整體建構：促進學生“數學素養”的完整生長

宋阿斌 （江蘇省蘇州市吳江區七都小學）

完整性生長是一種個體身心協調、和諧、可持續性的發展樣態。鄭毓信教授說，“數學知識教學不應求全，而應當求聯；數學基本技能教學不應求全，而應當求變”。“變”能突出數學知識的本質屬性，“聯”能凸顯數學知識的內外關系。然而，觀照現實數學教學，我們發現，由于缺乏教學溝通、聯結、銜接等，學生的數學學習仍然呈現出一種單子性、碎片化、游離性狀態。整體建構，是時代的呼喚，是本真的數學教學的吁求。

一、碎片化：學生數學學習異化表現

學生的數學學習異化主要表現在“知識碎片化”“思維碎片化”“活動碎片化”“問題碎片化”等諸方面。碎片化學習，帶來的一個直接后果就是學生數學學習的膚淺化、被動化，想象力的固化、創造力的弱化等。碎片化學習，讓學生很難建構起對數學知識的整體性、結構性、系統性的認知。這種學習狀態也就是我們日常所說的“見木不見林”。

（一）知識碎片化

知識碎片化也就是學生數學學習結果的碎片化。知識是學生活動建構、創造的結果，知識的碎片化具體表現在：學生對數學知識的掌握通常都是以“某一個”知識點的掌握為標識的。以“知識點”的掌握為目標，就很難讓學生建構起完整的知識結構。如，今天教學“分數乘法應用題”，學生在解決問題的過程中往往就會“主動地”應用乘法；明天教學“分數除法應用題”，學生在解決問題的過程中往往就會“主動地”應用除法。這種碎片化的學習樣態，會導致學生數學學習模式化，會導致學生的數學學習走向“形式主義”。而走向整體建構的數學教學，就應該打通“分數乘法應用題”和“分數除法應用題”的知識關節，著力從知識整體、思路分析、策略分析等視角展開。如此，學生在遇到分數應用題時，就會積極主動地尋找單位“1”的量，主動地探尋數量之間的相等關系。如此，借助于這一知識就能有效地提升學生的數學學習力。

（二）過程碎片化

過程碎片化是學生碎片化學習的又一狀態。具體表現為：教師問題設計碎片化、任務設置碎片化等，從而導致學生學習往往缺乏對核心知識本質性、關聯性的理解。碎片化、單子化的學習，往往是學生按照既定的學習流程走，學生的思維、想象被模型性的過程所牽制、鉗制、宰制，學生的思維、想象等被捆綁、綁架而不能自由發散。如一位教師教學“3 的倍數的特征”，設計研發了以下流程：[問題1]這些數哪些是3 的倍數？[問題2]將這些3 的倍數的數的各個數位上數字的和相加，是否是3 的倍數？[問題3]一個數各個數位上數字的和是3 的倍數，這個數就是3 的倍數嗎？通過這樣的幾個問題、任務，學生的思維、認知被“牢牢框住”，教師照本宣科、自說自話，學生則洗耳恭聽、被動接受。

（三）認知碎片化

學生的思維、認知碎片化是碎片化教學給學生帶來的最大傷害。在碎片化的教學中，教師往往會從傳統的“滿堂灌”走向“滿堂問”。常見的就是教師和學生的“一問一答”“你問我答”“問來答往”的乒乓式的一種固化步驟、流程等。在這個過程中，教師在無意中完成了對學生的思維綁架、認知綁架。如有教師在課堂教學中喜歡問學生“是不是”“對不對”，而學生總是用盡全身力氣回答“是”“對”，有時甚至鬧出了群體性的“不是喊是”“不對喊對”的學習錯誤囧狀。如，一位教師教學“長方體的認識”這一部分內容時，為了考查學生的認知現實，教師與學生這樣對話：長方體相對的面——“完全相同”，相對的棱的長度——“相等”……在這種亦步亦趨的對話中，沒有高質量的思維啟迪，學生的認知淺嘗輒止。

在碎片化的數學學習中，學生往往是“想教師之所想”，甚至能洞察教師的一些“套路”，從而造成了數學應當的“虛假正確”，造成了課堂教學的“虛假繁榮”。師生的問答是教師把控下的問答，而并不是本真意義上的對話，許多學生在其中“濫竽充數”“蒙混過關”甚至“指鹿為馬”。

二、整體性：學生數學學習本真回歸

整體性學習是學生數學學習的應然狀態。它能夠讓學生的數學學習從散點走向結構、從割裂走向關聯、從封閉走向開放。在建構主義看來，學生學習效能高低取決于學生認知結構的良好、完善與否。華東師范大學教授葉瀾說，“整體性學習要注意兩個方面的內容：其一是知識體系、結構、系統的關聯、完善；其二是學生生命活動的關聯、協調”。引導學生展開整體性學習，應當從數學學科本身以及學生的生命實踐活動著眼、著手。

（一）知識整體：從“散點”走向“系統”

整體性的數學學習首先應當關照知識整體的建構。整體性知識建構，關鍵是要讓學生建立數學知識的“大觀念”。很多數學知識，表面上看起來是分散的、瑣碎的，但其之間卻存在著千絲萬縷的關聯。作為教師，要洞察、把握數學知識之間的關聯，并從中提煉、篩選、歸納、建構出“大觀念”。有了“大觀念”，散點形態的知識就能串接成線、連線成片、連片成體，學生的數學學習就有了主心骨，就不會零散化、碎片化；有了“大觀念”，教師的教學就會走向“形散神聚”的境界。如，跨學段教學“認識厘米”“角的度量”“長方形的面積”“長方體的體積”等相關內容，如果教師從整體上滲透、融入這樣的觀念，即“測量就是看測量對象中包含有多少個測量單位”，那么學生看似不同形態的數學學習就會呈現出一種非人為、實質性、有意義的關聯，學生就能通過建構完整性的知識學習過程而形成自我完整的認知結構。

（二）過程整體：從“割裂”走向“關聯”

美國著名教育學家布魯納認為，“學習任何一門學科，歸根結底就是學習該門學科的基本結構”。整體性的數學學習，不僅僅是指學習整體性的知識，更是指學生的學習過程本身要有一種整體性、層次性、結構性、系統性。作為教師，不僅要引導學生進行“聚類分析”，更要引導學生進行“歸類分析”。只有通過歸類分析，學生的數學學習才能從“割裂”走向“關聯”。通過整體性的學習，諸多的“一”能集結成“多”，能從“多”提升為“類”。結構或類結構是學生整體性學習的基本樣態。如，“正反比例”這一部分內容，教材中是分開編排并要求分開教學的。但基于正反比例這一部分內容的內在關聯的考量，筆者在教學中采用整體建構的教學方式，先引導學生認識“相關聯的量”，再引導學生認識“兩種相關聯的量的變化特征”，最后引導學生“認識成正比例的量和成反比例的量”。在這個過程中，學生的思維、認知不會固化、不會模式化，而是會進行有效的比較、歸納、總結，學生會展開靈動的、靈活的應用。事實證明，實施“正反比例”的整體性教學，能讓學生的數學認知從“割裂”走向“關聯”。

（三）認知整體：從“封閉”走向“開放”

建構整體性的認知結構是整體性教學的根本目的、目標。認知結構的整體性，表征著學生的數學認知能從“封閉”走向“開放”。美國當代著名數學教育家阿爾貝特認為，“當直覺和未經分析的經驗表明在許多不同背景下存在著的共同的結構特征時，數學就有了任務，這就是用精確的、客觀的形式體系去闡明結構的特征”。這一論斷表明，數學學科不是“無可懷疑的真理集合”，而是一種“可誤的、動態的、生成著的知識結構”。讓學生的數學認知結構永遠保持一種開放性、結構性，就能讓學生的數學學習煥發出生命的活力。如，在復習“數與代數”這一部分內容時，我們設計研發了這樣的問題，催生學生建構“數”的整體性認知：兩個數相減，如果得不到正數，就會得到什么數？兩個數相除，如果得不到整數，就會得到什么數？通過這樣的問題，引導學生認識“正數和負數”“整數和小數”的相輔相成、相互依存的辯證關系。

整體性是學生數學學習的本真回歸。基于數學課程的視角、視野，教師要引導學生瞻前顧后，把握數學知識的來龍去脈、前世今生，引導學生左顧右盼，把握數學知識的前后左右關聯。只有這樣，學生的數學學習才能煥發出一種生命的活力，才能永遠保持著一種思考、探究的張力。

三、整體化：整體建構的實踐探尋

整體性建構數學知識，是落實學生數學素養的必然要求，是促進教師專業發展的現實需求，也是學生數學素養發展的應然追求。整體性建構，要求教師要在把握數學學科“大觀念”的基礎上，立足于學生立場，以整合、建構、創造的方式，打破數學學科內部、數學學科與其他學科、數學學科與學生生活之間的藩籬、桎梏、禁錮等，將相關的知識關聯起來，以一種聯動的方式實施開放性、生成性的教學。以“大觀念”為支撐，能讓學生在數學學習中做到舉一反三、觸類旁通，能讓學生的數學學習事半功倍。

（一）在比較中整體建構

比較，是整體建構數學知識的重要方法。有比較才有鑒別。在整體性建構教學中，教師要引導學生展開由此及彼、由表及里、求同存異、求異存同的比較。通過比較，學生不僅能把握數學知識之間的共同點，同時還能把握數學知識之間的差異、區別。如，教學“比的基本性質”這一部分內容時，教師就可以充分利用學生的已有知識經驗“商不變的規律”以及“分數的基本性質”，引導學生把握分數、除法、比之間的關聯，從而讓學生積極主動地猜想“比的基本性質”。如此，學生就會積極主動地聯結分數、比、除法之間的關聯，將之與“商不變的規律”“分數的基本性質”關聯起來，生成“比的前項（相當于被除數、分子）和比的后項（相當于除數、分母）同時乘或除以相同的數（0 除外），比值（分數的大小、商）不變”。這樣的一種比較建構，不僅能讓學生深刻理解“比的基本性質”的內涵，而且能深刻認識到“比的基本性質”的應用，即應用“分數的基本性質”可以約分，應用“比的基本性質”就可以化簡比。

（二）在關聯中整體建構

“比較”是為了突出事物的共同的屬性和差異性的屬性，而“關聯”則是為了凸顯數學知識之間的關系。關聯包括橫向關聯和縱向關聯。其中，橫向關聯能讓學生的數學學習從割裂走向整體，縱向貫通能讓學生的數學學習從膚淺走向深刻。在數學教學中，教師不僅要引導學生建構數學知識的縱向關聯，更要引導學生建構數學知識的橫向關聯。通過關聯，讓數學知識縱橫交錯，從而讓學生的數學學習從散點形態走向結構形態。如教學“小數的初步認識”這一部分內容，教師不僅要引導學生在具體的情境中認識小數，更要從兩個維度引導學生關聯：其一是引導學生認識到小數也是小數計數單位的累加，這是一種縱向關聯，即將小數的大小與小數的計數單位建立關聯；其二是引導學生將整數與小數勾連起來，從而引導學生認識到小數也是使用的十進制位值計數法。通過融通整數，引導學生建構“數位順序表”，讓學生感悟到整數的計數是“往大”擴充數系，小數就是從整數1 開始“往小”擴充數系。通過這樣的關聯，豐富、深化學生對小數的認識。

（三）在跨界中整體建構

跨界就是在數學教學中，要消弭數學學科本身的一種邊界，讓數學知識與其他學科知識、與學生的生活等建立關聯。通過跨界，能讓學生深刻地感受、體驗數學學科知識的意義和價值。在跨界中整體建構，教師可以采用“項目化”教學的方式，采用資源重組、多維聯動的方式展開。如，教學“圓的認識”“圓的周長”和“圓的面積”之后，我們研發設計了“自行車里的數學”這一項目化學習活動，將相關的科學知識與數學知識對接起來，引導學生探究“自行車蹬1 圈可以行多遠”“前齒輪、后齒輪的齒數和車輪半徑間關系”“變速自行車能產生多少種不同的速度”等相關的現實性問題，同時也是數學性的問題。在跨界的整體建構中，學生綜合應用“圓的認識”“圓的周長”“圓的面積”等相關知識。這樣的一種跨界整合，不僅能幫助學生鞏固相關的數學知識，更能提升學生靈活應用數學知識能力。

整體建構教學，充分發揮數學學科的育人功能，彰顯數學學科的育人價值。在引導學生整體建構的過程中，教師要充分地彰顯數學學科特質，不斷地激發學生的數學學習潛質、潛力，讓學生的數學學習具有建構性、結構性、創造性。整體性建構，應當成為學生數學學習的一種常態。通過整體性建構，讓學生的數學認知、思維從低階走向高階，讓學生的數學學習力得到提升，讓學生的“數學素養”完整生長，進而不斷推進學生數學學習的高質量發展。