超越整函數(shù)復合函數(shù)Fatou分支的有界性

楊存基，王少敏

（大理大學數(shù)學與計算機學院，云南大理 671003）

超越整函數(shù)復合函數(shù)Fatou分支的有界性

楊存基，王少敏

（大理大學數(shù)學與計算機學院，云南大理 671003）

證明了超越整函數(shù)復合函數(shù)動力系統(tǒng)Fatou分支有界性的幾個結(jié)果，給出了其Fatou分支有界的幾種充分條件，改進和推廣了前人相關(guān)的結(jié)果。

復動力系統(tǒng)；超越整函數(shù)；Fatou分支；有界性

設 f為超越整函數(shù)，記 f1=f，當n≥2時，fn=f°fn-1為函數(shù) f的n次迭代。函數(shù)族{fn(z)}的正規(guī)點形成的集合稱為函數(shù) f的Fatou集，記為F(f)，而J(f)=CF(f)稱為函數(shù) f的Julia集。有關(guān)函數(shù)迭代和復解析動力系統(tǒng)的基本理論參見文獻〔1-8〕。

1981年，Baker在文獻〔9〕中證明了：對于充分大的正數(shù)a，函數(shù)

1 主要引理

我們先給出證明本文主要定理所需的一些引理。函數(shù) f的最大模M（r，f）、最小模m（r，f）、增長級ρ和下級μ分別定義如下：

為了方便，有時將函數(shù) f的最大模M（r，f）和最小模m（r，f）分別記為M（r）和m（r）。

引理1（〔17〕，引理2.2） 設 f為超越整函數(shù)，則存在正數(shù)R＞0使得對所有r＞R和c＞1，logM(rc,f)≥c?logM(r,f)。

引理4（〔11〕，引理3） 設h(z)=fN°fN-1°…°f1(z)，其中(j=1,2,…,N)為級的超越整函數(shù)。則存在常數(shù)σ＞1,r0＞0，當r≥r0時，環(huán){z|r≤|z|≤rσ}中有一條圍繞原點的簡單閉曲線Γ，在Γ上，| h(z)|= M(r,h)。

當N=1時，由引理4得下列結(jié)果。

引理6 設h(z)=fN°fN-1°…°f1(z)，其中 fj(j= 1,2,…,N)為級的超越整函數(shù)。則存在常數(shù)σ＞1,r0＞0，當r≥r0時，存在正數(shù)t滿足r≤t≤rσ且m(t,h)=M(r,h)。

證明：由引理4，存在常數(shù)σ＞1,r0＞0，當r≥r0時，存在圍繞原點的簡單閉曲線Γ1?{z|r≤|z|≤rσ}使得對所有z∈Γ1,| h(z)|=M(r,h)。類似的，存在繞原點的簡單閉曲線Γ2?{z |rσ≤|z|≤rσ2}使得對所有z∈Γ2，| h(z)|=M(rσ,h)。

當N=1時，由引理6可推出引理2。由引理6，有下列結(jié)果。

引理7 設h(z)=fN°fN-1°…°f1(z)，其中 fj(j= 1,2,…,N)為級的超越整函數(shù)。設σ為充分大的常數(shù)。假若存在一個由Rn+1=M(Rn,h)定義的趨向于無窮的數(shù)列Rn和實函數(shù)ψ：[R1,∞)?[R1,∞)，使得當 n∈Ν時 ψ(r)≥r且 M(ψ(r),h)≥ψ(M(r,h))σ。則存在數(shù)列 ρn使得：（1）Rn≤ψ(Rn)≤ρn≤(ψ(Rn))σ，（2）m(ρn,h)≥(ψ(Rn+1))σ。

引理8（〔10〕，引理2.7） 設 f為超越整函數(shù)且存在趨于無窮序列 Rn，ρn和 c(n)＞1使得（1） Rn+1=M(Rn,f)，（2）Rn≤ρn≤(Rn)c(n)，（3）對充分大的n，m(ρn,f)≥(Rn+1)c(n+1)。則F(f)的每個分支都有界。

2 主要結(jié)果

定理1 設h(z)=fN°fN-1°…°f1(z)，其中 fj(j= 1,2,…,N)為級的超越整函數(shù)，如果h(z)的下級大于0，則F(h)的每個分支都有界。

給定正數(shù)R(1)＞r0，歸納定義：

當n∈Ν時，由上述定義及函數(shù)h(z)和 fN的超越性知。所以，當n趨于無窮時，，且對所有 j=1,2,…,N，當n趨于無窮時。設

給定充分大的正整數(shù)n0，由引理2，當n≥n0時，存在使得

對j=1,2,…,N-1，由定理1的條件、引理2和引理1得：

假設F(h)有無界分支D。不妨設0，1屬于J(h)，則在D內(nèi)，每個映射hn(z)都沒取到0，1。由D的無界性和連通性知存在正整數(shù)n1≥n0使得，對所有n≥n1，D與下列圓相交

其中 j=1,2,…,N-1。挑選適當?shù)恼麛?shù)k滿足k≥n1，則D內(nèi)必包含連接從點 ωk(1)∈αk

(1)到點曲線Γ。由上述圓的位置關(guān)系知曲線Γ包含了兩條子曲線Γ′、Γ″，其中Γ′連接到且包含了；Γ″連接到。由 于，因 此 ，|。又由上述證明知

重復上述過程，我們得到h(Γ′)=fN°fn-1°…°包含連接從點到點的一段弧；h(Γ″)=fN°fn-1°…°f1(Γ″)包含連接從點到點的一段弧。由于Γ′和Γ″是Γ的兩條子弧，因此，h(Γ)必包含連接從點到點的一段弧。由歸納法知：hn(Γ)包含連接從點到點的一段弧。所以，hn(D)是F(h)的包含hn(Γ)的分支，并且在Γ上，hn(z)取得模至少為的值，且當n趨于無窮時，。所以，在D內(nèi)局部一致收斂到無窮。因此，存在正整數(shù)N使得對所有n＞N和z∈Γ都有| hn(z)|＞1。所以函數(shù)族{hn(z)}n＞N在Γ上滿足引理3的條件，從而存在常數(shù)A，B使得對所有n＞N和都有。當 n＞N時，挑選使得 hn(zn)=和，則對所有n＞N，

注1 定理1是文獻〔16〕中的定理的改進。進一步取N等于1，由定理1，我們得到如下的推論。

類似定理1的上述證明方法，可證明下面定理。

定理2 設h(z)=fN°fN-1°…°f1(z)，其中 fj(j= 1,2,…,N)為級的超越整函數(shù)，設σ為充分大的常數(shù)。如果存在正數(shù)r0＞1，使得對所有r＞r0和任意小的正數(shù)ε，M(rσ,h)≥M(r,h)σ+ε。則F(h)的分支都有界。

注2 定理2是作者在文獻〔13〕中得到的主要結(jié)果的推廣，將單個超越函數(shù)的結(jié)果推廣到有限個超越函數(shù)的復合函數(shù)。

定理3 設h(z)=fN°fN-1°…°f1(z)，其中 fj(j= 1,2,…,N)為級的超越整函數(shù)，設σ為充分大的常數(shù)，r0為正常數(shù)。如果存在定義在(r0,∞)上的實函數(shù) ψ使得，當r≥r0時，ψ(r)≥r且 M(ψ(r),h)≥ψ(M(r,h))σ。則F(h)的分支都有界。

證明：由定理3的假設條件，存在定義在(r0,∞)上的實函數(shù)ψ使得對r≥r0，ψ(r)≥r且M(ψ(r),h)≥ψ(M(r,h))σ，則引理7的條件成立。由引理7存在序列ρn使得

取(ψ(Rn))σ=Rnc(n),其中c(n)＞1，則

由引理8，F(xiàn)(h)的分支都有界。

注3 推論2是Rippon和Stallard在文獻〔17〕中證明的定理5的改進。

2010年，在文獻〔19〕中，Sixsmith證明了一個類似的結(jié)果，見文獻〔19〕中定理7.1。在文獻〔19〕中推論 7.2，Sixsmith證明了如果 h(z)= fN°fN-1°…°f1，其中 fj(j=1,2,…,N)為級的超越整函數(shù)，并且至少一個函數(shù)滿足對數(shù)正則，則F(h)分支有界。

定理4 設h(z)=fN°fN-1°…°f1(z)，其中 fj(j= 1,2,…,N)為超越整函數(shù)。設 Rj1＞0 使得由Rjn+1=M(Rjn,fj)定義的序列Rjn→∞。假如存在常數(shù)列Lj＞1和正數(shù)列ajn使得對所有rj∈[Rjn,Rjn+1)都存在滿足

則F(h)的分支都有界。

對所有 r∈[Rn,Rn+1)都存在 t∈(r,rLN)、、′使得和，并且滿足，其中。由引理9，F(xiàn)(h)的分支都有界。

如果N=1，由定理4，可得到Hinkkanen在文獻〔20〕中證明的定理1。

則F(f)的分支都有界。

〔1〕FATOU P.Sur les équations fonctionnelles〔J〕.Bull Soc Math France，1919，47：167-271.

〔2〕FATOU P.Sur les équations fonctionnelles〔J〕.Bull Soc Math France，1920，48：33-94.

〔3〕FATOU P.Sur l'itération des fonctions transcendentsentiéres〔J〕.Acta Math，1926，47：337-370.

〔4〕JULIA G.Mémoire sur l'itération des fonctions rationnelles〔J〕.J Math Pures Appl，1918，8：47-245.

〔5〕BEARDON A F.Iteration of Rational Functions〔M〕.New York∕Berlin：Springer-Verlag，1991.

〔6〕CARLESON L，GAMELIN T W.Complex Dynamics〔M〕. New York∕Berlin：Springer-Verlag，1993.

〔7〕MILNOR J.Dynamics in One Complex Variable，Introductory Lectures〔M〕.Berlin：Vieweg，2000.

〔8〕REN F Y.Complex Analysis Dynamics（in Chinese）〔M〕. Shanghai：Fudan University Press，1996.

〔9〕BAKER I N.The iteration of polynomials and transcendental entire functions〔J〕.J Austral Math Soc（series A），1981，30：483-495.

〔10〕STALLARD G M.The iteration of entire functions of small growth〔J〕.Math Proc Camb Phil Soc，1993，114：43-55.

〔11〕QIAO J Y.Stable set for iteration of entire functions（in Chinese）〔J〕.Acta Math Scientia，1993，37：702-708.

〔12〕WANG Y F.Bounded domains of the Fatou set of an entire functions〔J〕.Israel J Math，2001，121：55-60.

〔13〕YANG C J，LI Y H.Bounded Fatou components of transcendental entire functions with order less than 1∕2〔J〕. Acta Math Scientia，2015，31：647-658.

〔14〕YANG C J，WANG S M.Bounded Fatou components of composite transcendental entire functions with gaps〔EB∕OL〕.〔2016-01-01〕.http：∕∕dx.doi.org∕10.1155∕2015∕149182.

〔15〕ZHENG J H，WANG S.Boundness of components of Fatou sets of entire and meromorphic functions〔J〕.Indian J Pure Appl Math，2004，35（10）：1137-1148.

〔16〕CAO C L，WANG Y F.Boundedness of Fatou components of holomorphic maps〔J〕.J Dynam Diff Equa，2004，16：377-384.

〔17〕RIPPON P J，STALLARD G M.Functions of small growth with no unbounded Fatou components〔J〕.Journal d'Analyse Mathematique，2009，108：61-86.

〔18〕BAKER I N.Zusammensetzungen ganer Funktionen〔J〕. Math Z，1958，69：126-153.

〔19〕SIXSMITH D J.Entire functions for which the escaping set is a spider's web〔J〕.Math Proc Camb Phil Soc，2011，151（3）：551-571.

〔20〕HINKKANEN A.Entire functions with no unbounded Fatou components〔M〕∕∕Complex analysis and dynamical systems II，Contemp Math.Amer Math Soc，Providence，RI，2005：217-226.

Boundedness of Compound Function Fatou Component of Transcendental Entire Function

Yang Cunji,Wang Shaomin
（College of Mathematics and Computer Science,Dali University,Dali,Yunnan 671003,China）

This paper proves the results of the boundedness of compound function complex dynamic system Fatou component of transcendental entire functions,provides some sufficient conditions of the boundedness of Fatou component,and improves the previous research results.

complex dynamic system;transcendental entire function;fatou component;boundedness

O174.5

A

2096-2266（2016）12-0001-05

10.3969∕j.issn.2096-2266.2016.12.001

（責任編輯 袁 霞）

國家自然科學基金資助項目（11261002）；云南省教育廳科學研究基金重點項目（2012Z121）

2016-09-27

2016-10-21

楊存基，教授，主要從事復分析、值分布和復解析動力系統(tǒng)研究.