半參數模型在平面坐標轉換中的應用

趙富燕,孫李城,楊兆臣

(山東科技大學測繪科學與工程學院,山東 青島 266590)

半參數模型在平面坐標轉換中的應用

趙富燕,孫李城,楊兆臣

(山東科技大學測繪科學與工程學院,山東 青島 266590)

摘要：坐標轉換在測繪領域一直起著至關重要的作用,而模型的選取又直接制約著轉換的精度,通常在坐標轉換中采用相似變換(Hermert)的方法,在平面坐標轉換過程中一般采用4參數模型。然而當系統誤差不可忽略時,該模型處理得到的結果并不理想。本文將半參數模型應用到平面坐標轉換中,分別采用4參數模型和半參數模型兩種方法對實驗數據進行了處理,并進行了對比與分析。實驗結果表明：在處理帶有系統誤差的平面坐標數據時,半參數模型比傳統的參數模型更加精確。

關鍵詞：半參數模型;補償最小二乘;正則矩陣R;平滑因子α;平面坐標轉換

doi:10.13442/j.gnss.1008-9268.2015.03.011

中圖分類號：P228.4

文獻標志碼：碼： A

文章編號：號： 1008-9268(2015)03-0046-05

收稿日期：2015-01-06

作者簡介

Abstract:Coordinate transformation has been playing an essential role in surveying and mapping field,and the selection of model restrict the precision of the transformation directly,generally what we use in the coordinate transformation is similarity transformation (Hermert transformation) method, among them the four parameters model is commonly used in the plane coordinate transformation. when the system error cannot be ignored, however,the result the model get is not ideal.This paper applys a new model, namely the semiparametric model to the plane coordinate transformation, both the parameter model and semiparametric model were used in experimental data processing, as well as comparison and analysis. Experiment result show that Semiparametric model is more accurate and effective than traditional parameter model in dealing with data that cntains system error in plain coordinate transformation.

0引言

半參數模型是上世紀八十年代起發展起來的一種重要的統計模型,它既含有參數分量(描述了觀測量中函數關系己知的成分),又含有非參數分量(描述了函數關系未知的模型偏差),可以概括和描述眾多實際問題,因此引起了廣泛的重視,取得了大量的研究成果[1]。

半參數模型的應用范圍較為廣泛,在測繪領域主要應用于測量數據處理中,在高精度坐標變換,GPS水準高程擬合等方面都取得了良好的應用效果[2]。坐標轉換在測繪領域發揮著重要的作用,遙感圖像處理中的幾何校正,GIS中將柵格坐標轉換為地理坐標的過程中,也必不可少的需要用到坐標轉換。將半參數模型引入到坐標轉換中是具有很高的理論價值和實際意義[3]。

本文將半參數模型運用到平面坐標轉換中,選取了一組有兩套坐標數據的公共點,分別采用參數模型和半參數模型進行建模,求解轉換參數并進行了精度評定,利用matlab2010a進行數據處理,最后對結果進行了對比與分析。

1半參數模型

統計學上半參數模型被表達為

Y=f(X)+g(X)+Δ,

(1)

式中: Y為觀測值; f(X)為參數部分;即觀測值與未知參數的函數關系已知的部分; g(X)為非參數部分,即觀測值與未知參數的函數關系未知的部分;Δ表示偶然誤差[4]。

半參數模型用測量語言描述為

L=BX+S+Δ，

(2)

式中: L為n維觀測向量; B維列滿秩矩陣; X為t維參數向量;t為必要觀測數; S為描述系統誤差的n維向量;Δ為n維觀測誤差向量。

平差準則采用補償最小二乘準則為

(3)

式中: S為描述系統誤差的n維向量; R為正則矩陣,用來估計參數S的某種函數類型;α為平滑因子,在極小化過程中對V和S起平衡作用[5-6]。

按照求條件極值的拉格朗日乘數法構造函數

(4)

式中,K為拉格朗日常數。

對方程求偏導數,令

(5)

經過計算,得出如下結果:

非參數估計:

聯系人： 趙富燕 E-mail: 946766167@qq.com

PBN-1BTP-αR)L.

(6)

參數估計:

(7)

2平面坐標轉換

2.1　平面坐標轉換的參數模型

平面坐標轉換采用的參數模型為

(8)

式中:θ為坐標系之間的旋轉角;λ為尺度因子; (x1,y1)為某點在原坐標系下的坐標; (x2,y2)為經過坐標轉換后該點在另一套坐標系下的坐標;Δx, Δy為坐標平移參數;σx,σy分別表示點位坐標X軸,Y軸方向的偶然誤差[7-8].

觀測方程的線性形式為

vx=1×a+0×b+c×x1-d×y1-x2,

vy=0×a+1×b+c×y1+d×x1-y2,

(9)

式中,

a=Δx,b=Δy,c=λ×cos(θ),

d=λ×sin(θ).

(10)

整理后,平面坐標轉換的參數平差模型為

(11)

2.2　平面坐標轉換的半參數模型

平面坐標轉換的半參數模型為

(12)

式中:Sx,Sy分別表示點位坐標X軸;Y軸方向的系統誤差。

觀測方程的線性模型為

vx=1×a+0×b+c×x1-d×y1-x2+sx,

vy= 0×a+1×b+c×y1+d×x1-

y2+sy.

(13)

整理后,平面坐標轉換的半參數平差模型為

(14)

3算例分析

在x∈(-20,20),y∈(-20,20)的網格點上,實驗選取25個均勻分布點,理想認為當前坐標系無誤差,為了得到這些點對應的另外一套帶有誤差的坐標系下的坐標,對它們進行旋轉,平移,添加噪聲處理。

(15)

為了盡可能接近實際情況,加入的系統誤差中包括線性誤差項,指數誤差項,還有周期誤差項。

(16)

式中,

t(m)= 2×π×(m-1)/3;

m=1,…,n

(17)

得到的這些點在兩套坐標系下的坐標和點位分布圖分別如表1和圖1所示。

表1　坐標系1和坐標系2下的點位坐標

圖1　兩套坐標系下的點位分布

分別采用參數平差模型和半參數平差模型建模,求解轉換參數,并進行精度評定,得到的結果如圖2，圖3，圖4所示。

圖2　采用參數模型得到的殘差

圖3　采用半參數模型的系統誤差

圖4　采用半參數模型的殘差

從圖2中可以看出:采用參數模型處理的殘差估值與模擬的殘差真值相差較大,利用參數模型求得的殘差帶有明顯的周期性,線性特征。產生這樣的結果是因為傳統的參數模型將系統誤差歸入隨機誤差進行了處理,導致偶然誤差帶有了這些系統誤差的特征。

從圖3和圖4可以看出:采用半參數平差模型處理得到的系統誤差估值和模擬的系統誤差之間相差較小,殘差估值和模擬的殘差在圖像中也有較好的符合。

表2　用兩種模型處理得到的單位權中誤差δ0

表3　采用兩種模型處理得到的轉換參數與模擬值比較

從表2中可以看出:采用半參數模型解算出的轉換參數的單位權中誤差優于采用參數模型解算出的單位權中誤差。說明采用半參數模型解算出來的結果精度更高。

從表3中可以看出:采用半參數模型解算出的四個轉換參數和采用參數模型解算出的四個轉換參數相比更接近于模擬的真值。

4結束語

本文將半參數模型應用到平面坐標轉換中,分別采用參數模型和半參數模型兩種方法對實驗數據進行了處理,并進行了對比與分析。實驗結果證明,在平面坐標轉換中,當坐標系統存在較大系統誤差或者系統誤差與偶然誤差相比不可忽略時,采用半參數模型比采用參數模型處理得到的結果更優越。同時本實驗仍然有一些不足,如果在平面坐標轉換中能找到一種普適的R矩陣的構造方法,將使得該模型具有更高的運用價值,取得精度更高的結果,這些都需要在以后的探索,研究中不斷地完善。

參考文獻

[1] 丁士俊.測量數據的建模與半參數估計[D].武漢:武漢大學,2005.

[2] 楊元喜,張麗萍. 中國大地測量數據處理60年重要進展第二部分:大地測量參數估計理論與方法的主要進展[J]. 地理空間信息, 2010,8(1):1-6.

[3] 孫海燕,吳 云.半參數回歸與模型精化[J].武漢大學學報·信息科學版, 2002,27(2):172-174.

[4] 王振杰,歐吉坤,曲國慶,等. 用L曲線法確定半參數模型中的平滑因子[J].武漢大學學報·信息科學版,2004,29(7):651-653.

[5] HANSEN P C. Analysis of discrete ill-posed problems by means of the L-curve [J].SIAM Review,1992,34(4):561-580.

[6] HANSEN P C, O’LEARY D P. The use of the L-curve in the regularization of discrete ill-posed problems[J].SIAM Joumal on Scientific Computing,1993,14(6):1487-1503.

[7] 孔祥元,郭際明,劉宗泉. 大地測量學基礎[M].2版.武漢:武漢大學出版社，2005.

[8] 陶本藻,邱衛寧. 誤差理論與測量平差[M].武漢:武漢大學出版社,2012.

趙富燕(1990-),女,山東濟南人,碩士生,主要從事現代測量數據處理理論及其應用研究。

孫李城(1991-),男,湖北荊州人,碩士生,主要從事測量數據處理,“3S”技術集成與應用研究。

楊兆臣(1988-),男,山東臨沂人,碩士生,主要從事GPS,RS,InSAR技術的應用及數據處理研究。

The Application of Semiparametric Model in the

Plane Coordinate Transformation

ZHAO Fuyan,SUN Licheng,YANG Zhaochen

(CollegeofGeomatics,ShandongUniversityofScienceand

Technology,Qingdao266590,China)

Key words: Semiparamertic model; penaliezd least squares; regularization matrix R; the smoothing factor α; plane coordinate transformation