如何進(jìn)行矩陣論的教與學(xué)

劉文軍

摘要：矩陣論課程的學(xué)習(xí)，對(duì)培養(yǎng)研究生的運(yùn)算能力、邏輯推理能力、抽象思維能力及創(chuàng)新能力等非常重要。筆者根據(jù)多年的矩陣論課程的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)教師如何教好矩陣論，學(xué)生如何學(xué)好矩陣論提出了一些建議與思考，這些建議對(duì)矩陣論的教學(xué)與學(xué)習(xí)有較好的指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞：矩陣論；思維能力；創(chuàng)新能力

中圖分類號(hào)：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）03-0138-02

矩陣論是高等學(xué)校理、工科研究生的一門重要的公共基礎(chǔ)課程。作為一門基礎(chǔ)工具，矩陣論在現(xiàn)代科技領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。諸如概率統(tǒng)計(jì)、微分方程、力學(xué)、電子學(xué)、數(shù)值分析、優(yōu)化理論、控制論、網(wǎng)絡(luò)等學(xué)科領(lǐng)域都與矩陣論有著密切的聯(lián)系。甚至在經(jīng)濟(jì)管理、保險(xiǎn)、金融、社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域，矩陣?yán)碚撘灿兄种匾膽?yīng)用。

矩陣論是線性代數(shù)課程的拓廣及延伸，它將線性代數(shù)中實(shí)數(shù)域上的理論推廣到復(fù)數(shù)域上，給出了矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)型、Jordan標(biāo)準(zhǔn)型、Hermite二次型的有關(guān)理論，并進(jìn)一步介紹線性空間、歐氏空間與酉空間以及在此空間上的線性映射，深刻地揭示了有限維空間上的線性變換的本質(zhì)與思想，并通過引入向量范數(shù)和矩陣范數(shù)在有限維空間上構(gòu)建了矩陣分析理論。由于矩陣論中很多知識(shí)是線性代數(shù)的推廣，所以要學(xué)好矩陣論，必須要學(xué)好它的基礎(chǔ)課程線性代數(shù)。由于線性代數(shù)一般是大一或者大二開設(shè)，而線性代數(shù)中概念比較抽象，學(xué)生掌握的不是很牢固，雖然有考研前的突擊，但學(xué)生對(duì)于線性代數(shù)的知識(shí)大都是單純的記憶，而沒有真正掌握它的實(shí)質(zhì)，所以學(xué)習(xí)更深層次的矩陣論課程，就更困難了。如何讓學(xué)生在較短時(shí)間內(nèi)較好地掌握與理解矩陣論課程的教學(xué)內(nèi)容，更好地掌握矩陣論中的思維方式呢？如何調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，以提高學(xué)生的抽象思維能力呢？如何在已有興趣的基礎(chǔ)上，提高學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力呢？這些問題是我們矩陣論教學(xué)工作者要解決的重要問題。現(xiàn)在的矩陣論的課堂教學(xué)有三個(gè)顯著的特點(diǎn)：（1）學(xué)生基礎(chǔ)差異大。矩陣論是全校理、工科學(xué)生的基礎(chǔ)課，選修的學(xué)生很多，而開設(shè)的班級(jí)有限，所以一般是幾個(gè)專業(yè)的學(xué)生合在一個(gè)班上課，而不同的專業(yè)，他們?cè)诖髮W(xué)數(shù)學(xué)類課程要求不同，從而導(dǎo)致他們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有很大的差異。（2）每周學(xué)習(xí)內(nèi)容多。大學(xué)課堂里的每一堂課一般都是90分鐘，兩節(jié)課連上，矩陣論也不例外，并且一般是一周6節(jié)，這樣在一周內(nèi)學(xué)的內(nèi)容比較多，學(xué)生學(xué)習(xí)壓力大。（3）課時(shí)少，教學(xué)進(jìn)度快。由于矩陣論的內(nèi)容較抽象，但學(xué)時(shí)又非常有限，因此每堂課不僅教學(xué)的內(nèi)容較多，且內(nèi)容是全新的，教師講課主要是講重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)，講概念、講思路，舉例較少。面對(duì)諸多特點(diǎn)，高校的矩陣論任課教師一直在探索一種適合于研究生學(xué)習(xí)的教學(xué)方式與手段。筆者以多年的矩陣論教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，對(duì)教師如何教好矩陣論、學(xué)生如何學(xué)好矩陣論得出自己的一點(diǎn)心得，現(xiàn)總結(jié)如下。

一、教師教學(xué)手段與教學(xué)方式的改革

研究生的教學(xué)與本科生的教學(xué)有一定的差異性，其以自主學(xué)習(xí)為主，但由于公共基礎(chǔ)課的矩陣論教學(xué)，我們基本上還是延用大學(xué)線性代數(shù)那種以傳統(tǒng)的教學(xué)方式為主的教學(xué)方式，即：以教師為中心、以講臺(tái)為中心。教與學(xué)的關(guān)系不是教師與學(xué)生的平等關(guān)系，而是指導(dǎo)與被指導(dǎo)、命令與服從的關(guān)系，這種關(guān)系阻止了學(xué)生許多方面的發(fā)展。現(xiàn)在的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。教師應(yīng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使學(xué)生的被動(dòng)學(xué)習(xí)模式變?yōu)橹鲃?dòng)學(xué)習(xí)模式，并幫助學(xué)生在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的知識(shí)與技能，獲得廣泛的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)。教師應(yīng)充分激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性。為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，教師必須要探索新的教學(xué)方法，針對(duì)每個(gè)學(xué)生的不同情況，針對(duì)所教知識(shí)的體系對(duì)教學(xué)方法進(jìn)行一定的創(chuàng)新。在教學(xué)的過程中，做到定向引導(dǎo)教學(xué)、啟發(fā)式教學(xué)、情感教學(xué)及對(duì)比教學(xué)相結(jié)合，通過這些教學(xué)方式，加深學(xué)生對(duì)一些抽象概念的理解，從而使其更好地掌握這些知識(shí)，進(jìn)而也會(huì)提高教學(xué)效果。

二、培養(yǎng)學(xué)生積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)態(tài)度及良好的學(xué)習(xí)方法

矩陣論的知識(shí)，將線性代數(shù)中的實(shí)數(shù)域推廣到了復(fù)數(shù)域，由于許多學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)域上的知識(shí)掌握不夠，學(xué)生一下子很難接受與理解。如果學(xué)生僅僅利用課堂的時(shí)間學(xué)習(xí)該門課程，而不利用課余時(shí)間主動(dòng)地去學(xué)習(xí)的話，要學(xué)好這門課程是非常困難的。那么，如何培養(yǎng)學(xué)生積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)態(tài)度呢？我們?cè)谏险n的過程中，以多提問方式教學(xué)，讓學(xué)生多思考問題。另外，在每堂課的結(jié)束之前，給學(xué)生準(zhǔn)備幾個(gè)思考題，讓學(xué)生帶著問題去思考，去學(xué)習(xí)，這樣讓學(xué)生慢慢養(yǎng)成主動(dòng)學(xué)習(xí)的習(xí)慣。學(xué)生在學(xué)習(xí)中保持積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)態(tài)度固然是非常重要的，但僅有積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)態(tài)度，沒有好的學(xué)習(xí)方法也很難掌握好該門課的實(shí)質(zhì)。那么，何為好的學(xué)習(xí)方法呢？本人認(rèn)為，好的學(xué)習(xí)方法，在學(xué)習(xí)中應(yīng)該能做到下列幾點(diǎn)。

（一）牢固掌握該課程的基本概念、基本性質(zhì)

基本概念、基本性質(zhì)一直是數(shù)學(xué)的重點(diǎn)。在矩陣論中，涉及的概念與性質(zhì)也非常多，如特征值與特征向量、兩矩陣相似、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形、酉相似、范數(shù)、廣義逆矩陣、矩陣的直積、線性空間與線性變換等基本概念及它們的基本性質(zhì)一定要很好地理解及掌握。若掌握不夠牢固，理解不夠透徹，在答題中對(duì)基本性質(zhì)的應(yīng)用就不知如何下手。因此，在學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)中一定要重視基本概念、基本性質(zhì)和基本方法的理解與掌握，多做一些基本題來鞏固基本知識(shí)。

（二）牢記基本公式、理解基本定理、熟記基本思路

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，很多知識(shí)都是要去理解才能很好地掌握，但一些重要的公式，如一些常用向量范數(shù)、方陣范數(shù)、方陣的譜半徑、方陣的條件數(shù)等計(jì)算公式，一定要牢牢記住，一點(diǎn)也不能含糊。一些基本定理，如Hamilton-Cayley定理、Schur定理、Gerschgorin定理等一定要很好地理解，并能實(shí)際應(yīng)用。一些常見的解題思路，如向量特征值與特征向量的求法、方陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的求解、正規(guī)矩陣酉對(duì)角化方法、矩陣的各種分解方法等一定要熟記，一點(diǎn)也不能馬虎。

（三）多做練習(xí)，鞏固知識(shí)

研究生教學(xué)與本科生教學(xué)的一個(gè)重大區(qū)別是減少了布置作業(yè)的環(huán)節(jié)，但對(duì)于數(shù)學(xué)類課程的學(xué)習(xí)，不管是哪個(gè)層次，練習(xí)都是必須的步驟。矩陣論的學(xué)習(xí)也不例外，雖然沒有作業(yè)環(huán)節(jié)，但學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中一定多做練習(xí)，通過反復(fù)練習(xí)，鞏固與掌握知識(shí)。特征值與特征向量的求法；矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的求法；正規(guī)矩陣酉對(duì)角化方法；矩陣分解等知識(shí)。對(duì)于這些知識(shí)來說，它們的解題思路比較簡(jiǎn)單，但是只有通過反復(fù)練習(xí)，才能很好地掌握。在練習(xí)過程中，大家一定要養(yǎng)成認(rèn)真細(xì)心的好習(xí)慣。

三、充分利用學(xué)生所學(xué)知識(shí)，采用類比教學(xué)法

由于矩陣論中涉及的定義比較多，在教學(xué)中，要注意采用類比的教學(xué)方法，例如，在講解矩陣相似的概念及性質(zhì)時(shí)，應(yīng)將它與矩陣的等價(jià)進(jìn)行比較，得出它們的區(qū)別與聯(lián)系；在講解向量或矩陣序列時(shí)，要將它們與已學(xué)的數(shù)列相比較得出它們之間的聯(lián)系；在講解矩陣的微分與積分時(shí)，要將它們與函數(shù)的微分與積分進(jìn)行比較；在講解數(shù)量函數(shù)或矩陣值函數(shù)對(duì)矩陣變量的求導(dǎo)時(shí)，要將它們與函數(shù)的求導(dǎo)進(jìn)行比較等。通過比較，使學(xué)生在已有的基礎(chǔ)上更好地理解與掌握矩陣論中所要學(xué)的知識(shí)。

四、深入淺出地引導(dǎo)式教學(xué)

對(duì)于本科階段來說，在大一或大二學(xué)習(xí)“線性代數(shù)”時(shí)，矩陣的運(yùn)算雖然運(yùn)算量大，但只要細(xì)心計(jì)算，問題還是不大，但學(xué)習(xí)到后面的向量組的線性相關(guān)性、矩陣相似、對(duì)角化、二次型、正定矩陣等知識(shí)時(shí)，很多學(xué)生就難以理解，以至于跟不上教學(xué)進(jìn)度，慢慢地落隊(duì)了。現(xiàn)在又將這些難理解的知識(shí)推廣到復(fù)數(shù)域上，如Jordna標(biāo)準(zhǔn)形、酉相似、酉對(duì)角化、Hermite正定矩陣等知識(shí)就更是讓學(xué)生望而生畏了。所以我們?cè)诮虒W(xué)過程中，要充分認(rèn)識(shí)到這些難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)知識(shí)入手，通過感性認(rèn)識(shí)慢慢擴(kuò)展到理性認(rèn)識(shí)，深入淺出將各知識(shí)點(diǎn)展示給學(xué)生，這樣會(huì)起到事半功倍的效果。

五、充分利用現(xiàn)代化數(shù)學(xué)軟件

矩陣論中許多內(nèi)容是有關(guān)矩陣方面的知識(shí)，而Matlab軟件具有強(qiáng)大的矩陣處理及繪圖功能。在教學(xué)中，將Matlab軟件與矩陣論課程教學(xué)相結(jié)合，給出矩陣?yán)碚撝械牡湫陀?jì)算通過MATLAB實(shí)現(xiàn)的實(shí)例，通過這樣，為學(xué)生更好地學(xué)好用好矩陣?yán)碚撘龑?dǎo)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的方向。作為高等院校來說，理、工科研究生普遍開設(shè)的一門必修的重要基礎(chǔ)理論課矩陣論，一方面由于其概念多、內(nèi)容抽象以及邏輯推理嚴(yán)謹(jǐn)?shù)忍攸c(diǎn)，在培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理及抽象思維方面起到了重要作用；另一方面由于工科學(xué)生在邏輯推理及抽象思維方面的能力有待提高，而這個(gè)提高的過程需要一段時(shí)間的積累，從而導(dǎo)致許多工科學(xué)生在學(xué)習(xí)矩陣論課程時(shí)感到吃力。在教學(xué)過程中，如何帶領(lǐng)學(xué)生盡快跨越這一思維障礙，如何充分挖掘?qū)W生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維潛能，使培養(yǎng)的創(chuàng)新性人才更好地適應(yīng)社會(huì)發(fā)展的需要，是高等師范院校每一位矩陣論任課教師需要認(rèn)真思考的問題。

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