李代數sl（2，C）上的經典Yang—Baxter方程的解及其應用

華秀英++劉文德++崔云安++張海燕++趙寒妹

摘要：針對復數域C上特殊線性李代數sl（2，C）的經典Yang-Baxter方程解的問題，利用sl（2，C）的基元素，通過計算Yang-Baxter算子在其基元素上的作用的方法，得到了sl（2，C）的經典Yang-Baxter方程的一些解，進而給出了sl（2，C）上的某些左對稱代數結構.

關鍵詞：李代數；經典Yang-Baxter方程；左對稱代數

DOI：10.15938/j.jhust.2015.05.024

中圖分類號：0151.21

文獻標志碼：A

文章編號：1007-2683（2015）05-0119-04

0 預備知識

Rota-Baxter代數始于上世紀60年代，源于G.Baxter在概率論中對波動理論的積分方程的代數研究，其在代數學和組合學中的重要作用引起了G.C.Rota，F.V.Atkinson和P.Cartier等數學家的興趣并對其做了深入的研究。近年來，大多數Rota-Baxter算子的研究都在結合代數上，文中給lJ{{了維數≤3的結合代數上0權Rota-Baxter算子，而在中給出了維數≤3的結合代數上1權的Rota-Baxter算子，文給出了二階矩陣構成的四維結合代數上0權的Rota-Baxter算子，文證明了有限維實可除代數上的Rota-Baxter算子都是平凡的，文給出了兩個變元外代數上的Rota-Bax- ter算子.后來，又將Rota-Baxter算子擴展到了李代數和李超代數上，文研究了復數域上導代數維數等于1的2維和3維李代數的Rota-Baxter算子，文刻畫了特征零的代數閉域上四維Filiform李超代數L_1，2上的Yang- Baxter方程的解，文給出了三維冪零李超代數的Yang-Baxter算子，文計算了特征不為2的域上的一般線性李超代數gl（IIl）的齊次Rota-Baxter算子.而本文研究了李代數s/（2，C）上的經典Yang-Baxter方程的解及解的應用.文最早提出了Yang-Baxter方程并闡述了它在物理中的應用，由于它豐富的理論基礎和應用價值，Yang-Bax-ter方程的研究是比較活躍的課題也是必要的，

定義1設G是一個李代數，如果G上的線性算子R滿足：

其中A∈C.則稱線性算子R是G上的一個Rota-Baxter算子（特別地，在李代數中權0的Rota-Baxter算子R稱為G上的一個Yang-Baxter算子），G是一個權為A的Rota-Baxter代數，權為0時，上述方程變為 稱為G的經典Yang-Baxter方程，權為0的Yang-Baxter算子稱為G的經典Yang-Baxter方程的解.

作為Yang-Baxter算子的應用，我們可以利用Yang-Baxter算子來構造左對稱代數，

引理l 設G是一個李代數，R是G上經典Yang-Baxter方程的解，那么在G上定義一個新的運算：

則（G，*.）構成一個左對稱代數.

2 李代數sl （2，C）上的經典Yang-Baxter方程的解

sl（2，C）是復數域上所有跡為零的2x2階方陣構成的結合代數，定義李積：[A，B] =AB-BA，VA，B∈sl（2，C），則（sl（2，C），[，]）構成李代數，稱為特殊線性李代數.李代數sl（2，C）的基為x：滿足（1）式的R即為李代數sl（2，C）上的經典Yang-Baxter方程的解.

3 結 語

本文討論了復數域C上三維特殊線性李代數sl（2，C）的權為零的Rota-Baxter算子問題，即sl（2，C）上的經典Yang-Baxter方程的解的問題，將Rota- Baxter算子作用在s/（2，C）的基底元素上，把算子問題轉化為方程組問題，分情況討論，得到了sl（2，C）的權為零的一些Rota-Baxter算子，進而確定了sl（2，￡）上的一些左對稱代數結構.