直線、平面垂直的判定與性質2

王建華

直線與平面垂直的判定與性質，一直是高考考查的重點. 縱觀近幾年各省市的高考試題，以錐體、柱體為載體的線面垂直關系的論證是每年必考的內容，主要以解答題的形式出現，重點考查空間想象能力、計算能力、推理論證能力以及轉化思想的應用能力. 有時，還會以選擇題或填空題的形式重點考查對垂直相關概念和定理的正確理解.

重點難點

本部分內容包括線面垂直的判定與性質，面面垂直的判定與性質.

重點：（1）理解線面垂直的定義，掌握線面垂直的判定定理和性質定理，掌握面面垂直的判定定理和性質定理；（2）能運用公理、定理和已獲得的結論，證明一些有關空間圖形的垂直關系的簡單命題.

難點：掌握線線垂直、線面垂直和面面垂直這三種垂直關系的相互轉化.

方法突破

一、一種關系——垂直問題的轉化關系

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垂直關系證明的基本思想是轉化，即由線線垂直得線面垂直（線面垂直的判定定理），由線面垂直得面面垂直（面面垂直的判定定理），而由面面垂直得線面垂直（面面垂直的性質定理），由線面垂直得線線垂直（線面垂直的定義）. 垂直關系的證明就是在這些性質定理和判定定理的使用中，將各種垂直關系不斷進行轉化.在處理實際問題的過程中，我們常常需要先從題設條件入手，明確已有的垂直關系，再從結論分析待證的垂直條件，從而搭建起已知與未知之間的“橋梁”.

二、三類證法

1. 證明線線垂直的方法

（1）定義：兩條直線所成的角為90°.

（2）平面幾何中證明線線垂直的方法：如勾股定理、三角形全等、直線斜率的乘積為-1等.

（3）線面垂直的性質：a⊥α，b？奐α？圯a⊥b.

（4）線面垂直的性質：a⊥α，b∥α？圯a⊥b.

2. 證明線面垂直的方法

（1）定義：a與α內任何直線都垂直？圯a⊥α.

（2）線面垂直的判定定理1：m，n？奐α，m∩n=A，l⊥m，l⊥n？圯l⊥α.

（3）線面垂直的判定定理2：a∥b，a⊥α？圯b⊥α.

（4）面面平行的性質：α∥β，a⊥α？圯a⊥β.

（5）面面垂直的性質：α⊥β，α∩β=l，a？奐α，a⊥l？圯a⊥β.

3. 證明面面垂直的方法

（1）定義：兩個平面相交，所成的二面角是直二面角.

（2）面面垂直的判定定理：a？奐α，a⊥β？圯α⊥β.

典例精講

■ 對于不同的直線m，n和不同的平面α，β，γ，有如下四個命題：

①若m∥α，m⊥n，則n⊥α？搖；

②若m⊥α，m⊥n，則n∥α；

③若α⊥β，γ⊥β，則α∥γ；

④若m⊥α，m∥n，n？奐β，則α⊥β.

？搖其中真命題的個數是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

破解 畫一個正方體作為模型（如圖1），設底面ABCD為α.

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圖1

當A1B1=m，B1C1=n，顯然符合①的條件，但結論不成立；

當A1A=m，AC=n，顯然符合②的條件，但結論不成立；

與底面ABCD相鄰三個面可以兩兩垂直，但任何兩個都不平行，所以③不正確；

由面面垂直的判定定理可知，④是正確的.

只有④正確，故選A.

■ 如圖2，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點，求證：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）平面BEF⊥平面PCD.

■

圖2

思索 （1）面面垂直的性質是用來推證線面垂直的重要依據，其核心是其中一個面內的直線與交線垂直. 本題中由平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD以及PA⊥AD可推出PA⊥底面ABCD.

（2）證明面面垂直，應先轉化為證明線面垂直，再把證明線面垂直轉化為證明線線垂直. 若由已知條件所得的其他線面垂直的結論，常常利用其性質輔助證明線線垂直.如第（1）問的結論就對第（2）問的證明起輔助作用.

破解 （1）因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PA？奐平面PAD且PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD.

（2）因為AB⊥AD，而且易知四邊形ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.

由（1）知PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥CD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD. 因為E和F分別是CD和PC的中點，所以PD∥EF，所以CD⊥EF. 又BE⊥CD，BE∩EF=E，所以CD⊥平面BEF. 又CD？奐平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.

■ 如圖3甲，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖3乙.

■

圖3

（1）求證：DE∥平面A1CB；

（2）求證：A1F⊥BE；

（3）線段A■1B上是否存在點Q，使A1C⊥平面DEQ？說明理由.

思索 證明空間中的線線垂直可轉化為證明線面垂直. 考查直線與平面平行、直線與平面垂直關系的相互轉化，考查空間想象能力和推理論證能力.

破解 （1）略.

（2）由已知得AC⊥BC，且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A■■D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A■1DC，所以DE⊥A1F. 又A■1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE，所以A■1F⊥BE.endprint

（3）線段A1B上存在點Q，可使A1C⊥平面DEQ. 理由如下：如圖4，分別取A1C，A1B的中點P，Q，則PQ∥BC. 又DE∥BC，所以DE∥PQ. 所以平面DEQ即為平面DEP.

由（2）知，DE⊥平面A■1DC，所以DE⊥A■1C，又P 是等腰三角形DA■1C底邊A■1C的中點，所以A■1C⊥DP. 因為DE∩DP=D，所以A■1C⊥平面DEP，從而A■1C⊥平面DEQ. 故線段A■1B上存在點Q，使A1C⊥平面DEQ.

變式練習

1. 已知下列命題（其中a，b為直線，α為平面）：

①若一條直線垂直于一個平面內無數條直線，則這條直線與這個平面垂直；

②若一條直線平行于一個平面，則垂直于這條直線的直線必垂直于這個平面；

③若a∥α，b⊥α，則a⊥b；

④若a⊥b，則過b有且只有一個平面與a垂直.

上述四個命題中，真命題是（ ）

A. ①② B. ②③

C. ②④ D. ③④

2. 若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結論一定正確的是（ ）

A. l1⊥l4？搖 B. l1∥l4？搖

C. l1與l4既不垂直也不平行

D. l1與l4的位置關系不確定

3. 如圖5，四邊形ABCD為正方形，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=4，AE=2，EF=1.

■

圖5

（1）求證：BC⊥AF；

（2）試判斷直線AF與平面EBC是否垂直，若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由.

4. 如圖6，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2■，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=■.

（1）求證：BD⊥平面PAC；

（2）若側棱PC上的點F滿足PF=7FC，求三棱錐P-BDF的體積.

■

圖6

參考答案：

1. D

2. D

3.？搖（1）因為EF∥AB，所以EF與AB確定平面EABF.因為EA⊥平面ABCD，所以EA⊥BC. 由已知可得AB⊥BC且EA∩AB=A，所以BC⊥平面EABF. 又AF？奐平面EABF，所以BC⊥AF.

（2）直線AF垂直于平面EBC. 證明如下：由（1）可知，AF⊥BC. 在四邊形ABFE中，AB=4，AE=2，EF=1，∠BAE=∠AEF=90°，所以tan∠EBA=tan∠FAE=■，故∠EBA=∠FAE. 設AF∩BE=P，因為∠PAE+∠PAB=90°，故∠PBA+∠PAB=90°，則∠APB=90°，即EB⊥AF. 又因為EB∩BC=B，所以AF⊥平面EBC.

4. （1）因為BC=CD，即△BCD為等腰三角形，又∠ACB=∠ACD，故BD⊥AC. 因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD. 從而BD與平面PAC內兩條相交直線PA，AC都垂直，所以BD⊥平面PAC.

（2）三棱錐P-BCD的底面BCD的面積S△BCD=■BC·CD·sin∠BCD=■×2×2sin■π=■. 由PA⊥底面ABCD，得VP-BCD=■S△BCD·PA=■×■×2■=2. 由PF=7FC，得三棱錐F-BCD的高為■PA. 故VF-BCD=■·S△BCD·■PA=■×■×■×2■=■. 故VP-BDF=VP-BCD-VF-BCD=2-■=■. ■endprint