擺球運動中極值問題的解析

擺球運動中極值問題的解析

耿臘香

(前黃高級中學國際分校江蘇 常州213161)

摘 要：近幾年來，江蘇物理高考卷中頻頻出現擺球運動的極值問題，值得我們師生引起重視.作者將此類問題加以總結歸納，集中探究了擺球在自由運動、勻速率運動、受水平恒力作用這3種情況下速度與重力功率的極值問題，并介紹了極限法、數學求導法、仿真物理實驗這3種求極值問題的方法.

關鍵詞：擺球極值問題類單擺仿真物理實驗室

收稿日期：(2015-02-01)

1單擺中的極值問題

【例1】如圖1所示，一根不可伸長的輕繩長為L,一端固定于O點，另一端連接質量為m的小球，使小球從水平位置A點靜止釋放．小球從A點擺動到最低點B點的過程中，重力對小球做功的功率如何變化？

解法1:極限法

此題為2008年高考江蘇卷第8題的原型，可采用極限法解答.因為最高點(A點)小球速度為零，所以A點小球重力功率為零；最低點(B點)速度與重力垂直，所以B點重力功率也為零.因此小球從最高點擺動到最低點的過程中，重力對小球做功的功率先增大后減小.但對于這種定性分析的結果還遠遠不夠，小球下擺到何處時重力功率取得最大值呢?

圖1

解法2:數學求導法求極值

由動能定理

得

由功率定義得

令

f(θ)=sinθcos2θ

f′(θ)=cos3θ-2sin2θcosθ

令f′(θ)=cos3θ-2sin2θcosθ=0,得

2勻速率運動的擺球的極值問題

【例2】如圖2所示，細線的一端固定于O點，另一端系一質量為m的小球.在水平拉力F的作用下，小球以恒定速率在豎直平面內由A點運動到B點.在此過程中拉力的瞬時功率如何變化？

圖2

(1)極限法

此題為2013年高考江蘇卷第3題，許多學生習慣性地采用上題中的極限法來解題.如圖3所示，因為小球在最低點(C點)靜止，速度為零，所以C點拉力功率為零；小球運動到與O點等高(D點)時，速度與拉力垂直，所以D點拉力功率也為零.因此小球在拉力作用下向上運動的過程中，重力對小球做功的功率先增大后減小.

然而本題與單擺模型不同，小球不可能達到D點.因為小球做勻速圓周運動的向心力由T-mgcosθ-Fsinθ提供

(1)

做勻速圓周運動的切向力Fcosθ-mgsinθ=0，即

F=mgtanθ

(2)

當θ=90°時，F趨于無窮大，再由式(1)得T趨于無窮大，超出了繩子所能承受的范圍，因此小球運動到D點之前繩子早已斷了,不能用極限法來解答.

(2)小球至多能運動到何處？

設繩所能承受的最大拉力為Tm，則

(3)

由式(3)解得θm即為最大角度值(0<θm<90°).

(3)拉力功率何處取得最大值？

方法1：由定義法得

PF=Fvcosθ

(4)

將式(2)代入式(4)得

P=mgtanθ·v·cosθ=mgvsinθ

隨著θ增大，PF也逐漸增大.當θ=θm時，PF取得最大值.

方法2：由動能定理可得WF+WG=0，則PF= -PG=mgvsinθ，與定義法同解.

3“類單擺”運動中的極值問題

【例3】如圖4所示，細線的一端固定于O點，另一端系一質量為m的小球.在水平恒力F作用下，小球在豎直平面內由A點靜止運動到最高點B點.在此過程中重力的瞬時功率如何變化？

圖4

(1)小球怎樣運動？在何處速度達到最大值？

由題意分析可得,開始時(A點)小球靜止，運動到最高點(B點)小球速度為零，因此小球速度先增大后減小到零.但在何處取得最大值呢？是否在中間位置？小球的運動是否具有對稱性？這些問題都值得我們去探究.此題中的F與mg雖為恒力，但繩中的張力不斷變化，從力學的角度來分析小球的運動情況比較復雜.此處筆者運用仿真物理實驗室模擬小球的運動，直觀感知小球的運動情況，由圖像特點從而分析出小球在何處速度達到最大值.

圖5

圖5為頻閃照相得到的實驗圖像，實驗中設置頻閃周期為0.4 s，重力為5 N，外加恒力為10 N，繩長為30 m，細箭頭→表示小球受力，粗箭頭表示小球合力，灰箭頭表示小球速度，數字表示經過頻閃照相得到的小球的位置.

由圖像5可得在位置5處小球受到的合外力與速度垂直，因此小球從位置1到位置5做加速運動，位置5到位置10做減速運動，在位置5速度取得最大值.位置5是中間位置嗎？

運用仿真物理實驗室中的“實驗數據曲線”作出v-t圖像和a-t圖像，如圖6和7所示.

圖6

圖7

由圖像分析可得從位置0到位置10，小球先由靜止做加速度減小后增加的加速運動，再做加速度減小后增加的減速運動至靜止，在中間時刻取得最大值.且v-t圖像和a-t圖像t都是隨時間周期性變化的.由v-t圖像中0～2 s和2～4 s中曲線與時間軸所圍成的面積相等，可得位置5為中間位置.

由以上結論可得，中間時刻位置即為中間位置，都是位置5.因此在中間位置5處速度取得最大值.

(2)小球運動的最大角度θm是多少？

1)圖像法

2)數學求導法

由動能定理

FLsinθ-mgL(1-cosθ)

對動能求導

令

3)結論分析

當F=0時，θm=0；當F=mg時，θm=90°.

(3)小球的運動為什么會具有如此完美的對稱性？

由圖像規律分析發現，小球運動的時間和角度都是關于中間位置5對稱的，此模型的規律與單擺模型非常相似.轉換思維：給小球施加恒力F的作用，其實相當于在空間中存在另一個水平方向的“重力場”(對小球產生的重力為F).此模型中相當于兩個重力場的疊加，將圖像傾斜放置，如圖8所示，位置5為疊加場中的“最低點”，位置0，10為疊加場中的“最高點”，發現此模型竟與單擺模型出奇的相似，因此筆者大膽稱此模型為“類單擺”模型.

圖8

(4)在何處重力功率達到最大值？

由圖像分析可得，重力的功率先增大后減小，顯然不是在θ=60°時取得最大值，由圖像數據分析得：在θ=73.7°左右時，重力功率取得最大值Pmax=114.216 8 W左右.需要解釋的是，仿真物理實驗室只是起到模擬的效果，其采集的數據還存在一定的誤差.

表1　擺球重力功率隨擺角的變化

圖9