愛情動力學的微分方程建模

呂貴臣　宋江敏

摘要：本文利用數學建模思想考慮了大學生普遍關注的愛情問題，通過對大學生的愛情引入回應、遺忘、直覺以及家庭和學習壓力的干預等因素，建立微分方程模型。通過例子，我們發現家庭和學習壓力的干預雖然會對大學生的愛情產生較大影響，但是只要二人能夠風雨同濟，還是有可能做到學習、愛情兩不誤，最終走到一起。

關鍵詞：微分方程；數學建模；穩定性

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）03-0171-02

一、引言

愛情，作為一種復雜的心理活動，在現實生活中，一直被人們所關注。我們無法洞悉愛情的本質是什么，但是我們可以從數學的角度，去分析它、解讀它。1988年，Strogatz在文獻[5]中首先給出了羅密歐和朱麗葉之間愛情的數學模型。在Strogatz的基礎上，Spott[3]給出了更具一般性的微分方程模型，并進一步考察了三角戀的問題。Rinaldi[4]將一個完整的戀愛過程分為回應、遺忘和直覺三個因素，并給出了更具一般性的微分方程模型。在Rinaldi的基礎上，Son和Park.[1]，Bielezyk等[2]進一步考慮了時間滯后的影響。顧仁財、許勇和狄根虎在文獻[6]中，對三角戀的愛情模型引入了隨機因素，并揭示了混沌現象。

本文我們將在Rinaldi[4]的基礎上，對大學生的戀愛問題，做了進一步的研究，主要揭示家庭、學習等因素對大學生男女的感情影響。

二、模型建立

隨著社會的進步和社會文明程度的提高，大學生在讀書期間談戀愛也變成十分普遍的現象，牽手徜徉在美麗的校園中，也逐步成為了校園文化的一道亮麗的風景。大學生該不該談戀愛，會不會有結果，是否會影響學習等問題一直被人們所關注。假設大學生的愛情也會受到遺忘（oblivion）、回應（return）和直覺（instinct）三個因素的影響。記i=1，2分別表示戀愛過程的男女雙方。x （t）表示t時刻i的愛（>0）與恨（<0），O （t）表示t時刻i的遺忘函數，R （t）表示t時刻i對j（i≠j）的回應函數，A 表示t時刻i的直覺函數。由[4]知，i的戀愛方程為：

=O （t）+R （t）+A （1）

其中，O （t）函數只與i對j（i≠j）的愛有關，我們假設愛情若不加補充，總是隨著時間的長久而消耗，這就所謂的愛情守恒定律。為此，令O （t）=-αixi（t），這里α 為遺忘系數。R （t）表示t時刻i對j（i≠j）的愛情的一個回應，它是一個依賴于x （t）的函數，即R =

R （x （t））。粗略地講，這一項可以解釋為一個人“love to be loved”和“hates to be hated”（愛憎分明）。為了討論起來的簡單，文獻Rinaldi[4]假設R （t）為一個無限增長線性函數，R （x ）=β x （t），（β >0）。但在實際中，R （t）不可能是一個無限增長的函數，設想一下，i對j（i≠j）的愛情的一個正效應（“love to be loved”），但是若j（i≠j）付出的愛情太多，i相應地會感受到窒息（被愛的透不過氣）。相應地，若i對j（i≠j）的愛情的一個負效應（“hates to be hated”），這個恨也不可能無限增加。因此，R （t）應當滿足當x （t）>0時，R （t）達到正最大值，當x （t）<0時，R （t）達到負最小值，基于此，我們令R （x ）=β ，若不考慮大學生的學習以及家庭等因素的影響，我們有

=-α x +β +A ，

=-α x +β +A .？搖 （2）

在大學生的學習階段，不可避免地會受到一些來自諸如家庭、學習壓力等因素的干預。此時勢必會對大學生的愛情產生影響，記U （t）為t時刻i對j（i≠j）的愛情的干預函數。因為干預一般都是對的愛情的一個負效應，并且對i對j（i≠j）的感情都產生影響，因此，我們假設U （t）=-εixixj，ε >0.此時，我們有對應的干預函數的微分方程模型：

=-α x +β +A -ε x x ，

=-α x +β +A -ε x x .？搖？搖？搖 （3）

三、例子與結論

為了進一步說明大學生的感情的變化和家庭干預的影響，我們對模型（2）和（3）的解進行穩定性分析。

例：考慮模型

=-2x +2 +1-ε x x ，

=-x + +1-ε x x .？搖 （4）

若ε =ε =0，此時模型（4）為非干預愛情模型，根據文獻[7]的多項式的實根分離算法，運行Mrealroot指令，可以得到，系統存在正平衡點（x ，x ）且其變化范圍為（[7877/8192，3939/4096]，[12283/8192，12287/8192]）。并進一步，可判定模型（4）正平衡點處雅可比矩陣的特征根λ ，λ 滿足λ +λ =-3<0，λ λ >0.由穩定性理論知，正平衡解穩定，即說明男女雙方的愛情在一定初值范圍內，可以持久下去，最終走在一起。

若ε =5，ε =200，此時模型（6）干預的愛情模型，由[7]可知，正平衡點（ ， ）的變化范圍為（[1017/2048，8137/16384]，[7307/524288，

7309/524288]）。并進一步，可判定模型（4）正平衡點處雅可比矩陣的特征根λ ，λ 滿足λ +λ <0，λ λ >0.由穩定性理論知，正平衡解穩定.由此可知，正平衡點是局部穩定的。與非干預模型比較可知，在相同的控制參數下，引入家庭和學習壓力等因素的干預，將會對大學生男女的感情產生較大的負影響（正平衡點的值變小），但是如果二人同心協力，二人最終還是有希望可以走在一起。

參考文獻：

[1]Woo-Sik Son，Young-Jai Park. Time Delay Effect on the Love Dynamical Model，Journal of the Korean Physical Society，59（2011），2197-2204.

[2]Natalia Bielczyk，Marek Bodnar，Urszula Forys. Delay can stabilize：Love affairs dynamics. Applied Mathematics and Computation，219（2012）3923–3937.

[3]Sprott J C. Dynamical models of love[J]. Nonlinear dynamics，psychology，and life sciences，2004，8（3）：303-314.

[4]Rinaldi S. Love dynamics：the case of linear couples[J]. Applied Mathematics and Computation，1998，95（2）：181-192.

[5]Strogatz S H. Love affairs and differential equations[J]. Mathematics Magazine，1988，61（1）：35.

[6]顧仁才，許勇，狄根虎.非線性三角戀模型及其在高斯白噪聲激勵下的基本動力學特征[J].動力學與控制學報，2010，8（2）：142-145.

[7]陸征一，何碧，羅勇.多項式系統的實根分離算法及其應用[M].北京：科學出版社，2004.