關(guān)于子群和不變子群的幾個重要命題

白阿拉坦高娃

赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古　赤峰　024000

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關(guān)于子群和不變子群的幾個重要命題

白阿拉坦高娃*

赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024000

摘要：本文首先討論了子群、不變子群的交集、并集、乘積是否依然是子群、不變子群；其次討論了子群與不變子群乘積是否是子群、不變子群等。

關(guān)鍵詞：子群；不變子群；交集；并集；乘積

一、基本概念

下面是文中主要用的幾個概念

定義1.1[1]一個群G的一個子集H叫做G的一個子群,假如H對于G的乘法來說做成一個群。

定理1.2[1]H是群G的一個子群? (i)a,b∈H ?ab∈H

(ii)a∈H ?a-1∈H

?(iii)a,b∈H ?ab-1∈H

定義1.3[1]一個群G的一個子群N叫做一個不變子群,假如對于G的每一個元a來說，都有

Na=aN

定理1.4[1]N是群G的一個不變子群? a∈G,n∈N ?aNa-1=N

? a∈G,n∈N?ana-1∈N

二、重要命題

(一)關(guān)于子群、不變子群的交集、并集、乘積

命題2.1.1群 的兩個子群H1和H2的交集H1∩H2也是群G的子群.

證：令e是G的單位元.那么e∈H1,e∈H2,因而e∈H1∩H2≠Φ.對于?a,b∈H1∩H2，有a,b∈H2,H2.由H1和H2是G的子群,所以ab-1∈H1,ab-1∈H2，即ab-1∈H1∩H2.故H1∩H2是G的子群。

命題2.1.2假定H和N是群G的兩個子群.那么HN是G的子群當且僅當HN=NH

證:"必要性"?a∈HN來說，由HN是G的子群，可得

a-1∈HN，?h ∈H,n∈N,使得a-1=hn

a=(a-1)-1=(hn)-1=n-1h-1∈NH

因為H,N是G的子群，從h ∈H,n ∈N得h-1∈H n-1∈N,那么

HN?NH

另外

?a∈NH,?h∈H,n∈N,使得a=nh

a-1=(nh)-1=h-1n-1∈NH

又HN是G的子群，那么

(a-1)-1=a∈HN

則

HN?NH

即

HN=NH

"充分性"：?a,b∈NH來說,?h1,h2∈H,n1,n2∈N，使得

a=h1n1,b=h2n2

那么

ab-1=(h1n1)(h2n2)-1=h1(n1n2-1)h2-1

=h1nh2-1(n=n1n2-1∈N)

=h1h2-1n′(由HN=NH可知，nh2-1=h2-1n′ )

=hn′∈HN(h=h1h2-1∈h)

所以HN是G的子群.

命題2.1.3設(shè)H和N是群G的兩個不變子群，則HN是G的不變子群，且H∩N是G的不變子群.

證：(1)由于H和N都不為空,所以HN也不空.設(shè)a∈HN,b∈.那么

a=h1n1,b=h2n2(h1,h2∈H,n1,n2∈N)

ab-1=h1n1n2-1h2-1=h1n′h2-1(n′=n1n2-1)

由于N是一個不變子群,有

Nh2-1=h2-1N,n′h2-1=h2-1n(n∈N)

由是得

ab-1=(h1h2-1)n∈HN

故HN是G的一個子群.

對于?a∈G,n∈HN,?h1∈H,n1∈N,使得n=h1n,

a-1na=a-1(h1n1)a

(2)證：令N1和N2是群G的兩個不變子群,那么N1∩N2是G的一個子群(由命題2.1.1).令a∈G,n∈N1∩N2,那么n∈N1,n∈N2.但N1和N2是不變子群,所以ana-1∈N1,ana-1∈N2,因而ana-1∈N1∩N2.于是由定理1.4,N1∩N2是一個不變子群.

(二)關(guān)于子群與不變子群的乘積

命題2.2.1設(shè)H是群G的子群，N是G的不變子群，則HN是G的子群，且H∩N是H的不變子群.

證:(1)對于?a,b∈HN來說,?h1,h2∈H,n1,n2∈N,使得a=h1n1,b=h2n2,那么

ab-1=(h1n1)(h2n2)-1=(h1n1)(n2-1h2-1)=h1(n1n2-1)h2-1

因為N是子群,有n1n2-1∈N,H是子群,有h1h2-1∈H,再由N是不變子群,有

(n1n2-1)h2-1∈Nh2-1=h2-1N

?n3, ∈N使得 (n1n2-1)h2-1=h2-1n3

ab-1=(h1h2-1)n3∈HN

即HN是G的子群.

(2) 對于?h∈H, ?a∈H ∩N,有a∈H,a∈N,由H是子群,得h-1∈H,那么h-1an∈H,又有N是不變子群,h-1ah∈N,

即

h-1ah∈H∩N.

那么H∩N是H的不變子群.

命題2.2.2設(shè)H和N是群G的兩個不變子群，則HN是G的不變子群.

證：由于H和N都不為空,所以HN也不空.設(shè)a∈NH,b∈NH.那么

a=h1n1,b=h2n2(h1,h2∈H,n1,n2∈N)

ab-1=h1n1n2-1h2-1=n1n′h2-1(n′=n1n2-1)

由于N是一個不變子群,有

Nh2-1=h2-1N,n′h2-1=h2-1n(n∈N)

由是得

ab-1=(h1h2-1)n∈HN

故HN是G的一個子群.

對于 ,? a∈G,n∈HN, ?h1∈H,n1?N,使得n=h1n1

a-1na=a-1=(h1n1)a

(三)從屬關(guān)系

命題2.3.1設(shè)H是群G的一個子群，N是G的一個不變子群，且N是H的子群，那么N是H的不變子群.

證明：對于?h∈H?G，?n∈N，

因為N又是G的不變子群，所以?a?G來說， ?ana-1∈N

那么

?hnh-1∈N

即N是H的一個不變子群.

三、關(guān)于子群與不變子群的一些反例

例3.1群G的兩個子群的并集未必是群G的子群.例如

G=S3={(1), (12), (13), (23), (123), (132)}

的兩個子群

H1={(1), (12)}和H2={(1)，(13) }

但H1∪H2={(1)，(12)，(13)}不是S3的子群，因為

(12)(13)-1=(123)?H1∪H2

例3.2群G的兩個子群的乘積未必是群G的子群.例如

G=S3={(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}

的兩個子群

H1={(1)，(12)}和H2{(1)，(13)}

但H1H2={(1)，(12)，(13)，(123)}不是S3的子群，因為

(123) (123)= (132) ?H1,H2

例3.3假定N是群G的不變子群，N1是N的不變子群，那么N1未必是G的不變子群.例如令G=S4,

N={(1) ,(12) (34), (13) (24), (14) (23)}

N1={(1), (12) (34)}

顯然N是S4的一個不變子群.由N是交換群,N1當然是N的一個不變子群.但N1不是S4的一個不變子群.因為(13)[(12) (34)](13)-1=(14) (23) ?N1

[參考文獻]

[1]張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)(修訂本)M.北京：高等教育出版社，1978

[2]楊子胥.近世代數(shù)(2版)M.北京：高等教育出版社，2003.12

[3]胡冠章.應(yīng)用近世代數(shù)M.北京：清華大學(xué)出版社，1999

中圖分類號：O153

文獻標識碼：A

文章編號：1006-0049-(2016)13-0127-02

*白阿拉坦高娃，女，1983年7月17日，內(nèi)蒙古通遼市科左中旗人，講師，碩士學(xué)位，主要研究方向：微分方程數(shù)值解。期刊郵寄地址：內(nèi)蒙古赤峰市紅山區(qū)赤峰學(xué)院學(xué)生工作處 洪鎖柱收 13948166016