例談數(shù)形結(jié)合的方法

朱月祥++++王海成

數(shù)學(xué)上總是用數(shù)的抽象性和精確性來(lái)說(shuō)明形象的事實(shí)，同時(shí)又用圖形的直觀性來(lái)說(shuō)明抽象的事實(shí)。或以數(shù)輔形，用嚴(yán)密的邏輯推理來(lái)精確刻畫直觀的形象；或以形助數(shù)，用形象的幾何圖形啟迪抽象的代數(shù)思維。這種數(shù)形結(jié)合就是把代數(shù)式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述有機(jī)結(jié)合起來(lái)，實(shí)現(xiàn)形象思維與抽象思維的優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，體現(xiàn)了數(shù)與形之間的溝通與變換。既利于探求解題途徑，又可深刻認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì)。

一、 以數(shù)輔形

例1：P為等邊△ABC的外接圓BC弧內(nèi)任意一點(diǎn)，連接

PA、PB、PC，如圖求證：

（1）PB+PC=PA；

（2）PB·PC=PA2-AB2；

（3）PA≤■AB；

（4）PA2+PB2+PC2為定值。

分析：由本題第（1）、（2）的結(jié)構(gòu)，應(yīng)該聯(lián)想到韋達(dá)定理；由問(wèn)題中出現(xiàn)的二次方，應(yīng)該聯(lián)想到余弦定理。這兩步實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的完美結(jié)合，用一個(gè)代數(shù)理論就可以統(tǒng)一解決這四個(gè)問(wèn)題。

解： 記正△ABC的邊長(zhǎng)為a，當(dāng)PB=PC時(shí)，以上結(jié)論顯然成立。

當(dāng)PB≠PC時(shí)，分別在△PBC、△PAC中用余弦定理，有：

AB2=PA2+PB2-2PA·PBcos∠APB=PA2+PB2-PA·PB，

即PB2-PA·PB+（PA2-a2）=0，

同理得PC2-PA·PC+（PA2-a2）=0，

這表明PB、PC是二次方程x2-PA·x+（PA2-a2）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

由韋達(dá)定理有：

PB+PC=PA；

PB·PC=PA2-AB2。又由方程有實(shí)數(shù)根知判別式非負(fù)，即：

△=PA2-4（PA2-a2）≥0，

即PA≤■AB。

PA2=PB2+PC2+2PB·PC=PB2+PC2+2（PA2-a2），

即PA2+PB2+PC2=2AB2=2a2，為定值。

二、 以形助數(shù)

例2：已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域?yàn)閇0，+∞），若關(guān)于x的不等式f（x）

分析：函數(shù)的值域及不等式的解與函數(shù)的圖象存在密切的聯(lián)系，本題是一個(gè)逆向問(wèn)題，雖然參數(shù)多，但如果利用函數(shù)圖象的“形”體現(xiàn)參數(shù)字母的“數(shù)”，以形助數(shù)，則可使問(wèn)題得到解決。

解：由函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域?yàn)閇0，+∞），可得b=■，且可畫出f（x）的圖象，如圖3，再畫出直線y=c，可知兩圖象的交點(diǎn)即為A（m， c），B（m+6，c）有對(duì)稱性可知-■=■，即m=■，把A（■，c）代入f（x）=（x+■）2，

得c=9。

三、 數(shù)形互助

例3：設(shè)a， b， c， x， y， z是正數(shù)，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，則■=（ ）。

A.■ B.■ C.■ D.■

分析：從提供的已知條件看，是三個(gè)方程可解三個(gè)未知數(shù)，但運(yùn)算顯然很麻煩。從式子的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到空間向量的模與數(shù)量積，可有效地把“數(shù)”往“形”轉(zhuǎn)化，再聯(lián)想到向量的夾角、共線等幾何意義，各個(gè)條件層層擊破，問(wèn)題可以得到解決。

解：設(shè)A（a，b，c），B（x，y，z），如圖，則

■=■=■，

■=■=■，

■·■=ax+by+cz=20，

cos<■， ■>■=1，

所以∠AOB=0°，■與■為同向共線向量，

所以■=？姿■，？姿=■

從而有■=■=■=■，

所以■=■。選C。

數(shù)形結(jié)合，不僅是一種有效的解題方法，更是一種重要的數(shù)學(xué)思想和思維方式，它兼取了數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性與形的直觀性兩方面的長(zhǎng)處，是優(yōu)化解題過(guò)程的重要途徑，也能集中反映學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況，值得我們?cè)诮虒W(xué)中加以重視。◆（作者單位：江蘇省濱海縣獐溝中學(xué)）

□責(zé)任編輯：萬(wàn)永勇