時標上一類具有振動系數的三階半線性時滯動力方程的振動性分析

郭麗娟，朱維鈞，王俊俊

(平頂山學院數學與信息科學學院，河南 平頂山 467000)

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時標上一類具有振動系數的三階半線性時滯動力方程的振動性分析

郭麗娟，朱維鈞，王俊俊

(平頂山學院數學與信息科學學院，河南 平頂山 467000)

摘要：研究時標T上具有振動系數的三階半線性時滯動力方程的有界振動性。利用算子和積分技巧給出了該類方程不存在A型解(或B型解)的判定條件，拓展了一些已知的三階動力方程振動性的結果.

關鍵詞：振動系數；有界振動性；A型解；B型解；動力方程；時標

1引理

時標上的動力方程不僅能夠統一微分方程和離散方程，還能揭示更為復雜的動力系統，其振動解和非振動解問題在近年受到廣泛關注[1-8]。陳大學[1]利用Riccati代換給出了時標上一類二階非線性動力方程的有界振動性準則，羅李平等[2]利用算子和積分技巧給出了一類三階非線性時滯微分方程不存在A型解(或B型解)的判定條件。 本文利用文獻[2]中的技巧討論方程

q(t)f(t,y(t-δ))=0，

(﹡)

其中t∈T0=[tx,∞]∩T,T為任意時標，且supT=∞。設γ為奇正整數的商數且γ≥1,τ和δ是正常數，且τ(t)=t-τ

設以下條件在本文中成立

(H2)f∶T×R→R是一個連續函數使得uf(u,f)>0,u≠0，并且存在一個定義在時標上的非負函數

q(t)，使得|f(u,t)|≥q(t)|ur|;

定義算子

L0y(t)=y(t)+p(t)y(t-τ),L1y(t)=r(t)[L0y(t)]Δ，

則方程(*)可化簡成

L3y(t)+q(t)f(t,y(t-δ))=0。

引理1.1若方程(*)最終無振動解，則(*)的有界解只有兩種情況：

A型：y(t)Liy(t)>0,i=0,1,2,y(t)L3y(t)<0，

B型：y(t)L0y(t)>0,y(t)L1y(t)<0,y(t)L2y(t)>0,y(t)L3y(t)<0。

證明：由假設，y(t)最終是(*)的非振動有界解，則不妨設t1>t0>T,滿足y(t)>0。顯然，L0y(t)>0，否則

L0y(t)=y(t)+p(t)y(t-τ)<0，

也即

p(t)y(t-τ)=L0y(t)-y(t)<0。

又y(t-τ)>0，則p(t)<0，此與p(t)是振動函數矛盾，則L0y(t)>0。

又由

L3y(t)=-q(t)f(t,y(t-δ))≤-q(t)m(t)yβ(t-δ)<0，

事實上有L2y(t)>0，否則，設L2y(t)<0,?t1,滿足t>t1時，有

則誘導出

也即

顯然也有

也即

L1y(t)最終符號確定，兩邊同時從t2到t積分，有

可誘導出

則?t3>t2，滿足L1y(t)<0,t>t3,也即

兩邊同時從t3到t積分

則有

矛盾。因而?t≥t1,滿足L2y(t)>0,則L1y(t)最終符號確定。

引理1.2若方程(*)最終無振動解，且(*)有A型解，則有

證明 由于L3y(t)<0，則有

則誘導出

兩邊同時從t1到t積分

2方程(*)不存在A型解的條件

證明設y(t)是(*)的A型有界非振動有界解，由引理1.2有

則

?M∈(0,1),滿足y(t)=L0y(t)-p(t)y(t-δ)>ML0y(t)，

則有

L3y(t)=-q(t)f(t,y(t-δ))≤-q(t)m(t)yβ(t-δ)

則有

則顯然定理成立。

證明設y(t)是A型有界正解，則?t1,滿足t>t1， 有y(t)>0 ，

兩邊同時從t2到τ(t)積分

則有

令t→∞，與條件矛盾，則(*)無A型解。

3方程(*)不存在B型解的條件

證明設方程(*)有B型有界正解y(t)，由于L1y(t)單調不減，則?t1,滿足

令X(t)=-L1y(t)>0，則

?M∈(0,1)

則有當u<τ時，有

則有

可推得

兩邊對u從σ到τ積分

也即有

令τ=s(t),σ=ξ(t),則有

令Z(t)=-a(t)(XΔ(t))aγ>0,由引理1.2有

=ML0y(ξ(t))-ML0y(τ(t))≥-ML0y(τ(t))。

則誘導出

再由u<ξ(t),L1y(u)

化簡得

由上式有

兩邊從ξ(t)到t積分有

又

則有t充分大時，

再由定理條件可知

矛盾。 定理證畢。

參考文獻：

[1]陳大學.具有振動系數的二階非線性中立型時滯動力方程的有界振動性[J].數學物理學報，2013，33A(1)：98-113.

[2]羅李平, 俞元洪, 曾云輝.三階非線性時滯微分方程振動性的新準則[J].應用數學和力學，2013，34(9)：941-947.

[3]王軍華 ,王俊俊.時標上一類三階中立型動力方程的振動性[J].鄭州大學學報:工學版，2010，31(4)；121-123.

[4]王俊俊, 郭麗娟.測度鏈上一類三階半線性中立型時滯動力方程的振動準則[J].系統科學與數學，2013，33(7):848-853.

[5]王俊俊, 劉展.時標上一類三階中立型動力方程的振動準則[J].數學的實踐與認識，2013，43(4):265-268.

[6]SAKERSH,AGARWALRP,O′REGAND.Oscillationofsecond-orderdampeddynamicequationsontimescales[J].JMathAnalAppl, 2007，330 (2):1317-1337.

[7]ERBEL,HASSANTS,PETERSONA.Oscillationcriteriafornonlineardampeddynamicequationsontimescales[J].AppliedMathematicsandComputation, 2008，203(1):343-357.

[8]HASSANTS.Oscillationsofthirdorderdelaydynamicequationsontimescales[J].MathComputModelling， 2009，49 (7/8): 1573-1586.

Boundedoscillationanalysisforatypeofthird-orderhalf-lineartime-lag

dynamicequationswithoscillatingcoefficientsintimescale

GUOLi-juan,ZHUWei-jun,WANGJun-jun

(SchoolofMathematicsandInformationScience,PingdingshanUniversity,Pingdingshan467000,China)

Abstract∶We address the bounded oscillation criteria for third-order half-linear time-lag dynamic equations in time scale.We also present determinant conditions that A-type (or B-type) solutions do not exist in such equations with operator and integral and extend some known results for the oscillation of third-order dynamic equations.

Key words∶oscillating coefficients; bounded oscillation;A-type solution;B-type solution; dynamic equations; time scale

中圖分類號：O175.12

文獻標識碼：A

文章編號：1002-4026(2015)04-0073-06

作者簡介：郭麗娟(1985 -)，女，助教，碩士，研究方向為應用數學。Email: glj5916@126.com

基金項目：河南省自然科學基金(2010A110001)

收稿日期：2014-11-03

DOI:10.3976/j.issn.1002-4026.2015.04.014