改進(jìn)預(yù)測函數(shù)控制及其在四旋翼飛行器的應(yīng)用

（遼寧石油化工大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院，撫順 113001）

四旋翼飛行器的關(guān)鍵技術(shù)是姿態(tài)控制，它決定且影響著飛行器的飛行狀態(tài)。但干擾其飛行因素有很多，比如模型參數(shù)、氣流、風(fēng)速、大氣壓、磁場等。隨著國內(nèi)外計算機(jī)技術(shù)與MEMS技術(shù)的不斷發(fā)展，四旋翼飛行器控制方法也取得了相應(yīng)進(jìn)展，研究人員分別提出了 PD 控制[1]、PID 控制[2]、PID 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[3]、反步法[4]、滑模控制[5]等控制方式。這些算法基本上能夠?qū)崿F(xiàn)對飛行器的姿態(tài)控制，但仍有很多缺點。PD控制魯棒性不強(qiáng)，在陣風(fēng)干擾和模型參數(shù)擾動下控制效果不理想；PID控制、反步法以及滑模控制均對模型作了線性化處理，但忽略了模型非線性部分，導(dǎo)致精度不高，控制效果受到影響；PID神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由于需要大量數(shù)據(jù)而不好實現(xiàn)，對于大的干擾很難達(dá)到理想控制效果。并且PID控制器不能進(jìn)行在線整定控制參數(shù)，預(yù)測控制算法在線計算量很大，降低控制實時性。

預(yù)測函數(shù)控制（PFC）在 1986年由 Richalet和Kuntze等人共同提出[6-7]，其適用于跟蹤控制迅速、精度要求高的機(jī)器人。該控制方法主要強(qiáng)調(diào)控制量的結(jié)構(gòu)性，特點是計算量小、魯棒性強(qiáng)、具有較好的跟蹤速度與精度。如今，許多學(xué)者已經(jīng)提出了新型控制算法，它將PID與傳統(tǒng)預(yù)測控制相結(jié)合[8]，而本文將PID與增量型預(yù)測函數(shù)控制相結(jié)合，提出了一種基于增量型預(yù)測函數(shù)自整定PID的控制策略，并應(yīng)用于控制四旋翼飛行器的飛行姿態(tài)。

1 狀態(tài)空間多變量增量式預(yù)測函數(shù)控制算法

1.1 基函數(shù)

預(yù)測函數(shù)控制是第三代模型預(yù)測算法，仍然屬于預(yù)測控制理論領(lǐng)域，因此具備傳統(tǒng)預(yù)測控制方法的特點：預(yù)測模型、滾動優(yōu)化、反饋校正。

與傳統(tǒng)預(yù)測控制不同，控制輸入結(jié)構(gòu)化是控制性能的關(guān)鍵，且預(yù)測函數(shù)引入了基函數(shù)，新的控制策略被表示為幾個已知基函數(shù)的線性組合。基函數(shù)的選取關(guān)鍵在于被控對象和設(shè)定值的特性，通常為階躍、斜坡和指數(shù)函數(shù)。

控制輸入被表示為一系列基函數(shù)的線性組合，具體表達(dá)式為

式中：J為基函數(shù)個數(shù)；μj為基函數(shù)線性組合的系數(shù)；p為預(yù)測優(yōu)化的步長。

四旋翼飛行器預(yù)測模型輸出ym（k）由模型自由響應(yīng)yl和強(qiáng)迫響應(yīng)yf兩部分組成，k+i時刻的模型輸出為

本文考慮四旋翼飛行器的MIMO非線性系統(tǒng)，采用離散狀態(tài)空間表達(dá)式：

式中：ΔXm（k+1）為 k+1 時刻狀態(tài)增量；ΔYm（k）為 k時刻模型輸出增量；Am，Bm，Cm為模型矩陣；ΔU（k）為在k時刻輸入增加的控制量。

根據(jù)式（3）可以推出在k+p時刻的模型狀態(tài)表示為

根據(jù)式（1）、式（3）和式（4）推出在 k+p 步后模型輸出表示為

式中：ΔYm（k+p）為在k+p時刻輸出增量值。

1.3 反饋校正

為了克服系統(tǒng)模型失配，引入誤差值，即當(dāng)前時刻系統(tǒng)的輸出和模型輸出的差值來校正預(yù)測輸出：

式中：ypi（k）和 ymi（k）分別為當(dāng)前時刻系統(tǒng)的輸出和模型的輸出。

為了提高其準(zhǔn)確性，未來k+p時刻誤差的預(yù)測通常選用已知時刻數(shù)值基礎(chǔ)上的多項式擬合法進(jìn)行預(yù)計。誤差預(yù)測公式為

式中：eb（k）為擬合多項式的系數(shù)；g為擬合多項式展開的階數(shù)。

根據(jù)式（6）、式（7）和式（8），校正后的預(yù)測輸出表達(dá)式：

1.4 滾動優(yōu)化

取未來的參考軌跡為

式中：Ci（k+p）為未來時刻的設(shè)定值；Ci（k）為當(dāng)前時刻的設(shè)定值為參考軌跡柔化因子；ypi（k）為k時刻系統(tǒng)的實際輸出。

未來時刻的設(shè)定值通常都被表示為多項式的形式，即：

將式（11）代入式（10）后得到：

通過最優(yōu)點上的參考軌跡和預(yù)測未來過程輸出值的誤差平方進(jìn)行最小優(yōu)化，得其優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式：

式中：Ri=Cm（1-Amp）；Yp=｛ym1…ymi｝。

2 增量式預(yù)測函數(shù)自整定PID

2.1 PID控制算法

傳統(tǒng)PID控制算法在工業(yè)上發(fā)展較早，應(yīng)用廣泛。該算法是由比例積分微分線性組合的控制量。

PID控制算法表達(dá)式為

式中：Kp為比例系數(shù)；Ti為積分時間常數(shù)；Td為微分時間常數(shù)；e（t）為系統(tǒng)偏差量，其值等于輸出值與給定值之差。

設(shè)u（k）是第k次采樣控制輸出值，其離散的PID表達(dá)式：

即PID增量型表達(dá)式為

為了簡化計算方便將式（18）轉(zhuǎn)換為如下形式：

2.2 增量式預(yù)測函數(shù)PID控制算法

將預(yù)測函數(shù)控制與PID算法的優(yōu)點相結(jié)合，使新的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)具有比例、積分、微分的結(jié)構(gòu)特點。

將增量式PID控制算法，即式（19）代入預(yù)測函數(shù)控制的最優(yōu)化表達(dá)式（13）中，我們可以得到新的最優(yōu)控制律表達(dá)式：

由式（20）可推導(dǎo)出：

然而，仔細(xì)觀察式（19），誤差 e（k）如果無限接近零，w（k）將是無限的這是不可能實現(xiàn)的。所以設(shè)定一個微小且有限的輸出誤差值σ，會導(dǎo)出如下的實際控制的公式：

3 四旋翼飛行器結(jié)構(gòu)及非線性數(shù)學(xué)模型

3.1 結(jié)構(gòu)介紹

四旋翼飛行器在空間中共有6個自由度，只要調(diào)節(jié)4個旋翼的轉(zhuǎn)速，即能夠改變其飛行姿態(tài)[13]，其模型如圖1所示。

圖1 四旋翼飛行器模型結(jié)構(gòu)Fig.1 Four rotor aircraft model structure

它的構(gòu)造由主控板和呈十字交織的4個電子調(diào)速器、電機(jī)、旋漿組成，而且布局簡單、靈活性強(qiáng)、負(fù)載能力大，可以實現(xiàn)俯仰、偏航、翻轉(zhuǎn)、垂直起降以及空中懸停等動作。電機(jī)是由電子調(diào)速器控制，主控板主要用于解算當(dāng)前飛行姿態(tài)、控制電調(diào)等功能。四旋翼飛行器其強(qiáng)耦合、非線性、多變量欠驅(qū)動系統(tǒng)的特點，且快速實時控制及不穩(wěn)定性均對控制算法提出了十分高的要求。

3.2 模型建立

依據(jù)文獻(xiàn)[14]將飛行器的運動過程分解為線運動和角運動。根據(jù)牛頓定律和歐拉方程，構(gòu)建線運動與角運動的非線性動力學(xué)模型。考慮實際飛行條件，試飛時飛行器速率較低，可忽略空氣阻力，得到飛行器簡易非線性化模型，如式（23）所示：

式中：Δu（1），Δu（2），Δu（3），Δu（4）分別是總升力，橫滾、俯仰、偏航力矩的增量；Ix，Iy，Iz為對應(yīng)軸的轉(zhuǎn)動慣量；l是飛行器質(zhì)心到電機(jī)之間距離。

利用解耦控制算法將復(fù)雜非線性耦合模型分解為獨立控制通道。在控制飛行器航跡的過程中，角速度控制作為內(nèi)環(huán)，角度控制作為外環(huán)，通過姿態(tài)解算（IMU）計算出歐拉角，并用于姿態(tài)控制反饋，及進(jìn)行姿態(tài)閉環(huán)控制。針對傳統(tǒng)PID控制策略不能達(dá)到滿意姿態(tài)控制的效果，本文在傳統(tǒng)PID姿態(tài)控制方法基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，應(yīng)用前面所論述的增量式預(yù)測函數(shù)自整定PID控制策略（IPFC-PID）。其姿態(tài)控制流程如圖2所示。

圖2 姿態(tài)IPFC-PID控制Fig.2 Posture IPFC-PID control block

3.3 實驗結(jié)果與分析

為了驗證預(yù)測函數(shù)在線實時自整定PID算法的有效性，利用Matlab仿真軟件搭建實驗環(huán)境，仿真時間為10 s；采樣時間Ts=1 s；俯仰角通道Tr=30，P=80；翻轉(zhuǎn)角通道 Tr=50，P=80；偏航角通道 Tr=60，P=80。

圖3 俯仰角的單位階躍響應(yīng)Fig.3 Pitch angle of the unit of step response

圖3所示為運用PID控制和本文算法飛行器的俯仰角仿真效果圖，由圖中可以看出本文所提出的改進(jìn)算法系統(tǒng)反應(yīng)迅速，并且超調(diào)量較小，經(jīng)過調(diào)整后在5s左右處可達(dá)到穩(wěn)定平衡狀態(tài)，加上干擾后也可以迅速達(dá)到穩(wěn)定效果。

圖4所示為運用PID控制和本文算法控制系統(tǒng)的翻轉(zhuǎn)角仿真效果圖，由圖可知本文算法系統(tǒng)反應(yīng)迅速，無超調(diào)，在1 s左右使系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)定控制，加上干擾后迅速達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

圖4 翻轉(zhuǎn)角的單位階躍響應(yīng)Fig.4 Roll angle of the unit of step response

圖5所示為運用PID控制和本文算法控制系統(tǒng)的偏航角仿真效果圖，PID控制超調(diào)量較大而本文提出算法無超調(diào)，并且3 s左右就能夠達(dá)到了穩(wěn)定，加上干擾后迅速達(dá)到穩(wěn)定效果。

圖5 偏航角的單位階躍響應(yīng)Fig.5 Yaw angle of the unit of step response

姿態(tài)控制在單位階躍信號輸入的情況下，各姿態(tài)角的仿真結(jié)果對比表明，本文改進(jìn)算法的階躍曲線超調(diào)量較小，穩(wěn)態(tài)誤差幾乎為零，響應(yīng)速度較快，很快進(jìn)入了穩(wěn)定的狀態(tài)，其控制效果優(yōu)于傳統(tǒng)的PID控制。

3.3 飛行試驗

由于四旋翼飛行器的實際飛行和仿真存在一些區(qū)別，因為將飛行器定點懸停來驗證本文所提出控制策略的可行性。

設(shè)四旋翼飛行器的初始狀態(tài)為x=y=0，z=0.5，Φ=θ=φ=0。控制目標(biāo)從起始位置飛至點處于懸停狀態(tài)。通過NRF24L01無線通訊模塊獲得飛行器的數(shù)據(jù)并連接上位機(jī)，觀察翻轉(zhuǎn)角、俯仰角、偏航角的變化，如圖6～圖8所示。

圖6 定點懸停的翻轉(zhuǎn)角Fig.6 Dot hovering roll attitude angle

圖7 定點懸停的俯仰角Fig.7 Dot hovering pitch attitude angle

圖8 定點懸停的偏航角Fig.8 Dot hovering yaw attitude angle

由圖可以觀察到飛行器在定點懸停時，姿態(tài)角在±1.5°左右范圍內(nèi)波動，其波動非常小且快速準(zhǔn)確地跟蹤給定姿態(tài)角信號，基本實現(xiàn)了本文所提出算法姿態(tài)控制的有效性。

4 結(jié)語

根據(jù)四旋翼飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)，在傳統(tǒng)PID控制算法的基礎(chǔ)上改進(jìn)并提出了一種增量式預(yù)測函數(shù)自整定PID控制。經(jīng)過Matlab仿真與飛行器懸停狀態(tài)的實際應(yīng)用，本文提出算法均能夠有效地完成姿態(tài)控制，因此IPFC-PID控制策略具有良好的控制效果，使飛行姿態(tài)抗干擾能力強(qiáng)，反應(yīng)迅速，并且增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性。

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