“懂”是有層次的，“學”是有階梯的

王軍

我們常會遇到這樣的問題：課堂上聽“懂了”，課后不會做題，考試成績也不理想，課堂聽懂是學習取得好成績的基本條件，但不是必要條件.我們常昕到做好題首先要審好題，再要能聯想到相關知識（規律、概念、公式等），還要有扎實的數學基本功，課堂聽懂只是初級的階段，“懂”在每個人心底里是不同的.好多人的懂是“聽懂了”，是感覺上的懂，是不假思索脫口而出的懂，沒有深層次的思考后的表達，因此懂是有層次的.

那么究竟有哪些層次，這也是因人而異的，針對這一問題，本文對一節“用導數求切線”習題課的作業完成情況做了調查，并進行了深入的分析.

首先說說用導數求切線內容的地位與作用.求曲線的切線方程是導數的重要應用之一，用導數求切線方程的關鍵在于求出切點P（xo，yo）及斜率，其求法為：設P（xo，yo）是曲線y=f（x）上的一點，則以P為切點的切線方程為：y-yo=f'（xo）（x-xo）.

再說說布置作業前的基礎.課堂上已例析了常見的類型及解法：（1）已知切點，求曲線的切線方程；（2）已知切線斜率，求曲線的切線方程；（3）過一點（未知切點），求曲線的切線方程.并且做了隨堂練習，同學們總體反應還不錯，都說已經聽懂了.

作業是：

（1）求曲線y=x?-3x?+1在點（1，-1）處的切線方程.

（2）求與直線2x-y+4=0平行且與y=x?相切的直線方程.

（3）求過點A（O，16）且與曲線y=x?3x相切的直線方程.

（4）求過曲線y=x?-2x上的點（1，-1）的切線方程.

（5）已知P為曲線y=lnx上一點，求點P到直線y=x+4的最小距離，

下面從我班同學作業完成情況進行分析，大家也可以參考看看自己在哪個層次上，

第一層次：了解切線的求解步驟，簡單模仿解答，整體認識模糊，

下面是個別同學的作業情況.

（1）由于課堂中有類似的例題，能解決.

（2）答案能寫出，但過程不規范.有同學這樣寫，y'=2x=2，所以x=1，所以切點為（1，1），故切線方程為為y-1=2（x-1），即2x-y-l=0.

（3）大部分解決，少部分空著.

（4）出現了問題，認為點（1，-1）在曲線上就是切點，與（1）相同，因此只求出一解.

（5）沒有動筆.

分析與思考：

（A）解決問題總是從模仿開始，教師選的前兩道題比較容易，而且也與課上例題相似，因此，簡單模仿已湊效.（3）不能解決，由于基礎較弱，老師授課時，沒能專心聽課.遇到自己認為較繁瑣的問題時，就不愿去做了.這些同學時間久了就會出現學習懈怠.（4）的問題是沒有弄清切點的本質.

（B）這里的“懂”只是了解了一些步驟，學會了一些簡單的模仿，是被動的接受，成為了課堂上的記錄者、純粹的聽眾.

（C）出現此類問題，我們需立足基礎.

1）做好課前預習，掌握聽課主動權.一方面要通讀教材中的相關內容，把不懂的部分標注清楚，進行初步思考，上課時注意老師的講解.另一方面還要將教材后邊的習題初做一遍，把不會做的題做上記號，一起帶到課堂去解決.這樣做，就會增強聽課的目的性，掌握聽課的主動權，提高聽課的效果.

2）課上專心聽講.上好課是學習的中心環節，上課的常規應該是：①上課前做好上課的心理準備；②注重例題，要集中注意力，緊緊跟上老師講解的思路；③回答或討論問題時要踴躍發言并認真做好課堂練習和筆記.

3）及時復習，把知識轉化為技能.學完一課要及時歸納整理，以備查閱.同時區分出哪些掌握了，沒有掌握的要尋求老師或同學幫助.當天及時復習整理，能夠減少知識遺忘，易于鞏固和記憶，經常復習能加深對知識的理解.

第二層次：分清問題的類型，能直接運用，理解問題的局部，

下面是大部分同學的解答情況

（1）（2）（3）能很好解決，（2）的解決是這樣的：設P（xo，yo）為切點，則切點的斜率為y'|x=xo=2xo=2.所以xo=1.由此得到切點（1，1）.故切線方程為y-1-2（x-1），即2x-y-l=0.

（4）設了切點Q（xo，yo），但求解方程2xo?3xo?+1=0時遇到了困難.

（5）只是解決部分.有的同學嘗試用上了距離公式：設P（xo，yo）為曲線y=Inx上一點，則無法繼續下去.

分析與思考：

（A）聽得懂課，（1）（2）（3）能很好解決，（4）（5）做不好原因有二：1.基本知識不牢固，只是了解，需要用到時不能靈活運用.2.僅限于聽課，做題，不去琢磨，不思考，不理解其中的解題方法.比如（5）和（2）的關聯.

（B）這種“懂”只是在教師的指引下懂的，還沒有轉化成白己的內在知識，離開教師的指引就會摸不著方向，這種情況一是要做一定的習題，在錯誤中去體會知識的內在含義，二是必須積極去尋求老師的指導，特別是解題方法和思路上的.沒有真正理解所學內容，處于似懂非懂狀態.

（C）基礎問題掌握，要對知識的整體認識清楚，我們應該：

1）遇到新的知識，課前做好預習，對新知識主要解決的是什么問題有一定了解.

2）課堂上我們的思維活動要跟上老師的引導、點撥、講解、分析的思路.首先弄清它的意思.搞清它的內涵和外延，看它是怎樣提出來的，在什么條件范圍內出現的.勇于質疑問難，不但求學會，更要求會學，會運用，同時也只有做到了既學會，義會學、會用，才能真正地理解課本的知識，達到舉一反三，觸類旁通的境地.

3）復習是一個起著承前啟后作用的學習環節，是對知識的消化和鞏固.每學完一課要及時回顧、復述、進行思維再現；思考它與哪些舊知識和方法形成交匯，如學習導數主要就是解決函數的一些問題，那么函數問題解決的一些方法就自然遷移過來.根據總結歸納，結合舊知，從而融會貫通，使白己的“懂”更進一步，

第三層次：知識理解清楚，基礎扎實，掌握問題的全部.

下面是個別同學的解答情況.

（1）（2）（3）沒有問題.

對于（2），甲同學利用“△法”加以解決，即設切線方程為y=2x+b，代人y=x?，得x?-b=0，又因為△=0，得b-1，體現出他抓住了前后知識間的聯系，而且運算容易.

（4）也出現兩種解答，乙同學用待定切點法：

設想P（xo，yo）為切點，則切線的斜率為

所以切線方程為

又知切線過點（1，-1），把它代人上述方程，

故所求切線方程為y-（1-2）=（3-2）.即x-y-2=0，或5x+4y-l=0.

評注 可以發現直線5x+4y1=0并不以（1，-1）為切點，實際上是經過了點（1，-1）且以（-1/2，7/8）為切點的直線.這說明過曲線上一點的切線，該點未必是切點，解決此類問題可用待定切點法.

（5）有的同學直接用距離公式：設P（xo，yo）為曲線y=Inx上一點，則d=進一步提出研究函數f（x）=x-lnx+4的最小值；另外有同學將（2）的問題理解很透徹，想到了數形結合，很好地解決了問題.同時對所學知識的運用有了很好的理解.

分析與思考：

（A）有效行動，享受成功，對新知識已經有較好的運用，能將新舊知識進行融合，對問題的整體掌握，“懂”達到了一定的層次.

（B）對新知識整體掌握了，我們還應做些什么？

1）課前預習應該有整體性，學習需要超前意識，對即將學的知識有一個系統理解，這一章節學的是什么.

2）課上需要思考.不能感覺懂了就放松對自己的要求，僅僅學習而不思考是不能真正理解新知識的，我們在學習一個新知識的時候，要主動思考，除了了解怎么用之外，我還會想這樣幾個問題：什么時候用？它解決了什么問題？有沒有別的相似的東西或方案？他們之間有什么區別？最后人們選擇它的主要原因是什么？這樣才能使自己的“懂”得到升華.

3）課后要進行系統整理，分類歸納，使知識結構化、圖示化、明析化，使白己的知識體系得到一步步的提升，增強知識的綜合運用能力.

同學們，請注意，“懂”是有層次的，從“懂”到直正“掌握運用”，還需要我們的主動探索，聽課就好比是有人帶著走一條陌生的路，用心去走，下次一個人也會走了.如學習中不參入自己任何思考，我們就像是一個盲人在人的攙扶下走路，由于看不到走路過程中的任何細節，所以相同的路還是不會走.但是盲人，對于自己摸索著走過的路，自己再走也沒問題.

“路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索.”從覺得自己懂了到自己真正懂了，還是有很大一段距離的，這就需要我們自己付出時間和精力，努力探索，在探索中思考和應用，在這個過程中慢慢內化成自己的懂.