偏心沖擊下阻尼薄圓板動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的廣義多辛分析①

韓愛紅， 胡偉鵬, 鄧子辰

(1. 華北水利水電大學(xué)土木與交通學(xué)院，河南 鄭州 450008；2. 西北工業(yè)大學(xué)力學(xué)與土木建筑學(xué)院，陜西 西安 710072；3. 大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116023)

偏心沖擊下阻尼薄圓板動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的廣義多辛分析①

韓愛紅1， 胡偉鵬2,3, 鄧子辰2,3

(1. 華北水利水電大學(xué)土木與交通學(xué)院，河南 鄭州 450008；2. 西北工業(yè)大學(xué)力學(xué)與土木建筑學(xué)院，陜西 西安 710072；3. 大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116023)

對(duì)稱破缺是復(fù)雜動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的本質(zhì)屬性，決定著系統(tǒng)諸多非線性性質(zhì)。關(guān)注荷載不對(duì)稱性和結(jié)構(gòu)耗散這兩類引起對(duì)稱破缺的因素，采用廣義多辛分析方法研究了偏心沖擊荷載作用下阻尼薄圓板振動(dòng)問題。在哈密頓體系下，建立偏心沖擊荷載作用下阻尼薄圓板振動(dòng)問題的動(dòng)力學(xué)控制方程，構(gòu)造其廣義多辛近似對(duì)稱形式，研究由于以上因素引起的守恒律誤差。隨后采用顯式中點(diǎn)差分離散方法構(gòu)造其廣義多辛格式，并用于研究圓板阻尼和沖擊荷載偏心對(duì)振動(dòng)過程的影響。研究思路為進(jìn)一步探索動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱性與耗散效應(yīng)之間的內(nèi)在聯(lián)系奠定基礎(chǔ)。

薄圓板；偏心沖擊荷載；哈密爾頓；廣義多辛；對(duì)稱性

引 言

1918年，德國女科學(xué)家Emmy Noether教授全面闡述了力學(xué)體系的連續(xù)對(duì)稱變換與守恒量一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即著名的諾特定理[1]。這一命題的創(chuàng)立一方面可以從力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱性研究過程中探索系統(tǒng)的守恒律[2]；另一方面，如果系統(tǒng)某種對(duì)稱性被破壞，那么與之對(duì)應(yīng)的守恒量也就不復(fù)存在。

在對(duì)粒子物理理論研究過程中，美籍科學(xué)家Yoichiro Nambu教授提出了對(duì)稱破缺的概念，創(chuàng)立了著名的南部-戈德斯通定理[3]，由于這一創(chuàng)新性成果，Yoichiro Nambu教授同Makoto Kobayashi教授和Toshihide Maskawa教授一道分享了2008年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)[4]。對(duì)稱破缺是指物理學(xué)中，在具有某種對(duì)稱性的物理系統(tǒng)之臨界點(diǎn)附近發(fā)生的微小振蕩，通過選擇所有可能分岔中的一個(gè)分岔，打破了這物理系統(tǒng)的對(duì)稱性，并且決定了這物理系統(tǒng)的命運(yùn)。例如當(dāng)水溫降至接近冰點(diǎn)時(shí)，水中各處看起來皆相同，因此水系統(tǒng)具有空間上的對(duì)稱性，此時(shí)若某處的溫度振蕩至低于冰點(diǎn)，便破壞了對(duì)稱性，且決定了所凝固之冰的結(jié)構(gòu)。動(dòng)力學(xué)對(duì)稱破缺是指描述動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange量或Hamilton量的某種對(duì)稱性遭到破壞，Lagrange量或Hamilton量的破壞是耗散動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)耗散效應(yīng)的內(nèi)在動(dòng)力，也是保結(jié)構(gòu)算法需要保持的耗散動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的本質(zhì)屬性。

薄板沖擊動(dòng)力學(xué)問題是飛機(jī)機(jī)身、裝甲車車身等裝備抗沖擊設(shè)計(jì)中最基本的力學(xué)問題之一，在長期研究過程中，針對(duì)這一動(dòng)力學(xué)問題，逐漸形成了兩大類求解方法[5]：一類是吸收解析法結(jié)果準(zhǔn)確和數(shù)值方法(主要是有限元法)處理邊界靈活的優(yōu)點(diǎn)而形成的半解析解法；另一類是在處理復(fù)雜的邊界形狀沒有原則上的困難的數(shù)值方法。在已有工作中，已經(jīng)采用保結(jié)構(gòu)分析方法研究了薄圓板中心受沖擊荷載作用下的振動(dòng)問題[6]，本文將進(jìn)一步考慮荷載偏心和結(jié)構(gòu)阻尼對(duì)圓板振動(dòng)的影響，采用保結(jié)構(gòu)分析方法研究偏心沖擊作用下阻尼薄圓板的振動(dòng)問題[7]。

馮康先生在1984年雙微國際會(huì)議上全面闡述了保結(jié)構(gòu)算法的基本思想：數(shù)值分析過程與原連續(xù)系統(tǒng)應(yīng)該在同一理論框架體系下進(jìn)行，以此保證數(shù)值離散過程能夠盡可能多地保持原連續(xù)系統(tǒng)的固有幾何性質(zhì)[8]，這一開創(chuàng)性的學(xué)術(shù)思想一直影響著保結(jié)構(gòu)理論的發(fā)展：20世紀(jì)90年代，鐘院士等針對(duì)Hamilton動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)建立了一套辛幾何方法及時(shí)程精細(xì)積分理論[9]；Bridges教授等將針對(duì)有限維Hamilton系統(tǒng)的辛幾何算法推廣至針對(duì)無限維Hamilton系統(tǒng)的多辛算法，使得動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)局部性質(zhì)的保結(jié)構(gòu)分析成為可能，完善了保結(jié)構(gòu)理論體系[10]；關(guān)注實(shí)際無限維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中廣泛存在的耗散問題，鄧子辰教授等將針對(duì)保守動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的多辛算法推廣至用于處理弱耗散動(dòng)力學(xué)問題的廣義多辛算法，進(jìn)一步拓展了保結(jié)構(gòu)思想的應(yīng)用領(lǐng)域[11]。

基于本課題組前期研究工作，本文進(jìn)一步考慮沖擊荷載作用位置的偏心及其結(jié)構(gòu)阻尼的影響，利用廣義多辛算法研究偏心沖擊荷載作用下中心對(duì)稱阻尼薄圓板的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)問題。

1 偏心沖擊荷載作用下中心對(duì)稱阻尼薄圓板振動(dòng)模型及其近似對(duì)稱形式

在已有工作基礎(chǔ)上[6]，進(jìn)一步考慮沖擊荷載偏心和結(jié)構(gòu)阻尼的影響，分析中心對(duì)稱薄圓板動(dòng)力學(xué)問題，如圖1。假定圓板的幾何尺寸是中心對(duì)稱的，材料參數(shù)是均勻的，并且厚度可以忽略不計(jì)，則薄圓板振動(dòng)問題可以簡化為空間一維動(dòng)力學(xué)問題，其振動(dòng)控制方程可表述為

Aδ(0,τ) t≥0, 0≤r≤R, 0≤τ≤R

(1)

式中 ξ為圓板材料黏滯阻尼系數(shù)，ρ為薄圓板的面密度，D=Eh3/[12(1-ν2)]為薄圓板的抗彎剛度，E為圓板材料彈性模量，h為圓板厚度，ν為圓板材料泊松比，w=w(t,r)為撓度函數(shù)，R為圓板直徑，Aδ(0,τ)為圓板受到的沖擊荷載，A為沖擊荷載的幅值，δ(0,τ)為沖擊函數(shù)，表示在t=0時(shí)刻在r=τ的位置作用一個(gè)沖擊荷載。

為了描述沖擊荷載的偏心程度，定義相對(duì)偏心距

er=τ/R

(2)

圖1 計(jì)算模型Fig.1 Computational model

事實(shí)上，由于本文考慮的沖擊荷載只是單個(gè)脈沖，該脈沖作用的時(shí)刻是初始時(shí)刻，因此沖擊荷載的作用效果只反映在動(dòng)力學(xué)問題的初值條件中，其偏心效應(yīng)也只體現(xiàn)在數(shù)值求解方法的初值條件中，為此，本文首先考慮中心對(duì)稱薄圓板的阻尼振動(dòng)問題

t≥0, 0≤r≤R

(3)

薄圓板自由振動(dòng)控制方程的多辛對(duì)稱形式在文獻(xiàn)[6]中已經(jīng)給出，在此基礎(chǔ)上，引入黏滯阻尼的影響，得到薄圓板阻尼振動(dòng)的近似對(duì)稱形式

(4)

(1) 廣義多辛守恒律

ρ?t(du∧dw)+D?r(dφ∧dw+dp∧dq)=

-ξd(?tw)∧dw

(5)

式中 ∧為外積運(yùn)算符，令右端項(xiàng)Δ=-ξd(?tw)∧dw即是由于阻尼耗散引起的多辛守恒律誤差。

(2) 近似局部能量守恒律

Dφ?rw+Dq?rp-Dp?rq+Dw?rφ)+

(6)

將Δel在時(shí)間區(qū)間[t1,t2]內(nèi)對(duì)時(shí)間坐標(biāo)做定積分，即得該局部在時(shí)間區(qū)間[t1,t2]內(nèi)的能量耗散值；同理，將Δel在空間區(qū)間[r1,r2]內(nèi)對(duì)空間坐標(biāo)做定積分，也可以得該時(shí)刻在空間區(qū)間[r1,r2]內(nèi)的能量耗散值。

2 廣義多辛形式的多辛差分離散

出于計(jì)算效率考慮，本文采用顯式中點(diǎn)差分離散方法構(gòu)造廣義多辛形式(4)的顯式的廣義多辛格式。

(7)

展開上式，即：

(8)

與廣義多辛格式(8)相聯(lián)系的是離散的廣義多辛守恒律和離散的近似局部能量守恒律，即：

(9)

(10)

3 沖擊荷載的偏心及材料的黏滯阻尼對(duì)薄圓板振動(dòng)能量影響的數(shù)值研究

假定沖擊荷載作用于r=τ這個(gè)圓周上的某一點(diǎn)，不失一般性，將該點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的極角設(shè)定為θ=θ0，θ0為一常數(shù)，在以下數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，取θ0=π，這樣，沖擊荷載的初始條件可以列寫為：

w(0,r)=0,?tw(0,r)=0,

(11)

為簡便起見，考慮固支撐邊界條件

w(t,R)=0

(12)

選取薄圓板的幾何尺寸參數(shù)：h=0.01 m，R=1 m，薄圓板材料參數(shù)為：ρ=78 kg/m2，E=200 GPa，ν=0.3。取計(jì)算步長為Δt=0.01 s，Δr=0.02 m。在t∈[0,5]s時(shí)段內(nèi)，模擬不同相對(duì)偏心距和不同黏滯阻尼系數(shù)情形下，當(dāng)沖擊荷載幅值為A=1 kN時(shí)模擬薄圓板的振動(dòng)情況，模擬不同相對(duì)偏心距和不同黏滯阻尼系數(shù)情形下圓板不同時(shí)刻的振動(dòng)情況，結(jié)果如下(為了更好地表現(xiàn)荷載不對(duì)稱，即初始條件不對(duì)稱的影響，結(jié)果中只給出沖擊荷載作用點(diǎn)所在的直徑上的點(diǎn)的振動(dòng)情況)：

3.1 荷載偏心的影響

為了研究沖擊荷載偏心的影響，本部分假定黏滯阻尼系數(shù)為ξ=0.1，模擬當(dāng)相對(duì)偏心距變化時(shí)薄圓板的振動(dòng)情況，得到當(dāng)相對(duì)偏心距為er=0.1和er=0.5時(shí)沖擊荷載作用點(diǎn)所在直徑上的點(diǎn)的振動(dòng)情況如圖2和3所示。

圖2 圓板上θ=π直徑上各點(diǎn)的撓度(er=0.1)Fig.2 Deflection of the grid point on the diameter in the θ=π direction with er=0.1

比較圖2和3的模擬結(jié)果可知，在振動(dòng)的初始階段，隨著沖擊荷載偏心距的增大，圓板上沖擊荷載作用點(diǎn)所在直徑上的點(diǎn)的振幅減小，但是，隨著振動(dòng)的進(jìn)行，偏心距越大，該直徑上各點(diǎn)的振動(dòng)隨著偏心距的增大而加強(qiáng)。此外，隨著偏心距的增大，振動(dòng)波傳播過程中的波長減小。

圖3 圓板上θ=π直徑上各點(diǎn)的撓度(er=0.5)Fig.3 Deflection of the grid point on the diameter in the θ=π direction with er=0.5

3.2 材料阻尼系數(shù)的影響

為了研究材料阻尼系數(shù)對(duì)圓板振動(dòng)特性的影響，本部分假定相對(duì)偏心距為er=0.1，模擬取不同材料阻尼系數(shù)時(shí)薄圓板的振動(dòng)情況，得到當(dāng)阻尼系數(shù)為ξ=0.2和ξ=0.5時(shí)沖擊荷載作用點(diǎn)所在直徑上的點(diǎn)在t=5 s時(shí)的撓度分布情況如圖4所示。

圖4 圓板上θ=π直徑上各點(diǎn)的撓度(ξ=0.2和ξ=0.5)Fig.4 Deflection of the grid point on the diameter in the θ=π direction with ξ=0.2 and ξ=0.5

比較不同阻尼系數(shù)下圓板振動(dòng)情況，不難發(fā)現(xiàn)：隨著圓板材料的阻尼系數(shù)增大，同一時(shí)刻圓板上各點(diǎn)的振動(dòng)振幅減小，這正是能量耗散的結(jié)果。但是，振動(dòng)波在圓板上傳播的波長并不受圓板阻尼系數(shù)的影響。這說明在計(jì)算步長一定的情況下，隨著圓板材料阻尼系數(shù)的增大，依據(jù)離散的多辛守恒律誤差和離散的局部能量誤差表達(dá)式，雖然多辛守恒律誤差和局部能量誤差有所增大，但是波在薄圓板中的傳播特性依然得到了較好的保持。

4 結(jié) 論

本文考慮了兩種影響動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)對(duì)稱性因素，包括荷載的不對(duì)稱性和阻尼耗散，其中，荷載不對(duì)稱性由沖擊荷載的偏心表現(xiàn)，這一因素在初始條件中體現(xiàn)；阻尼耗散效應(yīng)由材料阻尼系數(shù)體現(xiàn)，采用廣義多辛分析方法處理。詳細(xì)研究了這兩類因素對(duì)中心對(duì)稱薄圓板振動(dòng)特性的影響。通過對(duì)存在不同相對(duì)偏心距的沖擊荷載作用下不同阻尼系數(shù)薄圓板振動(dòng)特性的研究，發(fā)現(xiàn)：1) 隨著偏心距的增大，圓板上各點(diǎn)的振動(dòng)衰減減慢，同時(shí)振動(dòng)波在圓板上傳播的波長減小； 2) 隨著材料阻尼系數(shù)的增大，薄圓板振動(dòng)的振幅明顯減小，而振動(dòng)波的波長沒有明顯變化，即振動(dòng)系統(tǒng)的幾何特性得到了較好地保持。

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Dynamic analyzing of thin damping circular plate under eccentric impact
load by generalized multi-symplectic method

HANAi-hong1,HUWei-peng2, 3,DENGZi-chen2, 3

(1.North China University of Water Resources and Electric Power, Zhengzhou 450008,China;2.Department of
Engineering Mechanics, Northwestern Polytechnic University, Xi′an 710072, China;3.State Key Laboratory of
Structural Analysis of Industrial Equipment, Dalian University of Technology, Dalian 116023, China)

Symmetry breaking is one of important properties of the complex dynamic system that affect the nonlinear characteristics of the dynamic systems. Focusing on the two typical symmetry case, including the asymmetry of the load as well as the dissipation effect, the vibration problem on the thin damping circular plate under the eccentric impact load is investigated by the generalized multi-symplectic method. Firstly, the control equation of the plate is established and the generalized multi-symplectic form is deduced for the control equation. And then, the errors of the conservation laws are given in the formwork of the generalized multi-symplectic theory. Finally, a generalized multi-symplectic scheme is constructed to simulate the vibration of the plate and the effects from the symmetry breaking are analyzed from the simulation results. The results obtained in this paper lay the foundation of the investigation on the relationship between the symmetry and the dissipation effect.

thin circular plate; eccentric impact load; Hamilton; generalized multi-symplectic; symmetry

2014-11-06；

2015-09-25

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11372252,11372253,11672241)；航空科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2013ZB53020)；大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金資助項(xiàng)目(GZ1312)

TB122; O241.82

1004-4523(2016)06-0971-05

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.06.004

韓愛紅 (1982—),女,碩士，講師。電話:15838045656;E-mail:hanaihong@ncwu.edu.cn