數(shù)學(xué)教學(xué)中的舉例淺析

吳艷 楊有龍

摘要：講授數(shù)學(xué)課時(shí)，準(zhǔn)確而恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用日常事例，可以起到講解明了清晰、淺顯易懂的教學(xué)效果。本文旨在探討講授數(shù)學(xué)課時(shí)的舉例藝術(shù)，針對(duì)高等數(shù)學(xué)微積分教學(xué)中的集合、無(wú)限與有限等概念的講授進(jìn)行了舉例分析。

關(guān)鍵詞：微積分;數(shù)學(xué)教育;教學(xué)方法;高等教育

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.0 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1674-9324（2016）05-0137-02

一、引言

據(jù)光明日?qǐng)?bào)2015年01月14日的報(bào)道，在日前舉行的第十屆“蘇步青數(shù)學(xué)教育獎(jiǎng)”頒獎(jiǎng)儀式上，中科院院士、復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)院李大潛教授針對(duì)當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的一些突出問(wèn)題，提出了自己的見(jiàn)解。李大潛院士表示，我們往往把數(shù)學(xué)看成一堆定義、公式、定理及證明的堆積，千方百計(jì)地要把這些知識(shí)灌輸?shù)綄W(xué)生的頭腦中去，卻忘記了數(shù)學(xué)教育最根本的三件事：一是數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈;二是數(shù)學(xué)的精神實(shí)質(zhì)和思想方法;三是數(shù)學(xué)的人文內(nèi)涵。李院士說(shuō)：“為什么有很多人覺(jué)得數(shù)學(xué)枯燥無(wú)味、過(guò)于抽象、高不可攀，因而望而生畏，甚至避之唯恐不及呢？我覺(jué)得數(shù)學(xué)教師有責(zé)任，我們數(shù)學(xué)家更有責(zé)任。”

課堂講授是十分細(xì)致、十分復(fù)雜和需要超常的藝術(shù)才能完成的活動(dòng)。教學(xué)中常見(jiàn)的一種現(xiàn)象是照搬講稿，滿(mǎn)口的科學(xué)名詞和文縐縐的語(yǔ)句，使人感到干癟、生硬。對(duì)于這樣的講授，或許指不出什么錯(cuò)誤，但本身就失去了“享受知識(shí)傳播”的意義。人常說(shuō)：“話(huà)有三說(shuō)，巧說(shuō)為妙。”同一件事會(huì)因講解者的言詞和神態(tài)的不同而產(chǎn)生完全不同的效果，那么，怎樣才能做到“巧說(shuō)”呢？

微積分是理工科一年級(jí)大學(xué)生的必學(xué)內(nèi)容，這些內(nèi)容在中學(xué)有所接觸，但僅僅是學(xué)習(xí)了一些皮毛或者最初始的概念和計(jì)算，如果大學(xué)的微積分課堂教學(xué)僅僅就事論事，很難在學(xué)生中產(chǎn)生課堂共鳴。美國(guó)數(shù)學(xué)家洪斯貝爾說(shuō)：“把數(shù)學(xué)同音樂(lè)相比往往是很合適的，蹩腳的演奏會(huì)把迷人的樂(lè)曲搞得一團(tuán)糟。同樣，拘泥于合理程式的講解，也會(huì)使許多光彩奪目的數(shù)學(xué)思想弄得黯然失色。”如何使用有趣而易于理解的實(shí)例將數(shù)學(xué)思想深入課堂就值得我們深思和研究，許多文獻(xiàn)[1-8]研究和探討了微積分的教學(xué)方法[1-7]和教材建設(shè)[8]，本文針對(duì)教學(xué)中的集合、有限、無(wú)限等有關(guān)概念進(jìn)行舉例和論述，以期達(dá)到拋磚引玉的目的。

二、看不懂的集合悖論

1903年，英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素提出了一個(gè)著名悖論：以M表示是其自身成員的集合的集合，N表示不是其自身成員的集合的集合。這里的語(yǔ)言聽(tīng)起來(lái)頗是拗口，學(xué)生理解起來(lái)需細(xì)細(xì)琢磨。通過(guò)詢(xún)問(wèn)N是否是它自身的成員引出矛盾。一方面如果N是它自身的成員，則N屬于M而不屬于N，也就是說(shuō)N不是它自身的成員;另一方面，如果N不是它自身的成員，則N屬于N而不屬于M，也就是說(shuō)N是它自身的成員。無(wú)論出現(xiàn)哪一種情況都將導(dǎo)出矛盾的結(jié)論，學(xué)生對(duì)此不可思議。如果教師就這樣照本宣講，不僅自己講起來(lái)太過(guò)制式化，很難引起學(xué)生的注意力，而且講解過(guò)程很難與學(xué)生產(chǎn)生共鳴。

假設(shè)教師首先講解羅素給出的通俗例子，即俗稱(chēng)的“理發(fā)師悖論”：有一天，薩維爾村理發(fā)師掛出一塊招牌：“村里所有不自己理發(fā)的人都由我給他們理發(fā)，我也只給這些人理發(fā)。”于是有人問(wèn)理發(fā)師：“你的頭發(fā)由誰(shuí)理呢？”這名理發(fā)師該怎么回答？是啞口無(wú)言嗎？讓學(xué)生分析這個(gè)例子：如果理發(fā)師給自己理發(fā)，那么他就屬于自己給自己理發(fā)的那類(lèi)人;但是，招牌上說(shuō)明他不給這類(lèi)人理發(fā)，因此這個(gè)理發(fā)師不能自己給自己理發(fā)。如果由另外一個(gè)人給他理發(fā)，該理發(fā)師就是不給自己理發(fā)的人，而招牌上明明說(shuō)他要給所有不自己理發(fā)的男人理發(fā)，因此，他應(yīng)該自己給自己理發(fā)。由此可見(jiàn)，不管怎樣的推論，理發(fā)師所說(shuō)的話(huà)總是自相矛盾的。

通過(guò)理發(fā)師悖論的自然鋪墊，可抽象出M與N集合：M表示薩維爾村自我理發(fā)的人的集合;N表示薩維爾村所有不自己理發(fā)的人的集合。那么理發(fā)師屬于那一個(gè)集合？若理發(fā)師屬于M，意味著他給自己理發(fā)，根據(jù)“村里所有不自己理發(fā)的人都由我給他們理發(fā)，我也只給這些人理發(fā)”，則知道他不給自己理發(fā)，即理發(fā)師屬于N。同理若理發(fā)師屬于N，意味著他不給自己理發(fā)，根據(jù)“村里所有不自己理發(fā)的人都由我給他們理發(fā)，我也只給這些人理發(fā)”，則知道他要給自己理發(fā)，即理發(fā)師屬于M。因此無(wú)論哪種情形，都有理發(fā)師屬于M也屬于N的矛盾結(jié)果。

由此教師還可讓學(xué)生模仿舉例，給出提出自己的悖論，達(dá)到舉一反三的結(jié)果。事實(shí)上，在當(dāng)時(shí)羅素悖論以其簡(jiǎn)單明了震驚了整個(gè)數(shù)學(xué)界，它的提出，造成了數(shù)學(xué)發(fā)展史上的第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，同時(shí)也加快了人們將集合論公理化的進(jìn)程。

三、有限與無(wú)限

學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)首先要接觸無(wú)限與有限的概念，而它們?cè)谛再|(zhì)上有很大的差異，不能用有限的眼光看無(wú)限的問(wèn)題。為了闡述無(wú)限與有限的差異。可舉這樣的例子：操場(chǎng)上有一排中學(xué)生，如果知道任意兩個(gè)男生之間有女生，而且任意兩個(gè)女生之間有男生。那么，或者男女人數(shù)相等，或者至多相差一個(gè)。這是再明顯不過(guò)的事實(shí)。但是，在無(wú)限范圍內(nèi)卻不成立。例如任意兩個(gè)無(wú)理數(shù)之間都有有理數(shù)，任意兩個(gè)有理數(shù)之間也有無(wú)理數(shù)，但是，無(wú)理數(shù)卻比有理數(shù)多得多。這樣一講，學(xué)生對(duì)無(wú)限與有限的概念，在性質(zhì)上的差異有了感性與理性上的深刻認(rèn)識(shí)。

簡(jiǎn)單地說(shuō)，有限個(gè)元素組成有限集合;無(wú)限個(gè)元素組成無(wú)限集合。然而學(xué)生如何理解有限集合與無(wú)限集合的本質(zhì)區(qū)別？可舉這樣的例子：（有限情況）假設(shè)某酒店有n間房，每間房可剛好接待住宿一人，某天來(lái)了n個(gè)人，每人剛好分配一間房住宿。顯然此時(shí)若再多來(lái)一人，酒店也無(wú)能為力。（無(wú)限情況）假設(shè)某酒店有無(wú)限間房，分別表示為1，2，3，…，n，…，每間房可剛好接待住宿一人，某天來(lái)了無(wú)限個(gè)人，分別表示為r1，r2，r3，…，rn，…，每人剛好分配一間房住宿，即rn住進(jìn)第n間房。那么此時(shí)若再多來(lái)一人s1，酒店也無(wú)能為力嗎？聰明的同學(xué)在老師提示下，很快就有了答案：讓rn住進(jìn)第rn+1間房，空出來(lái)的第一間房就滿(mǎn)足了s1的住宿需求。若此時(shí)不是來(lái)一人，而是來(lái)了無(wú)限個(gè)人s1，s2，s3，…，sn，…，酒店還能提供房源嗎？顯然可讓rn住進(jìn)第2n間房，空出來(lái)的奇數(shù)間房就滿(mǎn)足了需求，即可讓sn住進(jìn)第2n-1間房。教師從這個(gè)例子出發(fā)就可引入有限集合與無(wú)限集合的本質(zhì)區(qū)別：有限集一定比他的真子集元素多;無(wú)限集存在真子集與其對(duì)等。

再例如著名的芝諾悖論，跑神阿基里斯和烏龜賽跑的故事，烏龜提前跑了100米距離，假設(shè)阿基里斯的速度是烏龜速度的10倍，這樣當(dāng)阿基里斯跑了100米時(shí)，到達(dá)了烏龜原來(lái)的出發(fā)點(diǎn)，而烏龜也向前跑了10米;當(dāng)阿基里斯再向前跑10米時(shí)，烏龜也向前跑了1米，……，如果這樣繼續(xù)下去。可以看出，被追趕者總是在追趕者的前面了，因?yàn)樽汾s者必須首先到達(dá)被追趕者的原來(lái)位置，所以可以得出結(jié)論，阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜！

這個(gè)結(jié)論與我們生活中的實(shí)際情況明顯相矛盾！甚至當(dāng)時(shí)有人說(shuō)，讓芝諾站在豹子前面100米試試，豹子是否也追不上他？但當(dāng)時(shí)的古希臘人卻沒(méi)有從理論上給出令人信服的解答。他們之所以被這個(gè)問(wèn)題困惑了幾千年，主要的原因是還沒(méi)有完全了解到，雖然無(wú)限過(guò)程需要無(wú)限個(gè)時(shí)間段來(lái)計(jì)算，但這無(wú)限時(shí)間段的總和卻可以是一個(gè)有限的數(shù)值，例如+++…+=1。通過(guò)這樣的生動(dòng)例子介紹，同學(xué)們就很快進(jìn)入這種情景里，引人入勝，環(huán)環(huán)相扣，使學(xué)生對(duì)極限的學(xué)習(xí)有了強(qiáng)烈的欲望，并留下深刻的印象。

四、總結(jié)

課堂教學(xué)很重要的一點(diǎn)就是要有吸引力，能夠?qū)W(xué)生的眼睛、注意力、身心抓住，使得他們跟著教師的一言一行而動(dòng)，老師的法寶就是用淺顯易懂、生動(dòng)形象的例子將難以理解的概念、性質(zhì)、定理等內(nèi)容進(jìn)行引入、講解，這樣的例子往往令學(xué)生久久回味、很難忘掉[1-8]。日常生活中的事兒，看起來(lái)似乎平淡無(wú)奇，細(xì)想起來(lái)卻常常可以發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)涵著深刻的道理。所以說(shuō)生活給我們提供了豐富而有益的營(yíng)養(yǎng)，等待我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)、去聯(lián)想、去挖掘，留意生活中的現(xiàn)象，并把他們與教學(xué)聯(lián)系起來(lái)，常常可以獲得準(zhǔn)確而淺顯的比喻或?qū)嵗ｋm然講授數(shù)學(xué)課時(shí)的舉例藝術(shù)，只是講授藝術(shù)這個(gè)浩瀚大海中的一朵小浪花，但我們授課時(shí)如果“舉例”運(yùn)用自如、恰如其分，也會(huì)起到意想不到的效果。

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