筒形件冷擠壓凹模強度設計及結構優化

魯志兵　王成勇　張心怡　張　鵬　王思艷　王　源

合肥工業大學,合肥,230009

?

筒形件冷擠壓凹模強度設計及結構優化

魯志兵王成勇張心怡張鵬王思艷王源

合肥工業大學,合肥,230009

摘要：基于厚壁圓筒理論,分析了整體式凹模工作載荷特點，討論了單純通過增加壁厚來提高模具強度的局限性。為提高承載能力，探討了多層預應力組合凹模方案?；诘谒膹姸壤碚摚茖Я薾層組合凹模承受內壓的數學表達式。采用Lagrange乘子法對組合凹模參數進行了優化設計,推導了n層組合凹模各層最佳徑比分配、凹模極限內壓、套縮界面殘余壓力及最優過盈量等設計變量的計算式。以三層組合凹模為算例，運用理論分析和數值模擬相結合的方法，對上述n層組合凹模的各設計變量計算式進行了驗證，結果表明兩者的結果吻合較好。

關鍵詞：擠壓凹模；強度設計；結構優化；Lagrange乘子法

0引言

在金屬擠壓過程中,凹模起著容納金屬坯料和控制金屬流動的雙重作用，型腔內壁承受較大的擠壓力，容易開裂失效。為提高凹模強度，常采用預應力組合凹模結構。如何合理選擇組合凹模層數，如何合理設計組合凹模的分層半徑以及層間過盈量，是預應力組合凹模設計的關鍵，目前尚缺少成熟的理論。

羅中華等[1]采用疲勞強度設計理論和最優化設計方法探討了三層壓配組合凹模的設計方法。李燕等[2]以彈塑性力學理論為基礎通過保角變換對組合式扁擠壓筒的應力及位移分布進行了計算并對其結構進行了優化。Hur等[3]采用理論分析和數值模擬相結合的方法,研究了雙層、三層組合凹模的結構優化方法。然而，現有組合凹模的研究局限于三層及三層以內，未涉及更多層的結構優化設計。

本文基于厚壁圓筒理論，分析了整體式凹模承載能力的局限性，采用拉格朗日乘子法，對多層組合凹模結構參數進行優化，最后通過一個算例，對所推導的公式進行了驗證，并分析了各層應力沿徑向的分布情況。

1筒形件冷擠壓凹模工作載荷失效分析

圓筒的外內徑之比Rb/Ra>1.2時稱為厚壁圓筒，工程中可將筒形件冷擠壓凹模簡化為內外受壓的厚壁圓筒模型來進行受力分析[4],如圖1所示。

圖1　內外受壓的厚壁圓筒模型

凹模沿軸向應變較小,可以忽略,故可將其視為平面應變問題來處理。在進行受力分析時，所有分量均采用極坐標(r,θ)表示。當厚壁圓筒同時承受內壓pi和外壓pj作用時,在彈性范圍內，環形截面上任意半徑r處產生的徑向應力σr和周向應力σθ由Lame公式[4]得出：

(1)

(2)

式中，σz為軸向應力。

2整體式擠壓凹模受力分析

當擠壓凹模為整體式時，有pj=0,假設整體式凹模產生屈服時的最大承載能力pemax=pi，K=Rb/Ra。在內壁處(r= Ra),σθ-σr有最大值,由式(1)可知:

(3)

由式(2)有

進而得到整體式凹模產生屈服時的最大承載能力：

(4)

當K由小到大取不同值時,繪得凹模pemax/σs與K值的關系曲線,如圖2所示。

圖2　凹模pemax/σs與K值的關系曲線

由圖2可知:

(1)對于選定凹模材料，σs為定值,pemax的值與Ra無關,僅與K值有關,當K值增大時，pemax增大；

(2)對于整體式凹模,K為4~6較為合理。當K>6時,隨著K的增加,pemax增加不明顯；

由式(1)，可得整體式冷擠壓凹模在彈性范圍內沿壁厚方向任意一點處的周向應力σθ和徑向應力σr的表達式：

(5)

由式(5)得,在內壁處(r= Ra)處,周向應力取最大值。最大周向應力σθmax與K的關系式如下：

(6)

將式(5)代入式(2)得環截面上任意半徑r處產生的等效應力表達:

(7)

(8)

圖3　σθmax/pi及與K值的關系曲線

由圖3可知:

(2)當K<4時，隨著K值的增大，σθmax和

綜上所述,在實際生產中,考慮到材質的影響，一般取總徑比K為4~6為宜。當擠壓凹模承受的單位擠壓力超過1100MPa時，為了提高凹模強度，防止縱向裂紋產生，生產中普遍使用預應力組合凹模。

3多層冷擠壓組合凹模受力分析

3.1多層組合凹模結構及彈性解

多層組合凹模是利用過盈裝配將兩個或多個不同直徑的同軸筒體縮套在一起,形成多層筒體,套合后外層筒體收縮使內層筒壁產生壓縮殘余應力，以提高凹模在工作時的彈性承載能力[6]。同軸套縮多層組合凹模結構示意圖[7]見圖4。

圖4　同軸套縮多層組合凹模結構

根據式(1),第m層圓筒彈性解的周向應力(σθ)m和徑向應力(σr)m的表達式如下[9]：

(9)

3.2多層組合凹模優化設計數學模型

在組合凹模的優化設計中，要求最大限度地發揮材料性能。本文以內層凹模和預應力圈在工作內壓下同時屈服為目標進行優化，以第四強度理論為設計準則，當每層筒體內壁處的等效應力同時達到材料的屈服極限時即組合凹模失效。

根據上述要求及式(9),在極限狀態下,第m層內壁屈服時的應力表達式為

(10)

將式(10)改寫成如下形式：

(11)

則有

(12)

將式(12)中各式疊加,得

(13)

按照假設,K為常數,則多層組合凹模中存在的數學優化模型如下：

(14)

(15)

對式(15)求偏導并令偏微分均等于0,有

(16)

于是，可得到

(17)

式(17)構成了一個非線性方程組。

3.3多層組合凹模優化結果及其分析

3.3.1總徑比K的最佳分配

求解式(17),得各層徑比Km的最優解表達式為

(18)

3.3.2組合凹模所能承受的極限工作內壓分析

將式(18)代入式(13)可得多層組合凹模的極限工作內壓pimax表達式:

(19)

由式(19)可知,當組合凹?？倧奖菿和總層數n確定后,組合凹模極限工作壓力pimax的大小與層的順序無關，與各層材料的屈服應力有關。此式也適用于各層材料相同的組合凹模，根據式(4)和式(19),繪出了10層以下相同材質的組合凹模pimax/σs1與總徑比K之間的關系曲線，如圖5所示。

圖5　組合凹模pimax/σs1與總徑比K之間的關系曲線

從圖5可知：

(1)當K和σs1一定時,組合凹模的層數越多，組合凹模極限工作內壓pimax越大。即當凹模安裝尺寸一定的情況下,采用m層組合凹模比m-1層組合凹模能承受更高的工作內壓；

(3)在凹模安裝空間尺寸允許的情況下,當組合凹模的總徑比K>6時,在一定范圍內仍能明顯提高組合凹模的極限工作壓力。

3.3.3組合凹模界面套縮殘余壓力分析

(20)

將pimax代入式(12)疊加，得極限工作壓力下第m與第m+1層間分界面處的接觸壓力為

(21)

將套縮后的多層組合凹模視為整體筒體進行分析,根據式(1)可得，在pimax作用下,第m層與第m+1層套縮界面處產生的壓力pm為

(22)

由式(19)~式(22)得

(23)

3.3.4組合凹模最優過盈量設計

對于兩層以上的組合凹模而言，套縮壓力并不等于套縮界面殘余壓力，還與其余外層套縮壓力在該界面處產生的徑向壓力有關。多層組合凹模一般由內向外過盈裝配，即先將凹模套縮在第2層預應力圈上，形成雙層組合凹模，然后把雙層凹模視為整體式凹模套縮于第3層預應力圈上，按照此配合順序，將n-1層組合凹模套縮于n層中，形成n層組合凹模。故n-1層與n層配合面處的套縮壓力即為套縮產生的界面殘余壓力。第1層到n-1層間的套縮殘余壓力是本層套縮壓力與其余外層套縮壓力在該套縮界面處產生的徑向壓力的疊加。由式(1)根據力的疊加原理得，第m層與m+1層間套縮壓力psm表達式為

i=m+1,m+2，…，n-1

(24)

對于雙層組合凹模而言,由文獻[10]可知,組合凹模在不承受工作內壓時，套縮壓力ps與層間半徑過盈量δ之間的關系式如下：

(25)

式中,E為彈性模量;R0為套縮界面半徑;Ri、Rj為雙層組合筒體的內外半徑。

將第1層到第m層筒體按照先后順序裝配完成后套縮于第m+1層筒體，此時可將第1到m層筒體視為內筒，第m+1層視為外筒，故在套縮壓力psm作用下,由式(25)得第m與m+1層間半徑過盈量δm為

(26)

3.4三層組合凹模優化及應力分析

3.4.1最優凹模參數設計

本文優化的三層組合凹模內徑Di=80mm，材料為高速鋼W6Mo5Cr4V2，其屈服強度σs1=1250MPa;中層預應力圈材料為30CrMnSi，其屈服強度σs2=885MPa;外層預應力圈材料為5CrNiMo，其屈服強度σs3=729MPa,各層材料的彈性模量均為E=200GPa，總徑比K=4。由式(19)解得組合凹模的極限承載壓力pimax=1013.8MPa,由式(18)、式(21)、式(23)、式(26)求得組合凹模的優化參數，如表1所示。

3.4.2三層組合凹模應力場分析

本文基于ABAQUS軟件，利用表1中的優化設計參數，對三層組合凹模裝配過程進行有限元仿真分析，得到了凹模在1013.8 MPa工作內壓下的周向應力、徑向應力沿壁厚方向的分布曲線，如圖6所示。

表1　三層組合凹模的優化設計參數

(a)周向應力分布

(b)徑向應力分布圖6　應力沿壁厚方向的分布曲線

從圖6a中可以看出，凹模過盈裝配后，在不承載的情況下，第1層周向殘余應力為壓應力，第2、3層為拉應力，其數值在各層內壁處達到最大值且沿著壁厚方向減小。凹模承載后，第1層的周向殘余壓力能部分抵消工作應力在壁厚方向上產生的拉應力，從而降低了凹?？v向開裂的傾向。根據力的疊加原理，疊加后第1層的周向應力部分由壓應力轉變為拉應力，第2、3層的周向拉應力值相對增大。

從圖6b中可以看出，凹模過盈裝配后，徑向殘余應力均為壓應力，在整個組合凹模的內外壁處應力值為0，且沿壁厚方向變化不均勻。凹模承載后，徑向最大壓應力值位于第1層凹模的內壁處，且沿壁厚方向呈現減小的趨勢。

為了驗證有限元模擬結果的正確性，將各層內外壁處的應力值進行了對比分析，如表2所示。從表2中可以看出，優化數值解和理論解比較接近，相對誤差較小，有限元分析結果和理論分析結果得到了相互驗證。

表2　三層組合凹模中各層內外壁應力值對比

4結論

(1)整體式凹模的彈性承載能力隨壁厚的增加而提高，凹?？倧奖菿取4~6為宜，在工作狀態下內壁處的等效應力和周向拉應力數值最大，且其最大值隨壁厚的增加而減小，當K>6時承載能力增加不明顯。

(2)本文基于第四強度理論，考慮了中間主應力對材料屈服的影響,能較好地反映材料的屈服特性，接近于工程實際應用。采用Lagrange乘子法對多層組合凹模進行優化設計，推導出各層最佳徑比、凹模極限承載壓力以及最優過盈量的計算公式。

(3)通過對三層組合凹模的優化設計，借助有限元建模分析驗證了理論推導公式的正確性。

參考文獻：

[1]羅中華，張質量. 多層壓配組合冷擠壓凹模疲勞強度優化設計[J]. 上海交通大學學報，2002，36(4)：466-469.

LuoZhonghua，ZhangZhiliang.FatigueStrengthOptimumDesignofMulti-layerPress-fitCompositeColdExtrusionConcaveDie[J].JournalofShanghaiJiaotongUniversity，2002，36(4):466-469.

[2]李燕，劉全坤，王勻，等. 三層預緊扁擠壓筒變形及應力分布的數值模擬[J]. 中國機械工程，2003,14(12)：1074-1076.

LiYan，LiuQuankun，WangYun，etal.NumericalSimulationofDeformationandStressDistributiononThree-layerExtrusionDie[J].ChinaMechanicalEngineering，2003，14(12)：1074-1076.

[3]HurKD,ChoiY，YeoHT.ADesignMethodforColdBackwardExtrusionUsingFEAnalysis[J].FiniteElementsinAnalysisandDesign,2003,40(2):173-185.

[4]徐秉業，劉信聲．應用彈塑性力學[M]．北京：清華大學出版社，1995．

[5]錢凌云，劉全坤,王成勇,等.厚壁圓筒自增強壓力的優化分析[J].中國機械工程,2012，23(4):474-478.

QianLingyun，LiuQuankun，WangChengyong，etal.OptimizationAnalysisofAutofrettagePressureforThickWalledCylinders[J].ChinaMechanicalEngineering，2012，23(4)：474-478.

[6]SponsortheInstitutionofMechanicalEngineers.HighPressureEngineering[M].London:InstitutionofMechanicalEngineers,1977．

[7]ASMEStandard.RulesforConstructionofHighPressureVessels[S].NewYork:ASME,2007.

[8]敖文剛，張賢明，伍太賓. 考慮材料拉壓異性的三層預應力組合凹模設計[J]. 塑性工程學報，2011，18(1)：72-76.

AoWengang,ZhangXianming,WuTaibin.DesignofThree-layerPrestressedCombinationDieConsideringDiversityinTensileandCompressiveStrengthofMaterial[J].JournalofPlasticityEngineering，2011，18(1)：72-76.

[9]李同林.彈塑性力學[M]. 武漢：中國地質大學出版社，2006.

[10]邵國華. 超高壓容器設計[M]. 北京：化學工業出版社，1983.

(編輯袁興玲)

Strength Design and Structural Optimization of Cold Extrusion Die for Cylindrical Workpieces

Lu ZhibingWang ChengyongZhang Xinyi Zhang PengWang SiyanWang Yuan

Hefei University of Technology,Hefei,230009

Abstract:Based on the theories of thick-walled cylinder, the mechanical characteristics of integral die under working conditions were analyzed and the calculation results show that it is difficult to increase the die strength only by increasing the wall thickness. In order to improve the load supporting capacity of the die, the scheme of prestressed multilayer the die was discussed. Based on the fourth failure criteria,a mathematical expression of n-layer combinatorial die under internal pressure was deduced. Lagrange multiplier method was used to obtain the optimum design parameters of combinatorial die. The design formulas of optimum diameter ratio of each layer, the limit loading pressure，the residual pressure in shrinkage interface and optimum radial magnitude of interference were investigated. Through the optimum design of three-layer combinatorial die, the derived formulas was verified using two methods of theoretical analysis and numerical simulation.The investigation shows that the simulation results are consistent with the theoretical ones.

Key words:extrusion die;strength design; structure optimization; Lagrange multiplier method

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51275146)；教育部科學研究重大項目(311025)；安徽省自然科學基金資助項目(1208085ME71)；留學回國人員科研啟動基金資助項目

收稿日期：2015-01-23

中圖分類號：TB125DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.23.018

作者簡介：魯志兵，男,1990年生。合肥工業大學材料科學與工程學院碩士研究生。主要研究方向為塑性成形及模具CAD。王成勇,男,1972年生。合肥工業大學材料科學與工程學院博士、副教授。張心怡，男，1990年生。合肥工業大學材料科學與工程學院碩士研究生。張鵬,男,1990年生。合肥工業大學材料科學與工程學院碩士研究生。王思艷，女,1990年生。合肥工業大學材料科學與工程學院碩士研究生。王源,男,1991年生。合肥工業大學材料科學與工程學院本科生。