L-模糊賦范空間中的三角形不等式

毛銘樺，顧秀秀

(江蘇農(nóng)牧科技職業(yè)學(xué)院, 江蘇 泰州 225300)

?

L-模糊賦范空間中的三角形不等式

毛銘樺，顧秀秀

(江蘇農(nóng)牧科技職業(yè)學(xué)院, 江蘇 泰州 225300)

摘要：通過討論L-模糊賦范空間中L-模糊點的L-模糊范數(shù), 得到了在L-模糊賦范空間中對于任意的L-模糊點三角形不等式也成立。

關(guān)鍵詞：L-模糊賦范空間; 三角形不等式;L-模糊點

L-模糊賦范線性空間由Yan等[1]引進,文中僅對分子給出了三角形不等式。通過研究L-模糊點的L-模糊范數(shù)定義,我們得到了對于任意L-模糊點的三角形不等式也成立, 該不等式的建立對于進一步研究L-模糊賦范空間有重要意義。

1預(yù)備知識和引理

本文中L表示一個模糊格。L中的非零元λ稱作不可約元, 如果滿足λ=α∨β,則有λ=α或者λ=β,其中α,β∈L[2]。M(L)表示L中的所有不可約元的集合。M(L)中的元素也稱作分子。β*(α)=β(α)∩M(L)稱為α的標準極小族[2]。L稱為是正則的, 如果L中任意一對非零元的交仍然是非零元。顯然,如果L是正則的, 則1∈M(L)。本文假設(shè)L是正則的模糊格。M*(LX)表示LX中的所有不可約元。易知M*(LX)={xλ:x∈X,λ∈M(L)}。

定義1[1]設(shè)X是K上的向量空間。 一個從M*(LX)到R+的映射‖·‖稱為一個L-模糊范數(shù), 如果它滿足以下條件：

(1)‖x1‖=0可推出x=θ；

(2)‖kxλ‖=|k|‖xλ‖,?k∈K；

(3)‖xλ+yλ‖≤‖xλ‖+‖yλ‖,?xλ,yλ∈M*(LX)；

如果‖·‖是X上的L-模糊范數(shù), 則(X,‖·‖)稱為L-模糊賦范空間。

推論1[3]：設(shè)λ,μ∈M(L)且λ≤μ, 則‖xμ‖≤‖xλ‖。

定義3[4]設(shè)a,b∈L,我們稱a定向小于b, 記作a?b, 若對每個上定向集S∈L,∨S≥b??x∈S使得x≥a。

推論2：由定義3,容易驗證下面的結(jié)論成立：

(1)a?b?a≤b；(2)a?b,b?c?a?c；(3)a?b≤c?a?c；(4)a?a。

引理[4]設(shè)a,b∈L,a≠b且a?b,則存在c∈L,c≠a使得a?c?b。

3主要結(jié)論

定理1設(shè)L是完全分配格, λ,μ∈L, 如果μ∈β*(λ), 則μ?λ。

證明：由定義3, 結(jié)論顯然成立。

定理2如果α?μ,μ∈β*(λ),則α?λ。

證明：由μ∈β*(λ)可知μ?λ。 根據(jù)推論2(2)可知結(jié)論成立。

定理3如果μ1?λ,μ2 ?λ,則μ1∨μ2?λ。

證明：因為μ1?λ,μ2?λ，對每個上定向集A?L且滿足∨A≥λ, 則存在α1,α2∈A使得α1≥μ1且α2≥μ2。于是存在α∈A使得α≥α1且α≥α2, 從而α≥μ1∨μ2,于是根據(jù)定義3可知結(jié)論成立。

定理4設(shè)a,b∈L,a≠b且a?b, 則存在c∈β*(b)使得a?c。

證明: 因為a?b且a≠b, 由引理可知存在x∈L,x≠a使得a?x?b=∨β*(b), 因此存在c∈β*(b)使得x≤c, 那么由a?x≤c以及推論2(3)可以推出a?c成立。

定理5設(shè)λ∈M(L),μ?λ,則‖xμ‖≥‖xλ‖。

注由定理5的證明不難發(fā)現(xiàn),如果μ≤λ且λ∈M(L), 就有‖xμ‖≥‖xλ‖成立。

定理6如果μ∈L,x,y∈X,則‖xμ+yμ‖≤‖xμ‖+‖yμ‖。

‖xμ+yμ‖=‖(x+y)μ‖≤‖(x+y)d‖=‖xd+yd‖

≤‖xd‖+‖yd‖≤‖xa‖+‖yb‖<‖xμ‖+‖yμ‖+ε,

由ε的任意性, 可知‖xμ+yμ‖≤‖xμ‖+‖yμ‖成立。

參考文獻：

[1]YAN C H, FANG J X.Generalization of Kolmogoroff’s theorem toL-topological vector spaces[J].Fuzzy Sets and Systems, 2002,125 (2):177-183.

[2]王國俊.L-fuzzy拓撲空間論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社, 1988:29.

[3]MAO M H, FANG J X.Some topological properities ofL-fuzzy normed spaces[J].Fuzzy Sets and Systems,2012,195:100-108.

[4]LIU Y M,LUO M K.Fuzzy Topology[M].Singapore:World Scientific Publishing, 1997.

TriangleinequalitiesinL-fuzzynormedspaces

MAOMing-hua，GUXiu-xiu

(JiangsuAgri-animalHusbandryVocationalCollege,Taizhou225300,China)

Abstract∶We address L-fuzzy norm of L-fuzzy points in L-fuzzy normed space.We further acquire triangle inequalities for arbitrary two L-fuzzy points.

Key words∶L-fuzzy normed space; triangle inequality;L-fuzzy points

中圖分類號：O189.13

文獻標識碼：A

文章編號：1002-4026(2015)04-0071-02

作者簡介：毛銘樺(1983-)，女，講師，碩士研究生，研究方向為模糊數(shù)學(xué)與泛函分析理論。Email：mhmao307@163.com

基金項目：國家自然科學(xué)基金(11301281)；江蘇農(nóng)牧科技職業(yè)學(xué)院大學(xué)生實踐創(chuàng)新訓(xùn)練計劃(201412806025X)

收稿日期：2014-10-16

DOI:10.3976/j.issn.1002-4026.2015.04.013