高中自主探索大學數學先修課程的實踐研究

徐岳燦

(上海市上海中學，上海 200231)

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高中自主探索大學數學先修課程的實踐研究

徐岳燦

(上海市上海中學，上海 200231)

摘要：教育是一個連續性的過程，為了進一步促進基礎教育與高等教育的有效銜接，根據北京大學提出的“中國大學先修課程”和美國“AP”課程，上海中學開始自主探索在高中階段開設大學先修數學課程。經過近一年半的實踐，從課程內容的確定、教學方式的選擇以及對課程的評價等方面探索出適合上海中學資優生學習先修課程的寶貴經驗。實踐經驗以及有關研究充分表明，大學先修課程可以較好地解決中學教育和大學教育的銜接問題，也為培養拔尖創新人才創造了基本條件。

關鍵詞：先修；課程；數學；自主探索

美國AP(Advanced Placement)課程是國際上比較有影響的大學先修課程，被全球教育界認可為具有較高學業水準的教育項目，對于一些有潛質的學生及早學習大學預科內容、促進學生的專業指向選擇有很大的引領作用。近年來，我國大學也在嘗試中國的大學先修課程，簡稱CAP(China Advanced Placement)，然而，一個最大的難題是針對國內學生間的巨大差異而缺少適應性。上海中學作為比較早引入美國AP課程到國際部實踐的學校，在國際部教學中取得了國際領先的成績。由于學校本部聚焦了一批資質優異的學生，為了使他們的優勢潛能得到開發，學校進行了高中自主探索大學數學先修課程的探索，文章對學校自主探索大學數學先修課程進行了實踐研究，旨在獲得好的經驗在其他學科中推廣。

一、自主探索大學數學先修課程的背景

2012年年底，北京大學率先提出在全國范圍內的著名中學內為一部分優異高中學生實施大學先修課程，主要開設古代漢語、微積分、普通物理、電磁學、大學化學等課程，這是北京大學為全國的優秀中學生實行菁英教育的一部分。北京大學在暑期為這些全國優秀的中學培訓相關師資，在培訓課程中明確先修課程的教學目標與要求，同時確定考試范圍與要求。接著各中學根據教學實際選擇部分課程在中學內開設，完成課程后由北京大學組織考試，根據考核結果可以獲得相關課程的大學學分，并為北京大學自主招生提供參考。

為優秀高中生開設大學預先課程在美國已經實施多年，其中最典型的是美國AP課程，中文一般翻譯為“美國大學先修課程”，美國高中AP課程有22個門類、37個學科，已在美國15000多所高中里普遍開設。它可以使高中學生提前接觸大學課程，避免了高中和大學初級階段課程的重復。美國高中生可以選修這些課程，在完成課業后參加AP考試，得到一定的成績后可以獲得大學學分。AP成績已成為美國大學重要錄取依據。根據美國大學升學顧問委員會在全美范圍內所作的調查，由于美國大學已經普遍把學生在AP考試中的表現作為衡量其是否能夠勝任大學學習的依據，因此AP考試成績已經成為眾多大學錄取考慮因素中最為重要的依據之一。AP課程完全符合美國一流名校的招生理念和選材思維模式，其表現在于一方面能增加GPA成績，又是學生學習能力和未來發展潛力的最好證明。[1]

上海中學作為一所國內一流、國際知名的著名學校，在聚焦志趣、激發潛能的辦學理念指引下，學校在思考如何讓每一位學生在創新素養培育的土壤中充分參與并從中獲益。正是在北京大學和美國AP課程的共同引領下，上海中學從2013年5月起，組織成立了上海中學大學先修課程領導小組，決定從2013年9月起在高二年級部分學生中自主探索大學先修課程：自主探索數學大學先修課程與物理大學先修課程。文章主要對自主探索上海中學數學大學先修課程(以下簡稱SAP數學)的實踐進行分析。

二、自主探索SAP數學課程的實踐

1.學生的組成

上海中學高二年級由3個理科特色班(數學班、科技班與工程班)和7個平行班組成。其中3個理科特色班具有理科特長，班級學生綜合素質優秀等特點，因而在相關課程的內容與深度方面都超過其他7個平行班，這為學校開設大學先修課程創立了基礎。在剛剛過去的2013學年中，學校以數學、物理兩個學科作為試點，組織了高二年級7個平行班中學有余力的共70名學生，和3個理科班的120名學生共計190名學生，作為學校的大學先修課程的首批學員。

2.內容的確定

如何確定適合我們高中生的SAP課程數學學科的教學內容是開設先修課程遇到的最大問題。結合學校學生實際情況以及北京大學提出的大學先修課程要求，一方面我們不能全部遵照北京大學對大學先修課程的要求，原因主要有二：其一是學生的選擇面過于單一，該課程的考核成績僅能供北京大學使用，不適合大部分學生將來的大學目標；其二師資與學生能力有待提升，盡管作為一名高二的優秀學生，但是北京大學的大學先修課程對學生能力的要求超過本校學生的實際水平。其課程要求幾乎是把相應的大學課程直接下放到中學中來，學生知識與能力還沒有達到相應要求。合適的師資短缺也是我們遇到的實際困難，作為教授大學課程的教師，需要相當的能力水平，僅僅依靠北京大學的培訓，不足以承擔這樣的教學任務。另一方面我們也不能直接實施美國的AP課程，許多AP課程是美國大學一年級的課程，AP成績雖然已經成為美國大學重要錄取依據，但是其教學內容不適合上海中學學生的學習，我們最后確定具有上海中學特色的課程內容，形成上海中學自主特色的SAP數學課程，每學科確定了14個主題內容。結合上海中學學生自身特點，按章節內容，以此激發這些資優生的學習潛能。以下是SAP數學課程的教學內容：

第一講：容斥原理與抽屜原理；

第二講：均值不等式與柯西不等式；

第三講：不等式的證明；

第四講：多項式與方程；

第五講：函數迭代與函數方程；

第六講：導數的應用(1)(導數的定義、利用導數求最值等)；

第七講：導數的應用(2)(定積分與不定積分，利用導數求面積、體積等)；

第八講：數論初步(1)( 整數的整除性、整除性定理、質數與合數算術基本定理；

第九講：數論初步(2)(不定方程、同余概念與性質、一次同余式)；

第十講：遞推數列(差分方程、利用特征根求解數列)；

第十一講：數列不等式(數列與不等式證明的整合)；

第十二講：曲線系(曲線系方程、切線方程、切點弦方程、極線)；

第十三講：組合初步( 排列組合、計數原理)；

第十四講：復數(復數方程與復數三角式)。

為確定上述14個主題的內容，我們數學組的5位任課教師經過認真討論，仔細參閱北京大學先修數學課程的內容綱要，并結合最近幾年各重點大學自主考試對學生的要求，再參照上海中學的數學基礎型課程綱要，并根據這些優秀學生的學習能力，最后決定上述內容作為SAP數學的基本教學內容。如第六講與第七講是大學高等數學的基本內容，在國內其他省市已經作為高考要求，而上海市至今未作要求，學生很有必要學習這部分內容。又如第一、二、八與九講是高中數學競賽的核心內容，參與SAP課程的部分學生以前有所涉及，但是不夠系統，需要全面有機的整合與提升。其余的幾講內容基本是高中數學教材的衍生與提高，如差分方程、利用特征根求解數列，雖然它們在高考中不作要求，但是我們認為這些內容對于提升他們的綜合數學素養是必不可少的。

3.教學模式

這些內容以兩種形式在高二年級中逐步推行。對于3個理科班，我們把自主探索的大學先修數學課程的14個主題內容穿插在高二整個學年的平時課堂教學中，要求這3個班級中的每位學生必須學習這兩門課程，而7個平行班的學生，在高一學年結束時根據學生意愿擇優錄取，共選拔70名學生，其中數學40名，物理30名，并把學生各分成20人與15人的兩個小班，由數學、物理教師各2名開展小班授課。教師授課主要以講解為主，確保課堂授課的質量和效率。為進一步降低學生的學習障礙，我們在授課計劃上，力求與高二課堂上的數學內容緊密配合，盡量避免有些知識點先上大學內容，再上中學內容的尷尬，在內容上細致處理好大學和中學內容的銜接照應，解題能力和學科思維并重，理性思辨和直觀認識并重，力求兼顧課程內容的趣味性、應用性，多舉例、多歸納、多聯想，少些枯燥的推導、刻板的論證和機械的重復。

以下例舉第四講的授課講義，以資說明：

第四講多項式與方程

【知識提要】

推理1：首項系數為1的整系數多項式的有理根必是整數根。

推理2：整系數多項式的整數根，必是常數項a0的約數。

2.本原多項式：f(x)=anxn+an-1xn-1+……+a1x+a0，系數an，an-1，……，a1，a0沒有異于±1的公因子，也就是它們是互素的。

高斯定理：兩個本原多項式的乘積還是本原多項式。

定理2：如果整系數多項式能分解成兩個次數較低的有理系數多項式的乘積，那么它一定能分解成兩個次數較低的整系數多項式的乘積。

推論：設f(x)，g(x)都是整系數多項式，并且g(x)是本原的，如果f(x)=g(x)h(x)，其中h(x)是有理系數多項式，那么h(x)一定是整系數的。

3.三次方程的韋達定理： 設三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三個根分別是x1，x2，x3，則有

4.零值定理：設函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，且f(a)f(b)<0，那么在開區間(a，b)內至少存在實數c，使得f(c)=0

知識提要是對SAP數學課程中的每一講的重要內容的高立意的體現，對學生理解本講內容起到引領與歸納作用。既要找到適合學生發展的教學內容，也要找到推動學生發展的教學方式，并從理性的層面探索將教學內容與教學方式聯系起來的結合點，這對培養SAP的數學學科素養有積極作用。

【典型例題】

n=1時，f1(x)=1+x，它在R上單調遞增，且值域為R

故n=1，2時結論成立

設n=k-1時結論成立，則n=k時，

綜上，當n為偶數時，fn(x)>0恒成立，故fn(x)=0沒有實數根；n為奇數時，fn(x)單調遞增，且值域為(-∞,+∞)，故fn(x)=0有且僅有一個實數根。

對于每個例題的選取，需要結合這些對數學有較高天賦學生的發展分析，他們對數學的領悟能力與數學的深刻性有明顯的體現，如模式、方法、思想的遷移，即能夠對所學數學知識、數學公式、例題解法等，模仿應用到相關數學問題的解決中去，如上例關于數學歸納法的應用，要求能用數學歸納法去解決代數、數論、組合中的一些問題，甚至在平面幾何中都有應用，需要一些創造性的模仿。這些內容與方法的學習對于將來大學課程的學習不僅是知識的預備，更是相關數學思想與理念的預先介入。

對應每一講的具體內容如何確定，又需要任課教師反復斟酌，至于這些內容如何講解，那是更需要綜合考慮方方面面的因素。如上述“多項式與方程”的內容確定，考慮到多項式內容僅在初中階段出現，那時只是對多項式的運算而已，即多項式之間的加、減、乘、除4種運算，從來不涉及它的應用。而事實上，方程問題貫徹整個中學階段，不僅是初中教學的重點，也是高中教學的一部分，甚至大學同樣涉及，而方程與多項式又緊密相連。因此我們認為，對于高中階段知識的完備性而言，這講內容缺少不可。講解的內容達到什么程度，也是教師值得關注的。如果要求太高，擔心學生的接受能力與知識儲備不足，繼而學生失去信心，如果要求太低，學生的收效將降低。因此，最后我們一致同意使每一講的教學難度低于競賽要求，但又高于高考要求。

每一講的講義基本由三部分組成，第一部分是本講內容涉及到的知識點介紹，少量的是學生已有知識的總結與提升，絕大部分的是新知識的要點概括，這部分內容在每講中大約需要占用約20分鐘的時間；第二部分是精選例題，一般有10至15個例題，難易適當，題型也有變化，有的是選擇題，有的是填空題，大部分是解答題，筆者在上述第四講中舉例其中的3個例子。對應這些例題，基本是由教師主講，大約需要占用60分鐘時間，余下的10分鐘，教師需要講評作業中的錯誤。第三部分是課后練習，一般會根據當天的主講內容，配合適量練習，題量控制在6到8個練習題，題型多樣，難度低于上課內容，主要是為了鞏固課堂中的新知識，要求學生獨立完成。

三、自主探索SAP數學課程的評價

我們通過對自主探索SAP數學先修課程的實踐，認為此課程拓寬了高中學生的學科視野，聚焦學科志趣。為保證先修課程的進度和質量，不影響學生正常的課堂教學，我們把先修課程的所有課時都安排在周日晚上19:30到21:00，而且把課程的評價分階段按內容進行，每堂課后，都留有6～8個問題作為課后作業，在接下去的周三晚自修結束前遞交。負責教師對學生遞交的作業必須進行合理的評價，等下周日晚上開始前還需要對作業進行評講。每學期的開學初，學校教學處會根據校歷安排14個主題的具體上課日期以及最后的考核時間。上述平行班的40名學生在高二年級第一學期結束前，我們還要組織考核，由第三方命題，統一參加最后一次的90分鐘后的測試，對學生在這一學期的所學內容進行全面的考核，考核題型如平時課堂教學類似，難度也與課堂教學相當，根據過去的一年中的兩次考核結果，平均分在85分左右，達到預期的目標。以下各選取每種題型的其中二題。

選擇題二例：

1.使得(1+i)n=(1-i)n，n∈N*成立，則最小的自然數n的值是_______。

A. 8B. 6C. 4D. 2

2.三邊長均為整數，且最大邊為11的三角形的個數為_______。

A. 37個B. 36個C. 26個

D. 25個

答案：1. C; 2.B

填空題二例：

2.旅游車上乘坐著日本、美國、法國三個國家的游客，現知道日本游客有18人，法國游客有9人，成年男游客中美國游客5人，法國游客3人；成年女游客中日本游客5人，法國游客3人；男孩中日本3人，美國2人；女孩中美國2人，法國1人；還知道成年女游客比成年男游客少2人，而男孩與女孩一樣多，則美國游客的人數是__________。

計算題二例：

1. 設函數f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+……+|2014x-1|，問x為何值時，f(x)取到最小值，并求出最小值。

2. 已知x1，x2，x3，……，xn均為正實數，x1x2x3……xn=1，求證：

對于這些考試題目的選定，一方面需要考慮學生的實際情況，畢竟這部分內容學生是在課后業余時間獨立完成，大部份是自學而成，體現出他們對數學的熱愛。作為SAP的課程教師主要工作是指導與總結，學生在該課程上的投入精力也是一般，因此要求學生對SAP課程的基本要求能熟練掌握，如試題中的大部分填空題與選擇題。另一方面，作為SAP課程教學，需要對他們的菁英教育有實質的體現，如給出的兩道解答題，都是對最近兩年北大自主招生考試題目的適當改變而得，體現了該課程的核心思想，對推理、演繹、運算、應用、分析、數形結合等重要知識團進行了系統的整合。

我們不僅對學生在SAP數學課程中所學內容進行考核，還把他們在先修數學課程中取得的成績與該生在年級中的綜合排名取得對照。高二年級共有391名學生，參與SAP數學考核的學生共有190人，從對照中我們能發現大部分學生在先修數學課程中取得的成績與該生在年級中綜合排名正相關，除個別學生偏科外，如數學課程中的滿分獲得者在校綜合排名僅為269，僅有8位學生在年級中的綜合排名位于年級200名至300名之間，這種現象符合SAP的課程教學與特殊學生的需要，我們希望一些在數學方面有特長的學生在數學領域有杰出的表現，尊重學生在數學學習上的差異性。當然從中可以發現選取的90%以上學生位于年級中等水平以上，體現出這部分學生的突出表現，證明了他們有能力完成這門課程，這也是我們為什么要開設大學先修課程的基本原因。

從學生對課程的反饋分析。自從學校推出AP數學課程以來，吸引了一批數學愛好者。筆者認為原因有許多，有的學生認為課程名稱很時髦，迎合了一部分想出國深造的學生，他們把學校自主探索的SAP數學課程與美國的有關數學AP課程聯系起來，有的學生熱衷于數學探究，這是難得的機會，因此想要爭取到上課的名額，競爭相當激烈。正是由于學生喜歡該課程，所以從一開始就對該課程評價很好，任課教師準備充分，參與學生的水平又相當優秀，是難得的相互探討的機遇。對應具體的教學內容，學生也都非常樂觀，他們認為在AP數學課程中學到的知識開拓了眼界，加深了對數學的熱愛。其中一位學生曾說：“這些上課的知識與技能雖然不能直接在平時的課堂教學中體現，但對學生的綜合數學素養的提升起到積極的作業?！彼e例說明：在剛過去的一次重要測驗中，有如下一題：

四、高中自主探索大學數學先修課程的設想與建議

中學生在沒有確定自己將來所學專業的時候去先修大學課程，學生的積極性非常關鍵，既不能把它包裝成全部應付升學考試的補習課，更不應該簡單照搬大學的基礎課程，而是必須圍繞學生的需求和興趣作出一些特別應對。[2]

面對這樣的現實情況，我們同樣不是避而不談，每一輪課程結束，教師都需要對課程的設計進行反思，結合學生的學習實際調整教學內容與教學方法。如，第一學期的學生在學習第14講《復數》時，由于正常的教學安排，《復數》內容需要在高二第二學期執行，因此在開始之前，需要簡單介紹相關的復數基本知識，而第二學期的學生就沒有這樣的必要了。現在我們正面臨國內高校自主招生改革和國外大學錄取形勢同時的快速變化，對應最近的從2017年起的高中綜合改革新政，同樣需要在我們的AP數學課程中大膽體現。大學先修課程的模式是培養優秀學生的重要改革方向，但需要更細致的設計和實施，但愿我們的嘗試能有一點積極的效果。

隨著AP數學課程的逐步深入開展，部分學生在其他學科中也提出相應的要求，如物理、化學兩學科，因此，建議類似的學科逐步開設，滿足優秀學生的需要。為了取得更佳的效果，我們時刻與學生在一起，不斷聽取學生的建議，如教師授課進度太快、某個專題涉入不深、有些知識太難等問題，又如要求學校提供教學平臺，供溫習之用。我們一般都會積極采納，減少學生的學習障礙。在自主探索大學先修數學課程上，為了資優生的優勢潛能開發，學校將持續探索下去。

參考文獻：

[1]范端喜.名牌大學自主招生(數學)[M].上海：華東師范大學出版社，2013.

[2]美國AP課程[EB/OL].http://baike.baidu.com/view/245139.htm.

The Research into the Independent Exploration of Advanced Placement

Mathematics Courses in Senior High School

XU Yuecan

(Shanghai High School, Shanghai 200231)

Abstract:Education is a continuous process. In order to better connect high school education with higher education, Shanghai High School has initiated an Advanced Placement (AP) math course for senior high school students, which is in accordance with the idea of promoting AP courses in China proposed by Peking University as well as the AP courses in the U.S. With one and a half years’ efforts, a relative complete system of courses suitable for the exceptional students in Shanghai High School have been established, including the teaching materials, the teaching methods and the assessment of courses. Our practice and researches have indicated that the AP courses help to promote better connection between high school education and college education, which will lay a solid foundation for cultivating outstanding and creative talent.

Key words:advanced placement, mathematics, course, independent

作者簡介：徐岳燦，浙江紹興人，上海市上海中學高級教師，主要從事高中數學教學研究。