空間幾何體的表面積與體積

馮小飛

空間幾何體的表面積與體積的試題根植于課本，追求創新，多是以直觀圖、三視圖、平面圖形的折疊、展開與旋轉為背景，給出“非常規”的幾何體，重在考查轉化思想和空間想象能力.

重點難點

重點：了解常見幾何體的體積公式和表面積公式；基本幾何體中點、線、面的關系，特別是平行和垂直；掌握三視圖和直觀圖的畫法原理；另外要熟悉三個關系：一是三棱錐與四棱錐之間的轉化關系；二是多面體與球體之間的組合關系；三是三視圖與直觀圖的轉化關系. 努力培養觀察能力，尋求不規則幾何體與規則幾何體之間的聯系，掌握必要的“割補”技巧，熟練空間與平面之間的合理轉化，把握準確切入試題的角度.

難點：其一，怎樣合理地選擇底和高求幾何體的表面積與體積；其二，怎樣恰當地進行“割補”、平面到空間的折疊和空間到平面的展開.

方法突破

一、求空間幾何體表面積與體積的基本步驟

求空間幾何體的表面積和體積的基本步驟是：先識圖，根據題目給出的圖形，想象出幾何體的形狀和有關線、面的位置關系，比如由三視圖想象直觀圖；再畫圖，根據題設條件畫出適合題意的圖形或畫出自己想作的輔助線（面），作出的圖形要直觀、虛實分明；接著要變圖，對圖形進行必要的分解、組合，對圖形或其某部分進行平移、翻折、旋轉、展開或實行割補，從不同的角度認識圖形，選擇不同的高和底；最后解圖，明確目標三角形，解三角形求出圖中的數量關系.

二、求空間幾何體表面積與體積的基本技巧

（1）表面積和側面積：空間幾何體的面積有表面積和側面積之分，在計算時要注意區分它們. 多面體的表面積是其所有面的面積之和，旋轉體的表面積除了球之外，都是其側面積和底面面積之和.

（2）高：在空間幾何體表面積和體積的計算中都離不開“高”這個幾何量（球除外），因此，計算表面積和體積的關鍵一環就是求出這個量. 在計算這個幾何量時要注意多面體中的“特征圖”和旋轉體中的軸截面.

（3）分割：實際問題中的幾何體往往不是單純的柱、錐、臺、球，而是由柱、錐、臺、球或其一部分組成的組合體，解決這類組合體體積的基本方法就是“分解”，將組合體“分解成若干部分，每部分是柱、錐、臺、球或其中一個部分，分別計算其體積”，然后根據組合體的結構，將整個體積轉化為這些“部分體積”的和或差.

（4）補形：棱錐體常常補形為柱體，臺體經常補形為錐體. 比如，球面四點P，A，B，C構成的線段PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，則4R2=a2+b2+c2，把有關元素“補形”成為一個球內接正方體（或其他圖形），從而顯示出球的數量特征，這種方法是一種常用的好方法.

（5）展開：在求幾何體的面積時，經常要把幾何體展開為平面圖形，注意在何處展開（多面體要選擇一條棱展開，旋轉體要沿一條母線展開）.

（6）翻折：在解決問題時，要綜合考慮折疊前后的圖形（既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形）.翻折的關鍵是搞清翻折前后的變化量和不變量. 一般情況下，線段的長度是不變量，而位置關系往往會發生變化；翻折后還在同一個平面上的性質不發生變化，不在同一個平面上的性質發生變化. 抓住不變量是解決問題的突破口.

（7）切接：與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接. 解題時要認真分析圖形，明確切點或接點的位置，確定有關元素間的數量關系，并作出合適的截面圖. 如球內切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑. 球與旋轉體的組合問題，通常通過作它們的軸截面解題；球與多面體的組合問題，通常通過多面體的一條側棱和球心，或“切點”“接點”作出截面圖解題.

典例精講

■ 如圖1所示的幾何體ABCDEF中，△ABC，△DEF都是等邊三角形，且所在平面平行，四邊形BCED是邊長為2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC，求幾何體ABCDEF的體積.

思索 不規則幾何體的體積求解從割補開始.本題是不規則幾何體，可以看做兩個四棱錐的對接，底面正方形的面積已知，只要求出底面上的高即可. 由平面BCED⊥平面ABC，可知四棱錐的高就是△ABC中BC邊上的高，體積易求.

破解 取BC的中點O，ED的中點G，連結AO，OF，FG，AG.

因為AO⊥BC，且平面BCED⊥平面ABC，所以AO⊥平面BCED；同理可得FG⊥平面BCED.

因為AO=FG=■，所以V■=■×4×■×2=■.

■

圖1 圖2

■ 如圖2（單位：cm），求圖中陰影部分繞AB旋轉一周所形成的幾何體的表面積和體積.

思索 本題是求旋轉體的表面積.先注意以哪條線段所在的直線為旋轉軸，旋轉形成什么樣的旋轉體，此幾何體哪些面“暴露”在外，畫出直觀圖，合理地分割求出面積、體積.

破解 由題意知，所求旋轉體的表面積由三部分組成：圓臺下的底面和側面，以及一半球面. S半球=8π，S圓臺側=35π，S圓臺底=25π. 故所求幾何體的表面積為68π（cm2）. 由V圓臺=■×[π×22+■+π×52]×4=52π，V半球=■π×23×■=■π，所以，旋轉體的體積為V■-V■=52π-■π=■π（cm3）.

■ 一個長方體經過切割后得到的幾何體的三視圖如圖3所示，則該幾何體的體積是（ ）

■

圖3

A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5

思索 三視圖“轉譯”為直觀圖時，對于題設中已經給出原立體圖的類型或容易看出原立體圖的類型的問題，一般可先由俯視圖確定其底面的形狀（通常情況下與其全等），再由主視圖、側視圖及俯視圖確定其他頂點的位置，以此可知本題是長方體上被切去兩個三棱錐剩下的幾何體，其體積不難求解.endprint

破解 由三視圖可知幾何體如圖4所示，是在原長方體中挖去兩個三棱錐A-BCD，A-EFG，所以幾何體的體積為V=V■-V■-V■=3×2×1-2×■×■×1×1×3=5. 選C.

■

圖4

■ 如圖5（1），△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，E，F分別為AC，AB的中點，將△AEF沿EF折起， 使A′在平面BCEF上的射影O恰為EC的中點，得到圖5（2），求三棱錐F-A′BC的體積.

思索 本題以翻折為背景，注意到翻折后平面A′EF與平面A′EC垂直，確定三棱錐F-A′BC的底和高，解三角形求出必要的數據，代入棱錐體積公式求出結果.

■

（1） （2）

圖5

破解 易證EF⊥平面A′EC，又A′C？奐平面A′EC，所以EF⊥A′C. 在直角梯形EFBC中，EC=2，BC=4，所以S△FBC=■BC·EC=4. 又因為A′O垂直平分EC，所以可得A′O=■=■，所以V■=V■=■S△FBC·A′O=■·4·■=■.

■ 在四面體ABCD中，AD與BC互相垂直，AD=2BC=4，且AB+BD=AC+CD=2m，其中m（m>■）為正常數. 若CD=a，則BD=_______；四面體ABCD的體積的最大值是_______.

■

圖6

思索 本題是動態幾何體問題，解題時注意推理證明. 由AB+BD=AC+CD=2m，利用反證法可以推得AB=AC，DB=DC. 過B作BE⊥AD，垂足為E，連結EC，求出EB，EC的最大值（EB=EC），則不難求四面體ABCD的體積的最大值.

破解 過B作BE⊥AD，垂足為E，連結EC. 因為AD⊥BC，所以AD⊥平面BCE. 設EBEC也不可能，所以EB=EC. 同時易得AB=AC且DB=DC，故BD=a. 設EB=EC=x，則易證1

變式練習

1. 在長方體中割去兩個小長方體后的幾何體的三視圖如圖7所示，則切割掉的兩個小長方體的體積之和等于________.

■

■

圖7

2. 如圖8，在半徑為R的半球內有一內接圓柱，則這個圓柱的體積的最大值是（ ）

A. ■πR3

B. ■πR3

C. ■πR3

D. ■πR3

3. 如圖9，正方形ABCD所在平面與圓O所在平面相交于CD，線段CD為圓O的弦，AE垂直于圓O所在平面，垂足E是圓O上異于C，D的點，AE=3，圓O的直徑為9.

（1）求證：平面ABCD⊥平面ADE；

（2）求三棱錐D-ABE的體積.

■

參考答案

1. 54

2. A

3. （1）略.

（2）因為CD⊥平面ADE，DE？奐平面ADE，所以CD⊥DE，所以CE為圓O的直徑，即CE=9. 設正方形ABCD的邊長為a. 在Rt△CDE中，DE2=CE2-CD2=81-a2，在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=a2-9. 由81-a2=a2-9，解得a=3■，所以DE=■=6. 因為CD⊥平面ADE，AB∥CD，所以AB⊥平面ADE，所以VD-ABE=VB-ADE=■S△ADE·AB=■×■×3×6×3■=9■. ■