在有效活動中建構數學模型

盧清榮

《數學課程標準》指出：數學課程要從學生已有生活經驗出發，讓學生親身經歷將數學實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步與發展。因此，教師引導學生建構數學模型時，要引導學生充分經歷模型的形成過程。特級教師羅鳴亮為我們做了很好的示范和引領。讓我們一起走進羅老師的課堂，感悟他的課堂引領藝術。

【片段一】 在猜一猜中準備模型

師：羅老師帶來一個信封，里面“躲”著圖形。猜對了，它就是給你的禮物！第一個圖形——它的面積是1平方分米，這個圖形是？

生1：正方形。

師（出示正方形）：猜對了，送給你！這個正方形的邊長是？

生2：1分米。

師：很棒！第二個圖形，它的面積是3平方分米，它是？

生3：它是長方形。

師：你是怎么想的？

生4：3平方分米組成3個正方形，可以拼成一個長方形。

師：我們一起來看看他猜對了沒有。（師出示下圖） 猜對了嗎？（沒有）

師：它的面積是3平方分米嗎？（是）

師：下面這個圖形的面積呢？

生5：4平方分米。1個正方形面積是1平方分米，4個正方形面積就是4平方分米。

師：那位同學猜對了沒有？（沒有）為什么他想到長方形呀？

生6：我們平常見到的一般都是長方形，忽略了不規則圖形。

【賞析】數學教學是數學活動的教學。教師要為學生提供數學活動的機會，引導他們在自主探索與合作交流的過程中，真正理解和掌握數學知識、技能和思想方法，從而學習有價值的數學。事實上，只有數學活動與數學思考緊密結合時，有效的數學活動才會發生。圖形面積模型是無數個面積單位的疊加，羅老師引導學生“猜一猜”，從面積為1平方分米的小正方形開始猜測，引向由多個相同正方形組成的圖形猜測。猜測面積是3平方分米的圖形時，學生的正常思維是猜測長方形，驗證時發現是不規則圖形。這種認知沖突，打破了學生的思維定式，激發了學生的好奇心和學習興趣。學生發現多個小正方形可以拼成大圖形，并且所拼圖形的形狀可以是規則的，也可以是不規則的。在這樣的猜測活動過程中，學生初步發現圖形面積的計量方法——“數”小正方形的個數。這樣，學生在猜圖活動中就為建構長方形面積模型做好了充分準備工作。

【片段二】在數一數中感知模型

師：由6個面積是1平方分米的正方形拼成的長方形是什么樣的呢？

生1：擺2行，每行3個，一共擺6個。

師：6個什么圖形？它的面積是多少？

生2：6個面積是1平方分米的正方形，面積是6平方分米。

生3：可以擺1行，每行6個，面積也是6平方分米。

師：為什么也是6平方分米？

生4：因為有6個面積是1平方分米的正方形。

師：誰能說說下面圖形的面積？

生5：12平方分米。

師：你會講道理嗎？

生6：有3行，每行4個，一共12個。

師：下面這幅圖呢？

生7：每行15個，有10行，一共150個。

師：你怎么知道每行15個？

生8：小正方形邊長是1分米，15分米里面有15個1分米，可以擺15個。

（教師課件演示驗證：一行擺15個。）

師：如果有30分米呢？每行可以擺幾個？（30個）這里為什么是10行？

生9：10分米里面有10個1分米，有10個小正方形，就是10行。

（教師課件演示驗證：一個一個地擺，第一列可以擺10個。）

師：這就說明一共可以擺幾個？面積是多少？

生10：可以擺150個，面積是150平方分米。

【賞析】好的數學活動是引導學生思維螺旋上升的過程。長方形面積模型包含長和寬兩個因素，面積計量的直接方法是數面積單位個數，厘清長和寬與面積單位個數的關系，有助于學生把面積的直接計量方法向間接計量方法轉變，也就是能促進學生建構長方形面積模型。羅老師分三個層次，引導學生體驗面積直接計量向間接計量的轉變過程：首先提供由6個面積是1平方分米的正方形拼成的長方形，讓學生想象長方形的形狀，學生根據“有幾行？每行有幾個？總共有幾個”進行有序表述，面積計量方法從一個一個地數，轉向用行數和每行個數兩個量進行表達，突出長方形所包含的小正方形個數是由“每排的個數”與“排數”決定的。接著用面積是12平方分米的長方形及時鞏固和內化長方形的面積與每排的個數和排數的關系，幫助學生形成表象，計量長15分米、寬10分米的長方形面積時，教師引導學生巧妙計數——根據長方形的長和寬進行計數：長15分米，每行可以擺15個；寬10分米，可以擺10行。這樣實現計量方法的簡化，有助于學生逐漸感知長方形的面積模型。

【片段三】在量一量中探究模型

師：如果你能算出這個信封里的長方形面積，它就是你的禮物了。

（出示一個長方形，沒有標注長和寬，學生嘗試計算。）

生1：長方形的長是5厘米，寬是4厘米，面積就是5×4=20平方厘米。

師：為什么要去量長方形的長和寬？

生2：它的長是5厘米，用面積是1平方厘米的小正方形可以擺5個；它的寬是4厘米，用面積是1平方厘米的小正方形可以擺4個。5×4=20，一共可以擺20個小正方形。

師：20個什么樣的小正方形？

生3：20個面積為1平方厘米的小正方形，就是20平方厘米。

【賞析】每排擺幾個小正方形以及能擺幾排，分別由長方形的長和寬決定。羅老師提供一個長方形讓學生嘗試解決。學生自主測量長方形的長和寬，就是明確長和寬是確定長方形面積大小的決定因素——長5厘米，需要擺5個面積是1平方分米的小正方形；寬4厘米，需要擺4個同樣的小正方形。這就溝通了擺的個數與長度之間的對應關系。從直接計量到間接計量，凸現了長方形面積模型的發生和發展過程。學生在教師的引導下，經歷了“數面積單位個數—每行有幾個、有幾行—每行個數、行數與長度相對應的關系”的探究過程，面積計量方法從直接計量變為間接計量，數學模型已經呼之欲出。

【片段四】在想一想中形成模型

師：有個長方形，面積也是20平方厘米，但形狀和剛才的不一樣，想一想，長方形的長和寬分別是多少？

生1：長20厘米，寬1厘米。

師：你是怎么想的？

生2：長20厘米、寬1厘米的長方形，面積是20平方厘米。

師：你怎么知道面積是20平方厘米？

生3：擺一行，一行20個面積為1平方厘米的小正方形。

師：長方形的長可能比20厘米多嗎？

生4：寬改成0.5厘米，長就是40厘米。（師課件演示驗證。）

師：長可能比40厘米多嗎？

生5：有可能。如果寬是1毫米，長就比40厘米多。

生6：把寬分下去，長就可以很長很長。

師：學到這里，你有什么收獲？如果讓你講一句話，你會講什么？

生7：長方形的面積=長×寬。

【賞析】學生明確長方形面積與長和寬的數量有關系后，羅老師沒有出示結論，而是引導學生思考面積是20平方厘米的長方形的形狀，讓學生猜長方形的長和寬分別是多少。寬越來越小，長越來越大。學生從中體會長和寬的數量可以變化，但它們的乘積（長方形的面積）不變。這樣，學生不但能感悟到變與不變的數學思想，而且在不斷經歷尋找數量—想象圖形—驗證結果的過程中，對長方形的面積模型越來越清晰。最終，長方形面積模型的建構水到渠成。

總之，羅老師從知識本質出發，開展有效數學活動，引導學生經歷數學模型建構過程，溝通學生原有認知結構與模型結構之間的內在聯系，幫助學生不斷調整思維路徑，沿著模型形成的軌跡，深入思考，順其自然地建構了長方形面積的數學模型。

（作者單位：江蘇省睢寧縣實驗小學）

責任編輯：周瑜芽

Email：jxjyzyy@163.com