薛定諤方程與光學傍軸波動方程的相似性及airy光束①

薛定諤方程與光學傍軸波動方程的相似性及airy光束①

董梅峰宋新祥韓巧麗朱化鳳劉 冰

[中國石油大學(華東)理學院山東 青島266580]

*中國石油大學教學研究改革項目資助,項目編號:JY-A201402

摘 要：薛定諤方程是大學物理教學中量子物理部分最基本的方程，而光學中如何得到無衍射光束是近年來光學研究領域的一個重要課題，文中通過薛定諤方程和光學傍軸波動方程之間的數學對應關系，得到了一種無衍射airy光束．教學結果發現，在大學物理教學中通過與上述研究性課題的聯系，大大提高了學生的科學研究素質及其各方面的能力．

關鍵詞：大學物理薛定諤方程airy光束

作者簡介：董梅峰(1973-)，女，碩士，講師，從事信息光學的研究和大學物理的教學工作.

收稿日期：(2015-04-28)

大學物理講解的是自然界中所有物質的最基本、最普遍的客觀運動規律以及物質基本結構的科學，因此在大學物理教學中要把知識點與客觀實際相結合，可以培養學生的科研創新能力、動手實踐能力和動腦思考探索能力，從而培養學生的科學研究素質．

薛定諤方程是大學物理教學中量子物理部分最基本的方程，而它在實際科學研究中的作用，在大學物理中涉及的不多.文中通過薛定諤方程和光學傍軸波動方程的相似性，把薛定諤方程和光學中的一個研究性課題聯系起來，讓學生更深入地了解了薛定諤方程的應用，同時也對光學中airy光束的特點和應用有了一定的了解，并通過計算機軟件把airy光束模擬仿真出來，從而大大提高了學生的學習興趣.

1薛定諤方程和傍軸波動方程

一維自由粒子的薛定諤方程[1]為

(1)

一維自由空間傍軸光波的波動方程[2]為

(2)

公式中φ是光波的包絡，s是無量綱的橫坐標，ζ是歸一化傳輸距離. 其中

(3)

(4)

比較式(1)和式(4)，數學形式是一致的，因此有著相同形式的解.

2airy光束

airy光束是無衍射光束，它是薛定諤方程的一個精確解，這最初是由Berry和Balazs于 1979 年在理論上證明的[3].因此式(4)也有相應的無衍射airy函數解.令

φ(x,z)=Ai[f1(x,z)]exp[f2(x,z)]

(5)

由于是無衍射解，所以上式中f1(x,z)=αx+f(z)，即在z=0的初始狀態下，式(5)為

φ(x,0)=Ai(αx)

(6)

將式(6)代入式(4)得

(7)

3airy光束的計算機模擬

airy光束作為一種無衍射光束，它在光學微操縱[4]、電子加速[5]等領域具有重要應用，因此對airy光束的研究是光學領域一個重要的課題.在大學物理的教學中引入airy光束簡單的計算機模擬，形象地向學生展示airy光束的同時，也培養了學生應用軟件編寫程序的能力.下面是對airy光束簡單的計算機模擬情況.

3．1理想的無衍射airy光束的計算機模擬

計算機模擬過程中，任意橫向尺度x0=0.1mm,λ=632.8nm,折射率n=1；采用MATLAB[6]軟件.計算機模擬的一維airy光束沿z 軸傳輸過程如圖1所示， 其中縱坐標是airy光束在z軸方向的傳播距離，橫坐標是airy光束在x軸上的橫向光場分布，x軸上中央橫向光場分布稱為主瓣，中央的左邊光場分布稱為旁瓣.由圖1可以看出，airy光束在x軸上的主瓣尺寸在傳播過程中沒有展寬，因此airy光束是無衍射光束；另外也可以看出，airy光束在x軸上的主瓣隨著在z軸上傳播距離的增加發生了橫向偏移，這類似于粒子在重力的作用下做平拋運動所產生的拋物線形軌跡，airy光束的這一傳輸現象被稱為“橫向自由加速現象”.

圖1　 airy光束的傳輸

圖2是二維airy光束分別在z=0和z=0.6m處光強分布情況的三維立體圖，其縱坐標為歸一化能量.

圖3是二維airy光束分別在z=0和z=0.6m處光強分布的平面圖.由圖2和圖3均可以看出，在z=0和z=0.6m處的airy光束主瓣分布基本相同，也就是主瓣尺寸沒有展寬；同時也可以看出主瓣光場表現出了沿著 x-y 軸對角線加速的特性；另外，圖2和圖3也表現出了隨著傳輸距離的增加，airy光束旁瓣構成的“尾翼”也隨之變大.

圖2　二維 airy光束在z=0和z=0.6 m處的能量分布

圖3　二維 airy光束在z=0和z=0.6 m處能量分布的平面圖

airy光束由于具有上述的無衍射特性和自由加速特性，從而引起了很多研究人員的興趣.然而如何解釋airy光束的自由加速特性，文獻[7]給出了等效性解釋，認為恒定場中airy波包的橫向加速行為可以看作是駐波橫向平面內的自由落體者眼中所觀察到的，因為自身慣性缺失而造成橫向上的加速現象.上述式(7)表示的airy光束是平方不可積的，也就是在理論上攜帶無限大的能量，因此，上述airy光束被認為是理想的airy光束，理想的airy光束無論傳輸多遠都可以保持橫向自由加速和無衍射，就像自由落體的物體在不受阻力和摩擦力的情況下一直保持重力加速一樣.

以上的理論推導和計算機模擬是對理想airy光束而言的，這樣的無衍射airy光束在實際中并不存在，光束在傳播過程中都會產生衍射，如果“截止”孔徑超出了理想傳輸不變場的空間要求，衍射會被控制在一定的范圍內；另外，上述無衍射airy光束攜帶無限大的能量，因此理想的airy光束在物理上沒有實際物理意義.為了使airy光束具有實際物理意義，下面引入有限能量airy光束.

3．2有限能量airy光束的計算機模擬

要得到有限能量airy光束，只需要在理論上作如下處理.即當z=0時，也就是初始狀態下，令

φ(x,0)=Ai(αx)exp(bx)

(8)

其中b為衰減系數.把式(8)代入式(4)得有限能量的airy光束為

(9)

上述參數不變的情況下，圖4(a)、(b)分別是衰減系數b=0.05和b=0.1時有限能量一維airy光束的傳輸情況.由圖4可知，與圖1無限能量airy光束相比，有限能量airy光束在傳輸過程中能量明顯衰減；由圖4也可以看出衰減系數越大，有限能量airy光束的能量衰減得越快；同時也可以看出當衰減系數b=0.05時，airy光束在傳輸到0.8m處時其強度仍清晰可見，這就說明了有限能量airy光束具有近似無衍射特性，因此有限能量airy光束具有重要的應用價值.

圖4　有限能量一維 airy光束的傳輸

圖5(a)、(b)分別是當衰減系數b=0.05時，二維有限能量airy光束在z=0和z=0.6m處的光強分布情況，由圖可以看出，在z=0和z=0.6m處有限能量airy光束的主瓣光強變化不大，因此在 z=0和z=0.6m之間的距離內，有限能量airy光束具有近似無衍射特性.

圖5　二維 airy光束在z=0和z=0.6 m處能量分布的平面圖

4結論

文中通過薛定諤方程和傍軸波動方程的相似性，得出了無衍射airy光束，在此基礎上得出了有限能量airy光束，并通過計算機模擬出了相關的結果.在大學物理量子物理部分的教學過程中，進行以上相關知識的拓展延伸，讓學生從更深層次上理解了薛定諤方程，也使他們了解了當前的一個科學研究課題，通過理論推導和計算機程序模擬，大大提高了學生的科學研究素質，也提高了學生學習大學物理的興趣.

參 考 文 獻

1李元成.大學物理學.北京：中國石油大學出版社，2011

2G.A.Siviloglou and D.N. Christodoulides,Opt. Lett. 32,2447(2007)

3M.V.Berry,N.L.Balazs.Nonspreadingwavepackets.Am.J.Phys.,1979,47(3):264～267

4Cao R,Yang Y,Wang J,et al.Microfabricated continuous cubic phase plate induced Airybeams for optical manipulation with high power efficiency. Applied Physics Letters,2011,99(26): 261106

5LiJX,FanXL,ZangWP,TianJG,VacuumelectronaccelerationdrivenbytwocrossedAirybeams,OpticsLetters[OptLett]2011Mar1;Vol. 36 (5),648～50

6尹澤明，丁春利.精通MATLAB 6.北京：清華大學出版社，2002

7D.M.Greenberger.CommentonNonspreadingwavepackets·.Am.J.Phys.,1980,48(3): 256

The Similary between Schrodinger Equation and

Optical Near Axis Wave Equation,and Airy Beam

Dong MeifengSong XinxiangHan QiaoliZhu HuafengLiu Bing

(China University of Petroleum,Qingdao,Shandong266580)

Abstract:The Schrodinger equation is part of quantum physics in college physics teaching the basic equation,And how to get the non-diffracting beam in optical in recent years is an important subject in the field of optical research,In this paper,through the schrodinger equation and mathematical corresponding relationship between the optical paraxial wave equation,Got a kind of non-diffracting airy beam. In the university physics teaching through contact with the above research topic,Teaching results greatly improve the students′ scientific research quality and its various aspects ability.

Key words:university physics; Schrodinger equation; airy beam