課堂對話，促進學生數學理解

孫金山

摘 要：“數學課堂對話是教學參與者與教學相關的內容，主要用數學語言交流學習認識、展示思考過程、促進相互理解、分享探究收獲、傳播數學文化的一種交際活動……數學理解的形成條件是自主活動?！币浴罢n堂對話”為手段，以促進學生的“數學理解”為目的，教師設計了《平面向量的分解定理》（以下簡稱“定理”）的教學，就“課堂對話”在課堂中如何促進學生定理的數學理解進行總結和反思。

關鍵詞：課堂對話；課堂教學；數學理解

一、教師與學生對話，發現學生定理學習起點，確定定理教學途徑，促進學生理解

教師要先知道學生目前的位置，即熟悉學生的起點行為后，明了教學目標，再以有效的教學原則和方法，帶領學生到達目的地，才能達到有效教學。教材中直接以向量的坐標表示——向量的正交分解為引，提出將基本單位向量一般化的問題，從特殊到一般推廣數學命題的思路值得實踐。而學生對向量的正交分解的理解是否具有教材期望的水平是個問題。事實上部分教師也不清楚教材中是不是有向量正交分解的概念。另一方面，物理中關于向量的合成與分解的學習先于數學，且是章節重點。于是教師設計了力的分解的實例滑滑梯作為引例，此引例可以通過平行四邊形法則對重力直接進行分解，也可以對支持力和摩擦力進行正交分解。在師生的問答解決實例的過程中，教師發現學生能熟練的運用平行四邊形法則對力進行分解，但是不能說出“正交分解”的概念來。于是教師知道學生雖然會用坐標表示向量，但并沒有體會到坐標系中基本單位向量的意義，沒有理解為什么可以用坐標表示向量。

在后續定理分析時一定要清晰地建立新舊知識的聯系，改善學生

對坐標系本質的理解，促進學生定理的數學理解。

二、學生與學生對話，相互啟發，經歷新知發現過程，促進學生多角度理解新知

“學習知識的最好方式就是自己去發現它?！币龑W生“發現”需要教師設置適當的問題，最終“向量分解的過程中依據的是平行四邊形法則，那么向量分解的結果呈現怎樣的規律性？需要什么樣的條件呢？”替換了最初的“任意一個向量都能用給定的兩個不平行的向量表示嗎？”用一個開放性問題替換了原來封閉型問題，給學生思考的空間，經歷小組討論交流不同猜想的過程：

A組：條件是是非零向量，結論是

B組：條件中要不平行，結論一樣的。

C組：可以是零向量。

在學生發表小組猜想的時候教師的追問實際是鼓勵學生深入思考：“基向量為什么一定要不平行？”“是否成立？”這些問題可能是小組討論過且有結論的，不同學生的解釋能夠幫助同學多一種理解的角度，在猜想不斷完善修正的過程中，能夠促進學生對定理本質全面、多角度的理解。定理唯一性的證明是本節課的難點，雖然只有部分學生能夠真正地理解證明的過程，但是聯系已有知

識解釋說明的過程，能夠讓學生充分體會數學結構體系的邏輯性

和嚴謹性，有助于學生體會數學的思維方式和方法、經歷數學家思考問題的過程，不斷地加深學生對定理本質的理解。

三、學生與文本對話，閱讀教材，使學生理解的定理上升到抽象水平

著名教育家蘇霍姆林斯基在《給教師的建議》中指出：閱讀是對學生進行智育的重要手段。閱讀是學習的基礎，多讀能提高理解能力。指導學生閱讀數學教材，對培養學生的學習能力和學習習慣，使他們能逐步地獨立獲取知識具有重要作用。數學語言的三種形式圖形、文字、符號能準確、簡練、嚴謹地表達數學概念。能夠通過閱讀文本獲得對定理的抽象認識，是數學理解的有效途徑。定理引入教學的關鍵是建立感性經驗與抽象概念之間的聯系。可是由于數學概念的本質是抽象的，因此，在教學的適當階段還應盡可能地擺脫具體或直觀的背景，使概念上升到抽象水平。因此，通過閱讀教材，可以使學生對比精準的數學語言與自己頭腦中的描述之間的差異，在概念形成的過程中矯正偏差，將對定理的認識上升到新的水平。

四、學生與自己對話，理清知識脈絡，內化新知

定理的應用（例1.已知平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點M，設，試用基分別表示和。）是促進學生定理理解的重要途徑，數學理解的形成必須依靠學生自主的活動。教師設計了變式訓練，目的是突出定理的本質屬性，促進學生理解新知本質。學生獨立解題，在熟悉定理條件和結論的同時，希望能夠初步體會到“平面向量分解定理”的化歸思想。變式1（選擇不同的基表示）開放性問題，意圖是讓學生體會到“基”選擇的任意性，同時能夠矯正部分學生對“基”理解的偏差。變式2（若點M不是線段BD的中點，，試用基表示AM）希望學生獲得兩種解題思路，一種是熟悉的向量合成的角度：。另一種是從向量分解的角度：，利用三角形相似比得到定理中λ，μ的值。拓寬用“基”表示平面上的任意向量的思路。但是教師需要點明定理的本質是可以用“基”表示任意向量，至于表示的過程是向量的合成或分解不是定理的重點，也能解除學生的疑

惑：“不學定理我們也會做這樣的題目啊，為什么要學習定理？”定理的學習不在于提供一種解題方法，而是一個理論依據，在解題之前，解題者根據定理就可以知道一定可以用基表示所求的向量，可以說是運籌帷幄。變式3（若點M不是線段BD的中點，。）可以說是對原題和變式2的一般性推廣，期望學生能夠體會到從特殊到一般的數學解題策略，進一步在非本質屬性的變化中體會定理的本質：化歸。

課堂是教師教學的主陣地，提高課堂教學效率是教師“戰斗”的目標。通過課堂對話的多種形式，把握學生的即時學習效果，激發學生不斷地深入思考，引導學生內化新知，促進學生多角度、多層次、更好地理解數學概念提供一種模式。教師還將在豐富教學資源、改善對話策略、技術的輔助等方面多嘗試和反思，以便提高課堂效率，促進數學理解。

參考文獻：

蘇霍姆林斯基.給教師的建議[M].杜殿坤，譯.教育科學出版社，1984-06.

編輯 溫雪蓮