商榷2015年高考題中表述欠嚴謹的10道題

一年一度的高考是考生、老師、家長、學校乃至全社會關注的重點話題.2015年的高考已塵埃落定，筆者作為一名高中數學老師，也抓緊時間認真鉆研了本年度的高考數學真題（文理共計31套，其中江蘇文理同卷），發現了它們有試題常規、情景新穎、杜絕偏怪、難度在降低等特點，這也與新課改之精神、教育乃培養人的活動、數學本來應當是人人能夠喜愛的美的科學合拍.但筆者發現有10道高考題在表述上欠嚴謹：雖然原題不會太影響考生正確答題，但作為高考題的權威性及引用的廣泛性，還是要注意表述上的嚴謹.

■ （2015年高考湖北卷文科第4題）已知變量x和y滿足關系y=-0.1x+1，變量y與z正相關，下列結論中正確的是（ ）

A. x與y負相關，x與z負相關

B. x與y正相關，x與z正相關

C. x與y正相關，x與z負相關

D. x與y負相關，x與z正相關

解 A. 顯然x與y負相關，又y與z正相關，所以x與z負相關.

商榷 高中生是在普通高中課程標準實驗教科書《數學3·必修·A版》（人民教育出版社，2007年第3版）（下簡稱《必修3》）第86頁接觸到“正相關、負相關”這兩個概念的：

從散點圖（如圖1所示）可以看出，年齡越大，體內脂肪含量越高.圖中點的趨勢表明兩個變量之間確實存在一定的關系，這個圖支持了我們從數據表（見《必修3》第85頁的表2-3）中得出的結論.

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圖1

另外，這些點散布的位置也是值得注意的. 它們散布在從左下角到右上角的區域. 對于兩個變量的這種相關關系，我們將它稱為正相關. 還有一些變量，例如汽車的重量和汽車每消耗1L汽油所行駛的平均路程，成負相關，汽車越重，每消耗1L汽油所行駛的平均路程就越短，這時的點散布在從左上角到右下角的區域內.

由此論述可知，“正相關、負相關”是呈相關關系的兩個變量之間的關系. 而在本題中，滿足關系y= -0.1x+1的兩個變量x和y呈函數關系（即確定性關系）不是相關關系，在函數關系中，教科書中沒有介紹兩個變量之間“正相關、負相關”的含義（筆者在整個數學領域中也未聽說過有此含義）. 建議把這道題的題干中的“y=-0.1x+1”改為“■=-0.1■+1”（改述后的解法及答案均不變）.

■ （2015年高考全國卷II理科第10題即文科第11題）如圖2所示，長方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點. 點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠BOP=x. 將動點P到A，B兩點距離之和表示為x的函數f（x），則y=f（x）的圖象大致為（ ）

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A B

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C D

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圖2

解法1 ？搖B.當點P在BC邊上時，PB=OB·tanx=tanx，PA=■=■，所以f（x）=tanx+■0≤x≤■，顯然f（x）單調遞增且是非線性的，且f■=1+■. 當P位于邊CD的中點時，x=■，且f■=PA+PB=2■，所以可知當點P從點B運動到點C時， f（x）從2增到1+■，當點P從點C運動到邊CD的中點時， f（x）從1+■減到2■，且增減都是非線性的，結合圖象可知選B.

解法2 B. 由題意可知， f■=2■， f■=1+■. 得f■

商榷 建議把題2中的“長方形ABCD”改成“矩形ABCD”；“點P沿著邊BC，CD與DA運動”改成“動點P從點B開始沿著折線BCDA運動到點A停止”（原說法是不清楚的：動點P從哪一點開始運動？運動到哪一點停止？是連續運動還是跳躍的運動？因為題目只說了“點P沿著邊BC，CD與DA運動”）.

作為選擇題，題2是可以勉強解答的；要是作為非選擇題，題2將無從解答.

■ （2015年高考浙江卷理科第6題）設A，B是有限集，定義：d（A，B）=card（A∪B）-card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中元素的個數.

命題①：對任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）>0”的充分必要條件；

命題②：對任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）. （ ）

A. 命題①和命題②都成立

B. 命題①和命題②都不成立

C. 命題①成立，命題②不成立

D. 命題①不成立，命題②成立

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圖3

解 A. 命題①顯然成立，由圖3可知d（A，C）表示的區域不大于d（A，B）+d（B，C）表示的區域，所以命題②也成立.

商榷 建議把題干改述為（若不改述，則題意不清，會使考生很茫然；因為有不少高考選擇題是要求選出錯誤的選項，比如2015年高考中的福建卷理科第10題、陜西卷理科第12題）：

設A，B是有限集，定義：d（A，B）=card（A∪B）-card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中元素的個數.

命題①：對任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）>0”的充分必要條件；

命題②：對任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）.

則下列結論正確的是（ ）

■ （2015年高考浙江卷文科第8題）設實數a，b，t滿足a+1=sinb=t. （ ）

A. 若t確定，則b2唯一確定

B. 若t確定，則a2+2a唯一確定

C. 若t確定，則sin■唯一確定

D. 若t確定，則a2+a唯一確定

解 B. 對于選項A，取t=■，b可取■或■，得b2不能唯一確定；對于選項B，由a+1=sinb=t，得a+12=t2，即a2+2a+1=t2，a2+2a=t2-1，所以若t確定，則t2確定，所以a2+2a唯一確定，得選項B正確；若t確定，由sinb=t，得sin2b=t2，所以cosb=±■，sin■= ±■=±■，不唯一確定，選項C中的結論不正確；若t確定，由a+1=t，得a+1=±t，所以a=-1±t，所以a2+a=（-1±t）2-1±t=t2？芎2t±t=t2？芎t，不唯一確定.

綜上可知，只有選項B正確.

商榷 建議把題干改述為（改述的理由同上）：

設實數a，b，t滿足a+1=sinb=t，則下列結論正確的是（ ）

■ （2015年高考廣東理科第8題）若空間中n個不同的點兩兩距離都相等，則正整數n的取值（ ）

A. 至多等于3 B. 至多等于4

C. 等于5 D. 大于5

解 B. 正四面體符合要求，因此n可以等于4. 下面證明n=5不可能. 假設存在五個點兩兩距離相等，設為A，B，C，D，E.其中A，B，C，D構成空間的正四面體ABCD，設其棱長為a.設G為△BCD的中心，則不難算出AG=■a，BG=■a，且AG⊥平面BCD. 如果點E到A，B，C，D四點的距離相等，那么點E一定在直線AG上，且EB=a. 如果點E在線段AG上或線段GA的延長線上，那么在Rt△EBG中，EG=■=■a，AG=■a，此時A，E重合. 如果點E在線段AG的延長線上，此時EG=■a，EA=■a≠a.

綜上所述可得，正整數n的取值至多是4.

商榷 建議把選項A、B中的“至多”均改為“最多”. 中國社會科學院語言研究所詞典編輯室編《現代漢語詞典》（商務印書館，2012年第6版）第1677頁對“至少”的解釋是“表示最小的限度”，所以“正整數n至多等于4”的意思是“正整數n≤4，但等號不一定能取到”，而在本題中“正整數n≤4，等號一定能取到”，所以改動后的表述更準確（不改動也無錯誤）.

而對于2014年高考上海卷理科第13題“某游戲的得分為1，2，3，4，5，隨機變量ξ表示小白玩該游戲的得分. 若E（ξ）=4.2，則小白得5分的概率至少為_________.”若不把其中的“至少”改為“最少”，則答案可填閉區間[0，0.2]中的任一個數，就不一定是參考答案“0.2”.

■ （2015年高考江蘇卷第9題）現有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個. 若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為________.

解 ■. 設新的底面半徑為r，得■π×52×4+π×22×8=■πr2×4+πr2×8 ，即■πr2=■π+32π，解得r=■.

商榷 一般來說，在橡皮泥的重新制作過程中，體積會變化（但質量不變），所以建議把題中的“若將它們重新制作”改述為“若將它們重新制作（假設重新制作的過程中，橡皮泥的體積不變）”.

■ （2015年高考陜西卷文科、理科第22題）如圖4所示，AB切⊙O于點B，直線AO交⊙O于D，E兩點，BC⊥DE，垂足為C.

（1）證明：∠CBD=∠DBA；

（2）若AD=3DC，BC=■，求⊙O的直徑.

■

圖4

解 （1）因為DE為⊙O的直徑，得∠BED+∠EDB=90°. 又BC⊥DE，所以∠CBD+∠EDB=90°，從而∠CBD=∠BED. 又AB切⊙O于點B，得∠DBA=∠BED，所以∠CBD=∠DBA.

（2）由（1）知BD平分∠CBA，得■=■=3，又BC=■，從而AB=3■. 所以AC=■=4，得AD=3. 由切割線定理得AB2=AD·AE，即AE=■=6，所以DE=AE-AD=3，即⊙O的直徑為3.

商榷 建議把該題及其解答中的“直徑”改為“直徑的長”.

■ （2015年高考陜西卷文科、理科第24題）已知關于x的不等式x+a

（1）求實數a，b的值；

（2）求■+■的最大值.

解 （1）由x+a

（2）由柯西不等式，得■+■=■+■=■·■+■≤■=2■=4，當且僅當■=■，即t=1時等號成立，所以（■+ ■）max=4.

商榷 解第（2）問中的“t”是變量還是常量呢？題目沒作交代. 若“t”是變量，則解答同上；若“t”是常量，則答案為“■+■”（因為■+■是常量）. 所以建議把該題第（2）問改述為：

（2）求函數f（t）=■+■的最大值.

■ （2015年高考廣東卷理科第17題）某工廠36名工人的年齡數據如表1：

（1）用系統抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本，且在第一分段里用隨機抽樣法抽到的年齡數據為44，列出樣本的年齡數據；

（2）計算（1）中樣本的均值■和方差s2；

（3）36名工人中年齡在■-s與■+s之間有多少人？所占的百分比是多少（精確到0.01%）？

解 （1）依題意知，所抽取的樣本編號是一個首項為2公差為4的等差數列，得其所有樣本編號依次為2，6，10，14，18，22，26，30，34，所以對應樣本的年齡數據依次為44，40，36，43，36，37，44，43，37.

（2）由（1）可得■=40，s2=■.

（3）由（2）知，s=■，所以■-s=36■，■+s=43■. 因為年齡在■-s與■+s之間的共有23人，所以其所占的百分比是■≈63.89%（精確到0.01%）.

商榷 解答第（3）問時，必須要知道■與s的值，而在大前提及第（3）問的題設中均找不到，考生（也包括所有的答題者）在萬般無賴的情形下，只有在第（1）問或第（2）問中找出這兩個數據：果真在第（2）問中找到了！而后也做出了所謂正確的解答，也得出了理想的分數.

這好像就是出題者的意思. 但這是不對的，也是完全錯誤的！可把此題第（3）問改述為：

（3）36名工人中年齡在■-s與■+s（■，s的值見第（2）問）之間有多少人？所占的百分比是多少（精確到0.01%）？

2011年高考廣東卷理科第17題及2010年高考安徽卷理科第19題也都存在這種錯誤■.

■ （2015年高考廣東卷文科、理科第20題）已知過原點的動直線l與圓C1：x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點A，B.

（1）求圓C1的圓心坐標.

（2）求線段AB的中點M的軌跡C的方程.

（3）是否存在實數k，使得直線L：y=k（x-4）與曲線C只有一個交點？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由.

解 （1）因為圓C1的方程即（x-3）2+y2=4，所以圓C1的圓心坐標是（3，0）.

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圖5

（2）設線段AB的中點為M（x，y），可得C1M⊥AB即C1M⊥OM.

得點M在以OC為直徑的圓x2+y2-3x=0上.

又點M在圓C1內，解方程組x2+y2-3x=0，（x-3）2+y2=4，得兩圓的交點為■，±■■，進而可得所求軌跡C的方程為x2+y2-3x=0x>■.

（3）存在實數k滿足題意.

如圖5所示，曲線C是以C■，0為圓心、■為半徑的圓弧■（不包括端點），且E■，■■，F■，-■■.

當直線L：y=k（x-4）與曲線C相切時，得■=■，k=±■.

又直線L：y=k（x-4）過定點D（4，0），所以k■=-k■=■= -■■.

再結合圖5可得，當且僅當k的取值范圍是-■■，■■∪-■，■時，直線L：y=k（x-4）與曲線C只有一個交點.

注：本題源于普通高中課程標準實驗教科書《數學·選修2-1·A版》（人民教育出版社，2007年第2版）（下簡稱《選修2-1》）第37頁習題2.1的A組第4題：過原點的直線與圓x2+y2-6x+5=0相交于A，B兩點，求弦AB的中點M的軌跡方程.

與《選修2-1》配套使用的《教師教學用書》（人民教育出版社，2007年第2版）第11頁給出的《選修2-1》第40頁給出的答案是“x2+y2-3x=0，■≤x≤3”. 筆者認為，由“弦AB”知點A，B不能重合，所以答案應當是“x2+y2-3x=0，■■”. （這道高考題的解答與筆者的這一觀點是一致的.）

商榷 應注意交點與切點是有區別的■：直線與圓相交時的公共點叫做交點，直線與圓相切時的公共點叫做切點，交點和切點統稱為公共點. 所以建議把題10（即2015年高考廣東卷文科、理科第20題）第（3）問中的“交點”改為“公共點”（改動后答案不變；若不改動，則答案為：當且僅當k的取值范圍是-■■，■■時，直線L：y=k（x-4）與曲線C只有一個交點）. ■