立壓力管道的薄壁短圓柱殼簡化模型，因此一端帶有支承間隙的壓力管道動力學簡化模型如圖1所示。根據薄殼理論，考慮中曲面上的點的運動來表示壓力管道上各點的運動。在中曲面上任意位置處建立柱面坐標系o-xθz。其中x，θ，z分別代表管道的軸向、圓周方向(以下又稱環向)和徑向，相應三個方向的位移假設為u，v，w。同時管壁受到徑向初始均勻分布的氣流壓力q。設其管道中曲面半徑為R，管道厚度為h，長度為L，材料密度為ρ，彈性模量E，泊松比為μ。

圖1 一端帶有支承間隙的壓力管道動力學簡化模型Fig.1 The simplified dynamic model of pipe segment with a clearance at one end

引入無質量彈簧組來描述管道管夾對管壁的約束作用，管夾與管道接觸剛度也由彈簧剛度來近似表達，每組彈簧由4個彈簧組成，分別約束軸向、環向、徑向和轉向的變形，剛度值分別為ku，kv，kw和kθ。假設支承間隙為b；當管壁振動較小時，管夾與管道管壁相分離，此時的端部約束失效，彈簧等效剛度為0；當管壁振動較大時，管夾與管道管壁相接觸，約束作用有效，等效線性剛度為k。故設帶有支承間隙壓力管道端等約束效剛度為：

ku,kθ=0，

(1)

1.2 壓力管道振動微分方程

在柱面坐標系o-xθz中，管道中曲面上任意一點的振動速度為

(2)

則管道的動能可表示為

(3)

式中ξ為壓力管道無量綱長度，ξ=x/L。

管道的應變勢能表達式為

(4)

引入根據Sanders薄殼理論：

(5)

(6)

其中：

由于管道受到初始均勻分布的氣流壓力作用，從而引起管道受到周向應力[11]，則其引起管道變形的勢能可表示為

(7)

綜合應變勢能和壓力勢能，則管道總勢能為

U=Uq+Uε

(8)

由于管道內部氣流壓力不均勻度的影響，管道管壁受到徑向沖擊的脈動載荷的作用，因此可假設壓力管道的管壁上某一點(x0，θ0)受到沿管道截面徑向的集中氣流激勵，則可以表示為

fpz=Fpsin(ωt)

(9)

由1.1分析可知，在有間隙端的管夾對管道約束是分段線性的非線性力，其約束力可表示為

fsv=kvv|ξ=1;fsw=kw(w|ξ=1-b)

(10)

根據Ritz和Galerkin離散思想，管壁振動位移可以表示為：

u(ξ,θ,t)=UTa

(11a)

v(ξ,θ,t) =VTb

(11b)

w(ξ,θ,t) =WTc

(11c)

式中a，b和c為是與時間相關的廣義坐標向量；U，V，W是滿足邊界條件約束的振型向量。

將式(11)代入式(3)，(8)和(9)得到動能、勢能和氣流激振力廣義表達式：

(12)

(14)

其中，δ(x-x0)是狄拉克函數。

將式(11)代入(10)得到廣義約束力表達式

(15)

因此管道的動能、應變勢能和平均氣流壓力引起的勢能，脈動氣流激勵以及邊界彈簧約束力，再根據拉格朗日方程，得到壓力管道振動非線性動力學微分方程

(16)

式中f(q)為廣義彈簧力，為非線性力

f(q)=[0fsv(b)fsz(c)]T

阻尼矩陣C采用瑞利阻尼模型

C=αM+βK

(17)

其中，

式中ω1,ω2分別為第1，2階固有頻率，單位為Hz；ξ1,ξ2分別為對應的第1,2階模態阻尼比。因此，帶有支承間隙的壓力管道模型是一個分段線性非線性振動微分方程。

2 帶支承間隙壓力管道的非線性特性及參數影響分析

2.1 帶支承間隙壓力管道的非線性特性

首先，假設在理想情況下，帶管夾端的管道在工作過程中受線彈性支承，管壁振動響應幅頻特性響應計算結果在圖2中表示為“*”。可以看見，在氣流脈動頻率通過管道的固有頻率時，振幅明顯增大。對于有支承間隙端的支承剛度按式(1)來表示，在圖2中以“o”表示基諧波幅頻響應。結合圖中曲線發現，由于支承間隙導致系統剛度成非線性，幅頻曲線出現向右傾斜的硬化現象，共振峰較線彈性支承提前到來，且共振幅值增大。取共振峰值附近A，B，C，D四個區域進行比較，發現隨氣流脈動頻率的增加，硬式非線性現象越來越明顯。并且幅頻特性曲線隨著頻率的連續變化過程中出現了明顯的跳躍現象，如在脈動頻率在750 Hz處發生明顯的跳躍，這反映了在脈動頻率變化過程中，在750 Hz處管壁響應點發生了比附近區域更大的相對運動，容易造成劇烈的沖擊，從而產生很大的應力作用。

圖2 基諧波頻率-幅值響應曲線圖Fig.2 A harmonic amplitude-frequency response curve

2.2 支承間隙的影響

從方程(16)可知，支承間隙是壓力管道系統產生非線性現象的原因，不同的支承間隙值下管道系統也將呈現不同的振動特性，本節給出了b=0.2, 0.3和0.4 mm下各次諧波曲線圖，如圖3所示。其中，圖3(a)是管壁振動響應的一次諧波幅頻特性曲線。由圖中可以看出，不同支承間隙下，系統都表現出明顯的硬式非線性特性。可以發現，支承間隙對系統共振區和共振幅值有較大影響。支承間隙越大，系統等效剛度越小，共振區幅值越大，達到共振所要求的激振頻率越小；同時，支承間隙越小，幅頻曲線硬化現象越明顯。由圖3(b)可知，支承間隙對管壁振動響應的三次諧波幅頻特性也有著重要的影響。在許多激振頻率附近區域內三次諧波幅值較大，尤其在[600 Hz,800 Hz]區間內，幅值最大。因此在此類激振頻率范圍內，系統極有可能發生三階頻率共振。且在此范圍內，系統幅頻響應曲線軟式非線性明顯，并在最大幅值頻率處發生跳躍現象。并且，間隙值越大，曲線峰值頻率越小，幅值越大。圖3(c)-(d)表示支承間隙對5次和7次振動諧波幅值的影響。可以發現，高次諧波主要集中出現在低頻區間段，且間隙值對各次諧波幅值和頻率影響不大。

2.3 支承剛度的影響

支承剛度是影響管道系統振動響應的又一個重要參數。圖4表示的是間隙值b=0.3 mm時不同支承剛度下諧波隨脈動頻率的響應幅值變化圖。從圖4(a)可以看出，支承剛度對基諧波共振頻率和共振振幅有較大影響。當k=5×108N/m時，在脈動頻率為755 Hz處出現明顯的跳躍現象，隨著剛度值的減小，跳躍現象逐漸不明顯。且隨支承剛度減小，共振頻率也減小，幅頻曲線慢慢回正，硬式非線性現象逐漸減弱，但是響應幅值也隨著逐漸增大。由圖4(b)可知，支承剛度對管壁響應的3次諧波響應也有著較大的影響。在[400 Hz, 500 Hz] 區間內，支承剛度越大，跳躍現象愈加明顯；在[600 Hz, 850 Hz]區間內支承剛度越大，曲線軟式非線性現象越弱，并且剛度越大，共振幅值和共振頻率也越大。由圖4(c)-(d)可看出，支承剛度對5次和7次振動諧波幅值和共振頻率也有著類似影響，但對比發現，隨著諧波次數的增高，影響效果越來越不明顯。

圖3 不同支承間隙下各次諧波幅頻特性曲線圖Fig.3 Several harmonic amplitude-frequency response curves with different supported clearances

圖4 不同支承剛度下各次諧波幅頻特性曲線圖Fig.4 Several harmonic amplitude-frequency response curves with different supported clearances

3 結 論

本文建立了一端帶有支承間隙的壓力管道的非線性動力學模型，研究了其在氣流脈動載荷沖擊下的非線性振動特性，通過管壁振動頻幅響應特性分析了氣流脈動頻率、支承剛度和支承間隙對系統動力學特性的影響，研究結果如下：

(1)由于支承間隙的存在，導致壓力管道振動幅頻曲線呈非線性特征，并伴有明顯的跳躍現象，容易在管壁上產生很大的沖擊從而引起很大的應力作用，造成疲勞破壞，減小管壁壽命。管壁振動響應在一定的激振頻率區間包含有3次、5次、7次等高階諧波，且幅值很大，因此很可能引起高階頻率共振，進一步引起管道破壞。

(2)支承間隙是影響管道振動響應特性的一個重要參數。支承間隙越大，系統等效剛度越小，共振區幅值越大，達到共振所要求的激振頻率越小。同時，支承間隙越小，基諧波幅頻曲線硬化現象越明顯。支承間隙對3次、5次和7次的共振幅值和共振頻率也有著明顯的影響。但對響應中更高階諧波幅值的影響越來越小。

(3)支承剛度對共振頻率和共振振幅有較大影響。當支承剛度減小時，基諧波硬式非線性現象逐漸減弱，高次諧波非線性現象逐漸增強。

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Nonlinear vibration of pressure pipe with support clearance at one end

TANGQian-sheng,LIChao-feng,WENBang-chun

(School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China)

Based on modern nonlinear dynamics and Sanders theory, nonlinear dynamic model of pressure pipe with support clearance was established and the Ritz method is used to analyze the model. And numerical method was applied to get amplitude frequency characteristic curve of the vibration of pipe wall. And the effect of supporting stiffness and support clearance on dynamic behaviors of pipe vibration were studied. Results show that the frequency-amplitude curves show the obvious nonlinear phenomenon. supporting stiffness and support clearance have a great impact on the resonant frequency and resonant amplitude of harmonic response, especially lower harmonic, of pipe vibration. To study on dynamic behavior of pressure pipe with supporting clearance is signification for daily work of designing, installing and maintenance.

nonlinear vibration; pressure pipe; clearance model; resonant frequency; resonant amplitude

2015-11-05；

2016-05-17

中央高校基本科研業務費專項資金資助項目(N140304002，N140301001)；遼寧省自然科學基金資助項目(2015020153)

O322

：A

1004-4523(2016)06-1028-06

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.06.011

唐千升(1989—)，男，博士研究生。電話：18202436223； E-mail: qiansh-tang@163.com

李朝峰(1980—)，男，副教授。電話：13514215459； E-mail: chfli@mail.neu.edu.cn