淺析Navier—Stokes方程組的無量綱化

摘要：計算流體力學的控制方程通常認為是NS（Navier-Stokes）方程組，包含了能量方程、動量方程、連續(xù)性方程等方程組的總稱，但NS方程組是復雜的方程組，在數(shù)值求解NS方程組之前需要對方程組進行無量綱化處理來簡化計算。文章給出了非定常、二維可壓縮黏性守恒NS方程組，并對NS方程組無量綱化進行了淺析。

關(guān)鍵詞：Navier-Stokes方程組；無量綱化；計算流體力學；能量方程；動量方程；連續(xù)性方程 文獻標識碼：A

中圖分類號：TP391 文章編號：1009-2374（2016）03-0061-02 DOI：10.13535/j.cnki.11-4406/n.2016.03.031

1 非定常、二維可壓縮黏性守恒NS方程組

黏性流動包括很多種現(xiàn)象，比如摩擦、質(zhì)量擴散和熱傳導等運輸現(xiàn)象。這些運輸現(xiàn)象在流動中是耗散的，總是會增加流動的熵。如果流動中存在不同的化學組成成分而產(chǎn)生濃度梯度，將發(fā)生質(zhì)量擴散，比如幾種不發(fā)生反應的氣體混合物，例如高溫流體通過高超聲速飛行物體時會發(fā)生空氣電離。這種流動由于不同的地方溫度以及壓強不同，所以導致不同流動區(qū)域會產(chǎn)生各種不同形式或者不同速率的反應。

為簡單起見，我們這里不討論這類形式流動，即不討論由于流動中產(chǎn)生化學反應使得流動變得復雜，從而使問題變得模糊而復雜的問題，因此流體方程組不包含質(zhì)量擴散方程。首先直接給出非定常、二維可壓縮黏性守恒NS方程組：

式（1）至式（4）這四個方程即為二維、非定常、黏性可壓縮Navier-Stokes方程組，這些方程都是耦合的偏微分方程組。所以要想得到它們的解析是非常困難的，因此我們有必要對這些方程進行無量綱化處理，然后再找出并分析方程中對流動產(chǎn)生影響很小的那些流動項再進行適當取舍。

四個方程有五個未知量ρ、p、u、v、e，因此需要再補充一個方程。為此我們考慮氣體為完全氣體，那么它的狀態(tài)方程為：

參考文獻

[1] 姚朝暉，周強.計算流體力學入門[M].北京：清華大學出版社，2012.

[2] 閆超.計算流體力學方法及應用[M].北京：北京航空航天大學出版社，2006.

[3] U Ghia，K.N Ghia，C.T Shin High-Re solutions for incompressible flow using the Navier-Stokes equations and a multigrid method.

[4] Cebeci T，Cousteix J.Modeling and Computation of Boundary Layer Flows[M].New York：Springer，1999.

[5] Davis R T.Numerical solution of the hypersonic viscous shock-layer equation[J].AIAA J，1970，8（5）.

[6] Rudman S，Rubin S G.Hypersonic viscous flow over slender bodies with sharp leading edges[J].AIAA J，1968，6（10）.

[7] 高智.簡化Navier-Stokes方程組及無黏和黏性邊界層聯(lián)立求解[J].力學學報，1982，14（6）.

[8] 涂國華，袁湘江，查俊，等.二維拋物化穩(wěn)定性方程的特征分析[J].航空學報，2009，（30）.

[9] 高智.簡化Navier-Stokes方程的層次結(jié)構(gòu)及其力學內(nèi)涵和應用[J].中國科學A輯，1988，（6）.

[10] 王汝權(quán)，申義慶.拋物化Navier-Stokes方程數(shù)值解法評述[J].力學進展，2005，（4）.

作者簡介：王敞亮（1987-），男，河北石家莊人，廣東海洋大學寸金學院助教，理學碩士，研究方向：計算流體力學。

（責任編輯：陳 潔）