“兩點(diǎn)之間線段最短”的應(yīng)用

傅興亮

在歐氏平面幾何體系中，幾何公理：“兩點(diǎn)之間線段最短”的應(yīng)用非常廣泛。從該公理出發(fā)，能證明出耳熟能詳?shù)摹?yīng)用十分廣泛的三角形三邊邊長關(guān)系定理“三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之和小于第三邊”，同時(shí)該公理在幾何求極值或者最大、最小值也有著舉足輕重的地位。本文意在對該公理在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用和地位進(jìn)行闡述和探討。

一、從數(shù)學(xué)角度認(rèn)識該公理

公理“兩點(diǎn)之間線段最短”在數(shù)學(xué)中是不用證明的，因?yàn)檫@是人們從大量的實(shí)踐中總結(jié)出來的“正確”的經(jīng)驗(yàn)，而且本公理看上去十分“完美、正確”，但是公理本身是不太好證明的。

二、從物理學(xué)角度認(rèn)識該公理

物理學(xué)中費(fèi)馬原理（Fermats principle）：最小光程原理。光波在兩點(diǎn)之間傳遞時(shí)，自動選取費(fèi)時(shí)最少的路徑。費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，由此原理可證明光在均勻介質(zhì)中傳播時(shí)遵從直線傳播定律、反射和折射定律，以及傍軸條件下透鏡的等光程性等。根據(jù)費(fèi)馬原理：光在同一種物質(zhì)中沿直線傳播，而光在同一種物質(zhì)中的傳播速度是定值，而這樣傳播所花的時(shí)間最小，這就解釋了為什么兩點(diǎn)之間線段是最短的。

三、該公理可以加強(qiáng)平面幾何知識的嚴(yán)謹(jǐn)性

在初中平面幾何教學(xué)中，考慮到學(xué)生的接受能力，往往把平面幾何學(xué)中的定理當(dāng)作公理，從而跳過定理的證明過程，而讓學(xué)生直接接受一些事實(shí)，這就導(dǎo)致了數(shù)學(xué)知識體系的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性遭到嚴(yán)重破壞，同時(shí)也失去了訓(xùn)練學(xué)生邏輯思維的題材。教師在教學(xué)中，也樂于這樣去做，好像這樣做，學(xué)生和老師都“輕松、愉快”了。最典型的例子是：“垂線段最短”這個(gè)命題。很多老師會把這個(gè)命題當(dāng)公理，學(xué)生也樂于接受。這樣的做法，其實(shí)是缺乏思考，喪失了訓(xùn)練學(xué)生思維的好機(jī)會。其實(shí)這個(gè)命題的證明是十分容易的，證明如下：

已知：點(diǎn)P是直線AB外一點(diǎn)，PM⊥AB，垂直為M，點(diǎn)N在直線AB上，連接PN。

求證：PM≤PN

證明：延長PM到C，連接NC，利用對稱性或者全等三角形知識，容易證明出：PN=CN，由于PC是直線段，而PNC是折線段或者直線段，由公理“兩點(diǎn)之間線段最短”，就得出：PC≤PN+CN，即2PM≤2PN，所以：PM≤PN。原命題獲證。有趣的是：這個(gè)命題的證明過程中，也順帶證明了命題“直角三角形中斜邊最長”。

四、該公理在歐氏幾何中求極值的應(yīng)用

（一）平面幾何中的應(yīng)用舉例（解法略）

1.已知，A，B在直線L的兩側(cè)，在L上求一點(diǎn)，使得PA+PB最小。（如圖所示）（物理學(xué)角度：“光沿直線傳播”）

2.已知，A，B在直線L的同一側(cè)，在L上求一點(diǎn)，使得PA+PB最小。（如圖所示） （物理學(xué)角度：“光的反射”或者“平面鏡成像”）

3.A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長最小。（如圖所示） （物理學(xué)角度：“光的反射”或者“雙平面鏡成像”）

4.在直角坐標(biāo)系中，有四個(gè)點(diǎn)A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m，0），當(dāng)四邊形ABCD的周長最短時(shí)，求m/n的值。（物理學(xué)角度：“光的反射”或者“雙平面鏡成像”）

（二）該公理在立體幾何求極值的應(yīng)用舉例（解法略）

1.已知：如圖，一圓錐底PAB底面半徑為2，母線長PB為6，D為PB的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿圓錐的側(cè)面爬行到D點(diǎn)，則螞蟻爬的最短路程為多少？

2.已知：如圖，圓柱ADBC的底面半徑為6 cm，高為10 cm，螞蟻從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)的最短路程是多少厘米（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后1位）？

（三）利用該公理“構(gòu)造圖形”求某些特定形式代數(shù)式的極值（解法略）

1.已知，實(shí)數(shù)m、n，且m+n=2，求代數(shù)式：的最小值。

2.已知，實(shí)數(shù)x，求代數(shù)式：的最小值。

綜上所述，公理“兩點(diǎn)之間線段最短”不但應(yīng)用廣泛，同時(shí)也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識和物理知識之間的聯(lián)系，在教學(xué)中如果善用該公理，不但訓(xùn)練了學(xué)生的思維，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)公理化體系，而且也會加強(qiáng)不同學(xué)科知識之間的融會貫通，讓學(xué)生從更深層次理解知識和掌握知識，為學(xué)生將來的學(xué)習(xí)或者研究打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，所以，這是一件非常有意義的事情。

參考文獻(xiàn)：

陳天輝.初升高入學(xué)試題.1版.海南出版社，2012-07.

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