例談數形結合的方法

朱月祥++++王海成

數學上總是用數的抽象性和精確性來說明形象的事實，同時又用圖形的直觀性來說明抽象的事實。或以數輔形，用嚴密的邏輯推理來精確刻畫直觀的形象；或以形助數，用形象的幾何圖形啟迪抽象的代數思維。這種數形結合就是把代數式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述有機結合起來，實現形象思維與抽象思維的優勢互補，體現了數與形之間的溝通與變換。既利于探求解題途徑，又可深刻認識問題的本質。

一、 以數輔形

例1：P為等邊△ABC的外接圓BC弧內任意一點，連接

PA、PB、PC，如圖求證：

（1）PB+PC=PA；

（2）PB·PC=PA2-AB2；

（3）PA≤■AB；

（4）PA2+PB2+PC2為定值。

分析：由本題第（1）、（2）的結構，應該聯想到韋達定理；由問題中出現的二次方，應該聯想到余弦定理。這兩步實現了數與形的完美結合，用一個代數理論就可以統一解決這四個問題。

解： 記正△ABC的邊長為a，當PB=PC時，以上結論顯然成立。

當PB≠PC時，分別在△PBC、△PAC中用余弦定理，有：

AB2=PA2+PB2-2PA·PBcos∠APB=PA2+PB2-PA·PB，

即PB2-PA·PB+（PA2-a2）=0，

同理得PC2-PA·PC+（PA2-a2）=0，

這表明PB、PC是二次方程x2-PA·x+（PA2-a2）=0的兩個實數根，

由韋達定理有：

PB+PC=PA；

PB·PC=PA2-AB2。又由方程有實數根知判別式非負，即：

△=PA2-4（PA2-a2）≥0，

即PA≤■AB。

PA2=PB2+PC2+2PB·PC=PB2+PC2+2（PA2-a2），

即PA2+PB2+PC2=2AB2=2a2，為定值。

二、 以形助數

例2：已知函數f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域為[0，+∞），若關于x的不等式f（x）

分析：函數的值域及不等式的解與函數的圖象存在密切的聯系，本題是一個逆向問題，雖然參數多，但如果利用函數圖象的“形”體現參數字母的“數”，以形助數，則可使問題得到解決。

解：由函數f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域為[0，+∞），可得b=■，且可畫出f（x）的圖象，如圖3，再畫出直線y=c，可知兩圖象的交點即為A（m， c），B（m+6，c）有對稱性可知-■=■，即m=■，把A（■，c）代入f（x）=（x+■）2，

得c=9。

三、 數形互助

例3：設a， b， c， x， y， z是正數，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，則■=（ ）。

A.■ B.■ C.■ D.■

分析：從提供的已知條件看，是三個方程可解三個未知數，但運算顯然很麻煩。從式子的結構特征聯想到空間向量的模與數量積，可有效地把“數”往“形”轉化，再聯想到向量的夾角、共線等幾何意義，各個條件層層擊破，問題可以得到解決。

解：設A（a，b，c），B（x，y，z），如圖，則

■=■=■，

■=■=■，

■·■=ax+by+cz=20，

cos<■， ■>■=1，

所以∠AOB=0°，■與■為同向共線向量，

所以■=？姿■，？姿=■

從而有■=■=■=■，

所以■=■。選C。

數形結合，不僅是一種有效的解題方法，更是一種重要的數學思想和思維方式，它兼取了數的嚴謹性與形的直觀性兩方面的長處，是優化解題過程的重要途徑，也能集中反映學生對知識的掌握情況，值得我們在教學中加以重視。◆（作者單位：江蘇省濱海縣獐溝中學）

□責任編輯：萬永勇