數學優化模型在工業生產計劃評估中的應用研究

孫源

摘 要：在數學優化模型的應用方面，主要是利用現有的條件規劃出各種“最優”方案，為現代生產計劃和管理工作中的經濟利益評估服務。本文介紹了優化問題的幾種分類，并對優化模型做了簡單的分析和說明；同時重點整理了動態優化問題的多階段轉化和變分法的兩種解法。并分別對它們在動態優化中各自的應用范圍和具體作用做了分析。

關鍵詞：數學建模；優化模型；多階段轉化

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2016.02.019

1 引言

求解優化問題的數學建模方法，即所謂優化模型的建立和求解。雖然它有可能使結果不一定是完全可行的或達到實際上的最大優化，因為建模，它是基于客觀的規律和數據，而且還不需要過多的費用。數學優化模型是生產計劃和經濟管理中的一個經典模型，在對尋求最大效益方面的應用非常廣泛.例如公司需要根據生產成本和市場需求，公司的經理決定了產品的價格和生產計劃，使利潤達到最大化；要在滿足物質需求和裝載條件下合理的安排所有的需求點的運送量和所運輸的路線，以達到運輸費用的最低化。然而簡單優化模型假設提供的原材料、生產環境以及人力資源都是靜態的，且需求者要求的產量一定，但假設條件在現實的經濟系統中不可能都是靜態的，因此本文我們在分析了簡單的優化模型后，又介紹了更加符合現實經濟條件的動態優化模型，并對該模型進行了分析。

隨著國內外對優化模型的不斷研究和改進，其應用領域已不僅僅局限于單領域范圍，也將其運用在石油開采、城市規劃、人力資源分配等問題的分析上.當前全球經濟正處于金融危機的嚴重影響下，如何在當前形勢下制定出比較有利的生產計劃對一個企業來說是非常重要的，本文我們將主要運用優化模型來研究生產計劃的制定方案，并研究結果來確定比較合理的計劃方案.

2 工業生產計劃制定及其求解

生產計劃是企業為了生產出符合市場需求的產品或滿足客戶的要求，如生產時間，在什么生產車間的生產和怎樣生產的總體規劃。企業的生產計劃是以銷售計劃為基礎的，它是企業制定物料供應計劃、設備管理計劃和生產計劃的主要依據。

由上面優化變量、目標函數和約束條件三要素所組成的最優化問題的數學模型可以表述為：在滿足約束條件的前提下，尋求一組優化變量，使目標函數達到最優值。根據生產計劃制定的特點和實際情況，所以這里只提出針對它的兩種求解方法——多階段轉化和變分法，并且利用這兩種方法對具體問題進行分析與解決。多階段轉化是指將動態優化的一種， 它將多階段決策問題轉化為一系列簡單的優化問題。將復雜問題分解為若干個階段，每個階段都是一個優化問題，然后是一個決策的階段，當所有階段都確定了，整個階段的決策也就確定了。一個過程的最優決策具有決策的性質，即不管初始狀態和初始狀態決策如何，以后的各項決策對以初始決策形成的狀態作為初始狀態都一定要構成最優化的決策。

根據不變嵌入原理的基本概念，對最優控制決策的基本性質進行了描述。當解決一個特定的問題，這個問題可以被嵌入到一個更容易解決類似的問題之中。應用最優化原則，一個階段決策過程就處理為一個個單階段決策過程的序列，因此使這個最優化問題可以采用系統迭代的方式得到解決.前兩個式子分別是動態優化中的逆序解法和順序解法基本公式。

3 數學優化模型應用案例研究

一個工廠制定一些生產計劃時，需要考慮設備，市場容量和收入的三個因素，根據工廠設備的情況，生產的七種產品，價格收入和加工時間，機器維修和市場容量是眾所周知的。有以下限制：每個產品有100件，其中每一件產品的存費為每一個月為0.5元；在6月底，每一個產品有50個庫存，每天2個班次，每班8個小時。盈利要求為收入減去存款費，盡量安排生產的每一個產品在1到6月，以使上半年利潤最大。論述了設備結構的合理性，并進行了改進。

本文案例中如果只有一種產品，運用動態規劃按照常規求解，可以快速地求解最優產量安排，本案例需要同時考慮七種產品的最優產量，本文的求解思維為：首先將系統分解成單種產品的子問題，然后綜合收益、工時進行優化調整以達產量總體上的最優解。求解是實質是逆序推算法，我們采用動態規劃優化處理才是最科學的方法。本文優化按市場容量進行生產產品所需的工時，判斷設備結構是否合理生產。由于變量和約束條件較多，本文必須要采用分解決策法。我們的步驟為：首先單獨考慮產品PR，根據各月的綜合收益、市場容量和存費情況，根據動態規劃可獲得l～6月份最優生產產量的序列值。其次我們把7個月的最優產量列合并起來，逐月檢驗各項工序的工時變動情況。鑒于超時生產情況，我們衡量產品收益的大小和工時多少，一方面降低收益小、耗時大的產品產量。另一方面把減少的該月產量，推遲至下一個月生產。是我們整個優化過程的重要環節。

按以上步驟推算，我們發現5、6月的整體優化恰是前面1-2步驟作出的結果向前推算到3月，這4個月的局部最優又共同達到了整體最優。對l、2月產量，用數學軟件進行計算，該結果與其后3至6月的優化產量能銜接起來。于是，我們用逆序算法較輕松地得出了六個月的最優安排總盈利為93648元。分析至6月充分達到了市場需求，2月和1月也是在工時約束下的最優結果，因此得到的確是考慮每月生產成品的最優產量安排。

生產計劃隨著相關變量的變化而調整，具體變量因素包括：產品價格、設備結構、市場需求量和停工維修機床的日程安排。生產計劃的最優安排最主要依據變量為：產品價格和市場需求變動而調整，不同情形下的最優生產計劃可根據模型動態優化求解而得。結果顯示生產計劃3-6月區間中不受商品價格波動的影響。在設備最大利用范圍內，產量根據市場的需求變動而相應的調整。考慮的變量因素較多時，我們雖然模型簡化了問題的處理與求解過程，但不一定能實現最優化生產，只能在一定的前提或約束下的最優解。本文為產品的生產安排提供了科學的優化思路，探索了逆序推算求解途徑，但未能給出更好的一般性通用優化思路。雖然，對設備和維修安排進行了優化改進，設備的利用率和工廠的盈利能力顯著提升。本文不適于解決工序較為復雜的生產問題，沒有增加更多的約束變量，對工序進行優化結構安排，有待本文后續的研究。

參考文獻：

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