橫看成嶺側成峰

在生活中我們可以觀察到很多拉伸變換的現象，比如彈簧的拉伸等. 這讓我們數學探究小組聯想到了能否借用“拉伸”來幫助我們解決正在學習的圓錐曲線相關問題，這引起了我們的積極討論. 在幾何圖形中，長與短、圓與橢圓都可以經過拉伸（伸縮）來相互轉換，而這個轉換的代數本質就是換元. 我們小組把這個轉換方式稱為拉伸原理. 現在就讓我們來具體談談什么是拉伸原理，以及它的妙用和展望.

■千呼萬喚始出來

——初探拉伸原理

如果將一根彈簧沿其線性方向拉長一倍，其長度變為原來的兩倍；如果將一張圖片沿一邊拉伸一倍（另一邊不變），面積變為原來的二倍（就像PS中的自由變換），如圖1-1所示.

在此，我們把圖形沿某一維度伸長或縮短的變換叫做拉伸變換，此文中稱為拉伸原理. 通過探究，我們發現：一維圖形沿其長度方向拉伸“前后圖形長度比不變”；二維圖形沿某一維度拉伸“前后圖形面積比不變”；三維圖形沿某一維度拉伸“前后圖形體積比不變”.

從代數角度看，拉伸原理就是代數換元，它們的關系如表1所示.

對于橢圓我們可以將其看做是由圓沿某一方向拉伸變換形成的. 當圓心處于原點時設圓方程為：x2+y2=a2（a>0），我們假設ny=y1即沿y軸縮短n倍；此時將其代入原方程得：■+■=1，方程滿足橢圓的標準方程，圓被拉伸為橢圓. 橢圓性質與圓有相似之處，如圖2.

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圖2

A.橢圓與圓都關于原點、x軸、y軸對稱

B. Q（Q1）點從A到B運動過程中△ABQ（Q1）的面積先變大后變小，且Q（Q1）頂點時最大，∠AQ（Q1）B變化亦如此

C.橢圓離心率e越大，n越大，即拉伸程度變大離心率變大

■二、眾里尋他千百度

——巧用拉伸原理

前面簡單介紹了什么是拉伸原理，那么究竟拉伸原理在我們的數學學習中有什么具體的應用呢？下面就通過幾個簡單例子來看看拉伸原理是如何化腐朽為神奇的.

（一）橢圓中某些面積最值問題

已知橢圓上任兩點可以運用拉伸求橢圓上另一點與這兩點構成三角形的面積最大值

原理：二維拉伸面積比不變

將圖中問題轉換為：已知圓上任兩點，求圓上另一點與這兩點構成三角形的面積最大值.

已知圓上任兩點，則兩點連線的中垂線與圓的交點和已知兩點構成的三角形面積最大.在圓中所得的面積經過拉伸變換后即為橢圓中面積.

如圖3，有一橢圓O：■+■=1，求橢圓上一點Q與B，C所圍成三角形的面積的最大值.

a. 先將橢圓拉伸為圓：令■y=n，所以O：■+■=1，即：x2+n2=a2 ①.

b. 求圓中S■的最大值.

直線BC1：y=-x+b，

直線OQ1：y=x ②.

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圖3

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圖4

由①②得Q1■，■或Q1-■，-■，當Q在下方時面積最大，所以Q取-■，-■.

Q到BC1的距離d=■，BC1長度BC1=■a，S■=■dBC1.

c. 將S■乘以■的最大值縮放為原橢圓S△QBC的最大值：

S△QBC=S■·■=■.

同樣，若要求已知斜率為k的直線與橢圓相交弦長的最大值亦可用此法.

下面我們來看一道例題

■ 設橢圓中心在原點，A（2，0），B（0，1）是它的兩個頂點，直線y=kx（k>0）與AB相交于點D，與橢圓相交于E，F兩點. 求四邊形AEBF的面積最大值.

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圖5

解 把題目中坐標y軸換為n軸且滿足2y=n，則原坐標系中橢圓變為■+■=1，即x2+n2=4. 在此圓中易得：當EF⊥AB時SAEBF最大. 在xOn坐標系中Smax=2■×4×■. 又y軸與n軸滿足2y=n，所以在xOn系中S1max=■=2■.

（二）拉伸原理求橢圓切線

我們可以通過拉伸的方法來求圓錐曲線上一點（x0，y0）處的切線方程，主要是數學計算和換元的方法，如下：如圖6，設圓x2+y2=1上有一點M1（x0，y0），拉伸此圓使得M1成為M（λx1，μy1），并設λx1=x■，μy1=y0.

①求圓的M1處切線方程l1，斜率為k1，若存在l1：k1·■=-1？圯k1=-■，切線過（x1，y1）？圯y′-y1=k1（x′-x1）？圯l1方程：y′=x′·■+■，l■過點■，0，0，■.

若k1不存在：y1y′+x1x′=1.

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圖6

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圖7

②求拉伸后圖形M處切線方程l：斜率為k

若存在k：則l過點■，0，0，■？圯■=■？圯■+■=1？圯■+■=1.

不存在k時：■+■=1. 綜上：此拉伸圖形M處切線方程為■+■=1.

由于μ，λ∈R，μ，λ>0時，l為標準橢圓切線；μ，λ>0且μ，λ≠0時，l為標準雙曲線切線；μ，λ<0時，無意義；μ·λ=0時，暫不討論.

所以此切線方程可寫為：■+■=1（μ，λ>0）或■-■=1（μ<0，λ>0）或■-■=1（μ>0，λ<0）.

“②”還可用稍簡單的方法：因為μy′=y，λx′=x，所以y■y′+x1x′=1拉伸后的是■+■=1，即是■+■=1.

下面來看一道例題

■ 已知直線l與橢圓x2+2y2=2交于A，B兩點，線段AB中點為P，設直線l斜率為k1（k1≠0），直線OP斜率為k2，求k1·k2的值.endprint

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圖8

解 把題目中坐標y軸換為n軸且滿足■y=n. 在xOn系中易得l⊥OP，即■k1×■k2=-1，所以k1×k2=-■.

（三）用拉伸巧證雙曲線某些性質

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圖9

①如圖9，已知曲線：■-■=1（等軸雙曲線）過雙曲線上任一點P，分別平移兩漸近線l1：y=x；l2：y=-x，過點P得l′1，l′2，則l1，l2，l′1，l′2所圍得的圖象面積S如何？

猜想：面積S為定值.

證明：圖中雙曲線為等軸雙曲線，l1⊥l2，P（x1，■），現在可以l2，l1分別為新的坐標軸x1軸、y1軸，在新坐標系x1Oy1中，P■，■.

如圖10，此時雙曲線變成了反比例函數對應圖象，此時易得出陰影部分為矩形，面積S為定值，S=■（x1-■）·■x1-■·（x1-■）=■（定值）.

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圖10

亦可知在新坐標系x1Oy1中雙曲線的方程為y=■（反比例函數）.

②若雙曲線不是等軸雙曲線，此時以上結論是否成立？下面讓我們一起來探究一下.

如：■-■=1（a2≠b2），此時可用拉伸原理解決，即將y軸換成n軸并滿足如下關系：n軸上每個坐標與y軸上每個坐標滿足n=■y，把原坐標系中y換為n得：在新系xOn中雙曲線為：■-■=1，此時雙曲線變為等軸雙曲線，S1如①所示為定值■.

又一維拉伸中面積與拉伸比例呈一次線性關系，所以在xOy系中S=S1■=■，綜上①②所述面積S為定值■.

■三、衣帶漸寬終不悔

——展望拉伸原理

拉伸原理折射出的是一種轉換角度看問題的方法，我們可以此為基點，發現更多的轉換思路.

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圖11

例如，對于圓錐曲線，我們可以把它看做一個圓沿曲面拉伸而在平面上形成的投影. 平面直角坐標系是空間的一個截面，就像一張投影布，它能投射出拉伸后圖形的影像. 我們可以在空間的一個截面建一個平面直角坐標系，這個系的x軸正半軸和負半軸在無窮遠處相交，y軸也一樣.一個端點在原點的圓，我們將其沿某一方向將其拉扁，隨平扁程度加大，e從（0，1）變為1再變為（1，+∞）. 起初由于e不大，橢圓可近似看做曲面空間上一點，也即是說，它仍近似在平面上. 用直角坐標系與近似平面重合，得到的投影還是橢圓，如圖11.

隨e的增大，橢圓沿曲面延伸. 但由于當e增大到1時，我們再用平面直角坐標系去截，此時原圖形左端點仍與原點重合，但右端點在曲面另一側，此時截得的投影不封閉，不完整，無限延伸，是拋物線. 如圖12.

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圖12

當e再增大，e>1，原圖形左端點仍在原點，右端點繞過曲面另一半，此時再去截，所用仍為平面直角坐標系，則得到雙曲線. 如圖13.

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圖13

在e=1與e>1時，所截圖形區別除無限延伸方向外，還有就是：對于拋物線，由于其截面為對稱軸，固它的曲面延伸方向趨近于曲面橢圓頂點，該沿伸曲面斜率越來越小，曲線越來越趨近直線. 對于雙曲線，它的截面終點是橢圓上除頂點外的點，固雙曲線就像是作用在用超大倍數放大鏡看橢圓一樣，它的曲面延伸趨向于一條直線.

對于一些問題的思考可以得出許多有趣的結論. 如李宗吾先生曾經將物理學與心理學對比，發掘其互通之處，著了《心理與力學》一書.又如拉伸在哲學方面也有所體現，我們將一個物體拉伸變換，就是換了一個角度看問題. 但結果是每種角度在相應的條件下所映射出的結論都是成立的，這似乎肯定了存在的合理性，也就是常說的“存在即合理”，這些思考是否一定正確？我們還不得而知. 對于這些問題的思考拓展了我們的思維，豐富了我們的課余學習生活，這是我們求真、求實、求精的追求，在這個過程中我們收獲的是合作探究的精神和探索追求的快樂. 希望我們探究小組的新思路能帶給大家一點小小的啟示，同時我們還在對其他問題進行探究（如拉伸原理的三維應用、坐標轉換等），期待我們可以給大家帶來更多新的驚喜.

注：“PS”是Adobe Photoshop的簡稱，是由Adobe Systems開發和發行的圖像處理軟件. ■endprint