期權定價的n叉樹模型

范宏高

(武漢大學 數學與統計學院,湖北 武漢　430072)

期權定價的n叉樹模型

范宏高

(武漢大學 數學與統計學院,湖北 武漢430072)

摘要：在風險中性假設的基礎上,將三叉樹期權定價公式推廣到n叉樹公式,并證明了n叉樹公式近似滿足Black-Scholes方程.最后以四叉樹為例,使用R程序說明了n(n≥4)叉樹與三叉樹相比,計算效率更高,計算結果更精確.

關鍵詞：n叉樹;四叉樹;Black-scholes方程

中圖分類號：F830

文獻標識碼：A

文章編號：1009-2714(2015)04- 0016- 04

doi:10.3969/j.issn.1009-2714.2015.04.004

收稿日期：2015—09—02

作者簡介：范宏高(1990—)，男，湖北荊州人，碩士，主要研究方向為金融統計.

期權定價的方法有許多種,其中以二叉樹圖法最為直觀與簡單,它是標的資產價格連續時間模型的一種離散形式.從1986年開始,一些學者又開始了對三叉樹定價的研究,并取得了一些進展.明顯地,運用三叉樹研究期權價格比二叉樹研究的結果更準確、更好.自然要問的問題是，能否用四叉樹、五叉樹…n叉樹來研究期權價格？

本文沿用了三叉樹模型的思路，剔除了對稱性條件ud=1，使得風險資產價格上漲與下降比例更加自由。在此假設下給出了n叉樹定價模型，并證明了它以一階時間精度滿足Black-Scholes方程.最后我們詳細地討論了四叉樹的定價公式并給出了一個數值計算實例，說明了n叉樹(n≥4)定價模型比三叉樹近似效果更好.

1n叉樹定價模型

下面我們建立實物期權n叉樹定價模型.設在時刻t到時刻t+Δt內，風險資產S有n種變化狀態：上升到u1S,…,umS，或下降到dm+1S,…,dnS，其概率分別為p1,…,pm,pm+1,…,pn，其中u1,…,um,dm+1,…,dn全不相等且m

E(S)=(u1p1+…+umpm+dm+1pm+1+…+dnpn)S

……………………………………………………………

于是，建立線性方程組

(1)

在此線性方程組中：

1)系數行列式為范德蒙行列式，u1,…,um,dm+1,…,dn全不相等，因而系數行列式不為0，則方程組存在唯一解.

2)下面證明此模型給出的期權定價公式是以一階時間精度滿足Black-Scholes方程。

當給定ui與dj,i=1,…,m;j=m+1,…,n．考慮當Δt→0 時，n叉樹公式的極限

c=e-rΔt[p1Cu1+…+pmCum+pm+1Cdm+1+…+pnCdn]

(2)

其中，Cui和Cdj分別看漲期權到期時的價格，c為看漲期權價格，Cui=max(uiS-X,0) ，Cdj=max(djS-X,0),i=1,…,m;j=m+1,…,n,X為期權的執行價格.

下面證明該漸近的極限是Black-Schole方程的解，由于n叉樹是網格函數，因此必須將其延拓為連續函數，使得兩個函數在網格點上相等[2]，n叉樹的連續模擬可以表示為

c(S,t-Δt)=e-rΔt[p1c(u1S,t)+…+pmc(umS,t)+…+pnc(dnS,t)]

(3)

上式可以改寫成

-c(S,t-Δt)+e-rΔt[p1c(u1S,t)+…+pmc(umS,t)+…+pnc(dnS,t)]=0

(4)

為方便起見，取當前的時刻為t-Δt,記c=c(S,t),假設c(S,t)足夠光滑，對上式在點(S,t)泰勒展開，得

要證明n叉樹期權定價公式近似服從Black-Scholes方程，只需證明下面的等式成立:

e-rΔt[p1(u1-1)+…+pm(um-1)+…+pn(dn-1)]=rΔt+O(Δt2)

(5)

e-rΔt[p1(u1-1)2+…+pm(um-1)2+…+pn(dn-1)2]=σ2Δt+O(Δt2)

(6)

e-rΔt[p1(u1-1)3+…+pm(um-1)3+…+pn(dn-1)3]=O(Δt2)

(7)

事實上，

1)由e-rΔt[(1b)-(1a)]知

e-rΔt[p1(u1-1)+…+pm(um-1)+…+pn(dn-1)]=1-e-rΔt=rΔt+O(Δt2)

2)由e-rΔt[(1e)-2×(1b)+(1a)]知

e-rΔt[p1(u1-1)2+…+pm(um-1)2+…+pn(dn-1)2]=

e-rΔt+e(r+σ2)Δt-2=σ2Δt+O(Δt2)

3)由e-rΔt[(1d)-3×(1c)+3×(1b)-(1a)]知

e-rΔt[p1(u1-1)3+…+pm(um-1)3+…+pn(dn-1)3]=

e(2r+3σ2)Δt-3e(r+σ2)Δt-e-rΔt+3=O(Δt2)

將以上結果代入泰勒展開式，化簡得

-c(S,t-Δt)+e-rΔt[p1c(u1S,t)+…+pmc(umS,t)+…+pnc(dnS,t)]=

由于c(S,t)滿足n叉樹上式，因此得到

當Δt→0時，由n叉樹模型得到的c(S,t)滿足Black-Scholes方程，即n叉樹公式以一階時間精度滿足Black-Scholes方程，至此，已經證明了n叉樹定價模型的可行性。

3四叉樹定價模型

取n=4，建立四叉樹期權定價模型。設在時刻t到時刻t+Δt內，風險資產S有四種變化狀態，S上升到u2S，u1S或下降到d1S,d2S,其中u2>u1>1>d1>d2,其概率分別為p2,p1,q1和q2，同時，根據期望的定義，在時刻t+Δt有

E(S)=(u2p2+u1p1+d1q1+d2q2)S

(8)

于是我們可以建立如下線性方程組

(9)

解此線性方程組，得

(10)

當期權的到期期限為T，執行價格為X時，四叉樹期權定價公式為

此時，可以應用四叉樹定價公式來計算期權價格。

4實例

假設股票價格S=120，執行價格X=100，波動率σ=0.25,無風險利率r=0.1，到期期限T=0.5，我們可以用連續的Black-Scholes公式，計算出該看漲期權的價格為c=25.70902，利用R程序計算出三叉樹與四叉樹定價模型的價格，結果如表1所示：

表1　三叉樹與四叉樹定價模型的比較

從表1可以看出：當k超過一定的值時，四叉樹定價的絕對誤差遠遠小于三叉樹的絕對誤差，并且當k逐漸增大的時候，四叉樹以更快的速度近似于Black-Scholes公式計算的價格。

參考文獻:

[1]丁正中，曾慧.實物期權的三叉樹定價模型[J]．統計與決策，2005，22(11)：5～7．

[2]Kwok Yue-Kuen.Mathematical Models of Financial Derivatives[M].Singapore:Springer Verlag:199~200.

[3]何穎俞.美式期權的三叉樹定價模型[J].黑龍江大學自然科學學報，2008,25(01):83~84.

The n-ary tree option pricing model

FAN Hong-gao

(School of Mathematical and Statistics,Wuhan University, Wuhan430072,China)

Abstract:In this paper, we generalize the trinominal tree option pricing figure to the n-ary tree on the risk neutral hypothesis and prove it satisfying Black-Scholes equation approximately. Finally, it is shown that the n-ary tree (n≥4) is better than the trinominal tree through a quadtree example by the method of R project.

Key words:the n-ary tree ; the quadtree; Black-Scholes equation