ARMA模型在變形監測中的應用

韓曉冬 黃 磊 于海東 沈石凱

（1.山東科技大學測繪科學與工程學院，山東 青島266590；2.聊城市測繪院，山東 聊城252000）

1 引言

一切物體都具有自己的幾何形狀，由于某種原因改變了原幾何形狀可稱為變形。自然界或生活過程中，變形危害的現象很普遍，如地震、滑坡、地表沉陷、潰壩、前梁與建筑物的倒塌等。為了避免這些變形給社會和人民生活帶來不必要的損失，科學、準確、及時的分析和預報各種建筑物和地質構造的變形狀況極為重要。目前形變監測數據的分析理論主要有：靜態形變分析、動態形變分析、形變的力學機理分析等［1］。時間序列分析是一種動態的數據處理方法，它的特點在于：可以利用觀測數據之間的自相關性建立相應的數學模型來描述客觀現象的動態特征，未來數值可以由過去觀測資料來預測［2］。本文基于平穩時間序列分析理論，建立變形監測數據的時間序列模型ARMA（p，q），并將該模型應用到工程實例中，對一組實測變形數據進行分析、預測，取得預測值與實測值較好擬合效果和較高預測精度，具有很強的實際應用參考價值。

2 ARMA時間序列模型

時間序列分析的基本思想是：對于平穩、正態、零均值的時間序列｛xt｝，若xt的取值不僅與其前p步的各個取值xt-1，xt-2，…xt-p有關，而且還與前q步的各個干擾at-1，at-2，…at-q有關（p，q=1，2…），則按多元線性回歸的思想，可得到最一般的ARMA模型：

式（1）稱為xt自回歸滑動平均模型，記為ARMA（p，q）

特殊的，當θ1=0時，模型（1）變為

式（2）稱為p階自回歸模型，記為AR（p）

當φ1=0時，模型（1）變為

式（3）稱為q階滑動平均模型，記為MA（q）

ARMA時間序列模型建立的步驟：

數據樣本應滿足平穩、正態、零均值的條件，因此對實際的沉降序列進行時間序列分析前應進行平穩化和均值化處理。

① 數據獲取與預處理

② 模型識別

③ 模型參數估計

④ 模型適用性檢驗

⑤ 確定預報模型，進行預報

2.1 模型識別

通過模型識別判別出數據序列符合哪一種時間序列模型。主要是利用其自相關函數和偏相關函數的變化趨勢，來判別模型的種類和階數。AR（p）模型的階數p可以通過時間序列的偏相關函數的截尾性來確定；MA（q）模型的階數q可以由時間序列的自相關函數的截尾性來確定［3，4］。通過上述方法我們只能大概的確定模型的類型和階此，進一步的準確階次我們一般采用AIC準則和BIC準則來定階。AIC準則指的是最小信息量準則，BIC準則指的是貝葉斯信息量，對于ARMA模型來說公式為：

其中，n為樣本容量，σε由p和q通過參數估計得到，模型的階此p和q在AIC或BIC取得最小值時得到。

2.2 模型的參數估計和模型檢驗

在模型識別確定模型階數后，我們可以通過時間序列的自相關系數對模型參數進行初步估計。

（1）p階自回歸模型參數的初步估計P階自回歸模型AR（p）的公式為：

可通過著名的Yule-Walker方程（7）求得φ1，φ2，…φp。

（2）q階滑動平均模型參數的初步估計

q階滑動平均模型MA（q）的公式為：

可通過公式（9）求得θ1，θ2，…θq

所建的ARMA模型優劣的檢驗，是通過對原始時間序列與所建的ARMA模型之間的誤差序列εt進行檢驗來實現的［5］。若誤差序列εt具有隨機性，則模型應用于預測是合適的；若誤差序列εt不具有隨機性，則所建模型還有進一步改進的余地，應重新建模。博克斯-皮爾斯Q統計量法是一種簡單且精度較高的模型檢驗法，Q統計量可按下式計算：

式中，m為ARMA模型中所含的最大時滯；n為時間序列的觀測值的個數［6］。

對于給定的置信概率1-α，將Q與χ2α（m）比較。

2.3 模型的預測

時間序列模型的預測是通過前期的觀測值或前期的預測殘差推算下一步的預測值。對于自回歸模型AR（p）模型，通過前p個觀測值預測第p+1個值或者其后的值：

對于滑動平均模型MA（q）預測的步數受到了限制，只能預測q步；

對ARMA（p，q），預測時同樣要考慮向前預測步數，具體如下：

以上的擬合預測時在一次或者一次以上的差分基礎上進行的，所以還需通過差分運算的逆運算還原得到原始數據序列的預測值。

3 工程實例

以濟南天橋區某一基坑沉降監測點J1監測數據為例，共進行52期數據觀測，以前48期數據進行時間序列建模，后4期數據作為預測。

3.1 數據預處理

時間序列建模的前提是數據序列須滿足平穩、正態、零均值等條件，有圖1可知原始序列不滿足平穩性的要求，因此需要對其進行平穩化和均值化的預處理。這里，我們進行了二次差分處理，由圖2可知原始數據經過二次差分后已經達到了時間序列建模的要求。

3.2 模型識別

對上述二次差分后的數據序列做零均值化處理，這樣就可以用此數據序列進行時間序列的建模。采用數據的自相關函數和偏相關函數識別判斷數據序列應該屬于的時間序列模型。

從J1點的相關函數結果看出兩個函數都是拖尾的，那么數據序列應屬于自回歸滑動平均模型，自回歸函數從第二階開始震蕩減少，可以初步判定AR部分為AR（1）或者AR（2），滑動平均函數從第二階開始震蕩減少，可以初步判定MA部分為 MA（1）或者 MA（2），這只是ARMA模型的初步定階，仍需通過AIC和BIC準則精確定階，通過計算得J1點的數據適合采用ARMA（1，1）模型。經計算得到的模型參數φ=-0.5702，θ=-0.7053，然后可確定序列模型。利用殘差進行模型適用性檢驗，置信概率為0.95，計算得到的統計量Q=6.13，查表得到的χ2α=9.49，即Q≦χ2α（m）該模型是適合的，可用于預測。

通過上述建立好的ARMA模型進行預測，得到的預測結果經過差分逆運算和均值化的反向處理得到J1點的數據預測結果：

表1 J1點預測結果比較

J1點實測值與預測值比對圖形如下：

圖中紅線為實測值，藍線為預測值。由上可知時間模型的預報能夠較好的反應變形的未來變化趨勢，并且預報精度較高。

4 結論

（1）工程實例應用表明，ARMA（p，q）模型預測精度較高，且具有較高的可靠性和可行性。

（2）該模型可作為其他各類變形監測工程數據的處理及預報，科學、準確、及時的分析和預報建筑物的變形狀況，為人類的生命財產安全提供保障服務。