高中數學解題歌訣的應用舉例

張秀梅

摘 要：文章從高中教學的實際出發，將波利亞的《怎樣解題表》簡化為易于記誦的解題歌訣。該歌訣揭示了數學解題的三個階段，即：知識準備、挖掘線索、總結歸納，并通過例題解釋了“變形未知數” “分解條件走兩步” “從簡單入手” “畫張草圖”等常見的線索挖掘方式。

關鍵詞：解題策略；高考；數學.

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）02-200-01

“不會解題”是很多同學在數學學習進程中遇到的瓶頸。他們常常感嘆：“基礎知識我都會了，老師上課講的我也能明白，可是就是不會做題！”我根據自己的解題經驗，借鑒并簡化波利亞的“怎樣解題表”，依“憶江南”詞牌，填了一首名為《怎樣解題》的詞。如下：

“相識否？變形未知數！分解條件走兩步，簡單入手畫張圖。莫忘采蘑菇。”

學生在熟記并理解之后，通過教師的經常性的思路分析，解題能力得以很大提高。遂整理成文，可供讀者參考。

這首詞揭示了數學解題的三個階段：

第一階段，解題前，要有一定的知識準備，即基礎知識與常見技巧。頭腦中要有清晰地知識體系，要了解對不同題型的基本解法，比如：“怎樣證明直線過定點？怎樣判斷數列的單調性？求線面角有哪些方法？”等等。只有這樣，才能在分析題意之后，有種“似曾相識的”的感覺。要的就是這種感覺！解決問題的本質就是從未知關系中找到已知結構。所以，讀完題后，馬上問自己：“我做過與之類似的問題嗎？它屬于什么題型？這種題型有哪些常見思路？”如果認識，那就動手吧！如果不認識，說明線索隱藏的很深，我們要把它們通過各種手段挖出來，轉化成熟知的題型或知識！

例1、（09上海）當 ，不等式 成立，則實數 的取值范圍是_____.

分析：本題屬于“已知不等式恒成立，求參數范圍”的問題。對這類問題，有兩種常見的思路，一是分離參數，將問題轉化為函數最值，二是利用數形結合思想，研究函數圖象的變化規律。如果利用第一種思路，則 ，只需求 的最小值，而 ，則很難繼續求解。

再嘗試第二種思路，我們發現，

不等式左右兩側都是

熟知的初等函數。于是，

作出 與 的圖象，

要使不等式 成立，由圖可知須k≤1。

第二階段，解題時，充分挖掘題目中的線索。常見的解題策略有：（1）“變形未知數”。目標是解題的關鍵，只有確定了準確的解題方向，才能一步一步探索出正確的方法。實際上，這就是我們常說的分析法，它的思維結構是“要證……只需證……”，“為了求出……只需求出……”等。

（2）“分解條件走兩步”。有些題目條件較多，線索比較復雜，這時，我們可以考慮將每個小條件分解出來，看看它們各自能推出什么，這就是所謂“向前走兩步”。在“走兩步”的過程中，要時刻注意各個小條件之間的聯系以及最終目標。

（3）“從簡單入手”。指從特值特例入手發現題目的解法或者結論，比如對一般圖形成立的問題，我們可以從特殊圖形入手；對某個點動態變化成立的問題，我們可以從某個特殊的固定狀態或極限狀態入手。

例2、（05全國卷1） 的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H， ，則實數m =

分析：由題意可知，對于變化的 ，總有一個固定的m值使得等式成立。于是，考慮以C為頂點的直角三角形，H與C重合，O為 的中點。此時， ， ，所以，m的值應為1。這就成功的解答了此道填空題，并為后續的嚴格證明提供了方向。

（4）“畫張草圖”。數形結合是高中數學的一個基本思想，貫穿于函數、三角、向量、解析、立體等大量章節。圖形的直觀性，為我們清晰的思維提供了便利，。我們應該把畫草圖（不一定很精確）作為解題的一個基本習慣。再舉一個例子，它體現了“研究方程解的個數和位置，而方程不能解時，要通過圖像交點來解決”這一基本技巧。

例3、（07天津）設 均為正數，且 ， ， .則（ ）

A. B. C. D.

分析：此題中 的值是無法解出來的，故采取畫函數圖象觀察交點位置的策略。

設 ， ，

， ，則 即為

與 圖像交點的橫坐標。在同一坐標系里，畫出四條函數曲線，結果自明。

第三階段，解題后，適時總結歸納，這就是所謂“莫忘采蘑菇”（蘑菇有個特性，總是成群生長的）。我們要問自己：“這道題的解法有一般性嘛？還有沒有其他解法？有沒有與這道題敘述相似或解法相似的問題可以歸類總結？”比如，例1中所提到的“恒成立問題的常見解法”，就是對多個題目類比總結之后形成的體系。當然這是一個逐漸積累，不斷完善的過程。