利用橫波討論產生半波損失的條件*①

利用橫波討論產生半波損失的條件*①

周 越

(北京林業大學理學院北京100083)

張國鋒

(北京航空航天大學物理科學與核能工程學院北京100191)

*中央高校基本科研業務費專項資金資助，項目編號：TD2014-04；北京航空航天大學校級重點教改項目資助，項目編號：4325011

摘 要：基于弦線上傳播的機械橫波定量討論了產生半波損失的條件.

關鍵詞：機械波半波損失反射

作者簡介：周越(1982- )，男，講師，主要從事普通物理和電子學教學與研究工作.

通訊作者：張國鋒(1978-)，男，副教授，主要從事量子光學、量子信息學的研究工作.

收稿日期：(2014-11-17)

1引言

機械波傳播到介質分界面時一般會發生反射和透射現象. 根據反射面的性質不同，反射波相對于入射波的相位可能發生π的躍變，稱為半波損失. 對于產生半波損失的條件，限于課時和篇幅，很多教材只是直接給出結論，即當機械波從密度ρ和波速u乘積較小的介質入射到ρu較大的介質的分界面時，反射波存在半波損失；反之則不存在半波損失[1]. 部分教材以弦線上傳播的簡諧波為例，直觀地展示波為何在固定端的反射存在半波損失，而在自由端的反射不存在半波損失[2]. 但是，實際的介質分界面并非是完全固定或絕對自由的，用上述實例來說明問題，學生仍普遍感到人為性較強. 如果能用一個比較簡單的模型定量說明產生半波損失的條件，有利于學生加深對這個問題的理解. 在弦線上傳播的簡諧橫波圖像直觀，且不涉及材料力學的背景知識，是較理想的物理系統. 本文在文獻[2]中模型的基礎上略加改變，給出一種簡明的定量分析方法，便于學生理解和接受.

2物理模型

考慮如圖1所示的系統，兩根不同材質的弦線通過一個輕環相連，輕環套在一個豎直的桿上，并可以沿豎桿無摩擦地滑動；兩根弦線分別用T1和T2的力拉緊. 取輕環的平衡位置為原點，以弦線的方向為x軸，豎桿的方向為y軸建立坐標系.

圖1　介質分界面示意圖

假定有一列向x軸正方向傳播的簡諧橫波，在輕環處發生反射和透射,則在輕環的左側，每個質點的振動為入射波和反射波的疊加，可以一般地表示為

(1)

其中右邊第一項和第二項分別為入射波和反射波. 在x軸正半軸只有沿原方向傳播的透射波，其波動方程為

(2)

在以上兩式中u1和u2分別是兩種材質弦線中的波速.

3相位和振幅的關系

在介質分界面處，入射波、反射波和透射波的相位關系取決于φ1，φ2和φ3的值，下面分析三者的關系. 根據弦線在x=0處的連續性可得y1(0,t)=y2(0,t)，因此有

A1cos(ωt+φ1)+A2cos(ωt+φ2)=

A3cos(ωt+φ3)

(3)

A1sinφ1+A2sinφ2=A3sinφ3

(4)

A1cosφ1+A2cosφ2=A3cosφ3

(5)

由于輕環的質量可忽略，要使輕環的加速度為有限值，輕環在y軸方向所受的合力必須趨于零. 由圖2可知，輕環兩側的弦線在水平方向上的張力和弦線斜率的乘積相等.

圖2　輕環的受力分析

這樣得到第二個邊界條件

(6)

將式(1)、(2)代入可得

(7)

ρ1u1A1sinφ1-ρ1u1A2sinφ2=ρ2u2A3sinφ3

(8)

ρ1u1A1cosφ1-ρ1u1A2cosφ2=ρ2u2A3cosφ3

(9)

由式(4)、(8)可得

(10)

(11)

由式(5)、(9)可得

(12)

(13)

利用以上4個關系可以得到

tanφ1=tanφ2=tanφ3

即入射波、反射波和透射波在分界面處的相位或者相同，或者相差π. 由式(11)可知，當ρ1u1>ρ2u2時，sinφ1和sinφ2同號，故入射波與反射波同相；當ρ1u1<ρ2u2時，sinφ1和sinφ2異號，因此φ2=φ1+π，反射波相對于入射波的相位發生了π的躍變，即所謂半波損失. 而無論兩種介質的ρu是何種關系，sinφ3和sinφ1均同號，因此在任何情況下透射波都不存在半波損失.

式(10)和式(11)同時還給出了反射波和透射波的幅度關系. 一般而言，弦線上既存在反射波又存在透射波. 當ρ1u1=ρ2u2時，A2=0，介質分界面處無反射；當ρ2趨于零或者右側弦線不存在時，輕環對左側弦線的作用力無y軸方向的分量，對應于自由端反射的情況，這時A2=A1，A3=0，發生全反射且反射面為駐波的波腹；當ρ2趨于∞時，右側弦線的位移趨于零，相當于輕環被固定在平衡位置上，對應于固定端反射的情況，這時A2=-A1，A3=0，發生全反射且反射面為駐波的波節.

參 考 文 獻

1張文杰,曹陽. 大學物理教程.北京：中國農業大學出版社,2009. 65

2哈里德，瑞斯尼克，沃克．物理學基礎．北京：機械工業出版社，2015.416

Discussion on the Condition of Half-wave

Loss Using Transverse Wave

Abstract:The condition of half-wave loss is discussed based on the transverse mechanical wave on a string.

Key words: mechanical wave; half-wave loss; reflection