利用相似三角形巧解力學中的極值問題——例談2012年全國中學生高二物理解題技能展示第12題

利用相似三角形巧解力學中的極值問題
——例談2012年全國中學生高二物理解題技能展示第12題

張懷華

(焦作市第十一中學河南 焦作454000)

作者簡介：張懷華(1974-),男，系河南省物理學術技術帶頭人、河南省骨干教師、河南省學科教學專家、河南省最具成長力教師、焦作市中學名師、焦作市科研型教師、焦作市信息技術應用專家,主要從事中學物理教學及研究.

收稿日期：(2014-12-22)

1引言

應用數學知識解決物理問題，是當前高考理科綜合模式下，物理科考試大綱的5方面能力要求之一，要求學生“能夠根據具體問題列出物理量之間的關系式，進行推導和求解，并根據結果得出物理結論；必要時能運用幾何圖形、函數圖像進行表達、分析”.顯然，利用幾何圖形分析問題是考生必須具備的一種能力.

2利用相似三角形巧解力學極值問題

相似三角形在力學極值問題求解中魅力獨具，不僅能使抽象的物理問題更加形象、直觀，求解過程簡潔明了，而且彰顯創新意識，對提高解題能力和發展求異思維具有非常重要的意義.下面就以2012年第五屆全國中學生數理化學科能力展示活動高二年級物理解題技能展示試題第12題為例，談一談相似三角形在極值求解中的基本用法.

2.1試題回放

3個半徑為r,質量相等的球放在一個半球形碗內，現把第4個半徑也為r，質量也相等的相同球放在這3個球的正上方，要使4個球都能靜止，則半球形碗的半徑應滿足什么條件？不考慮各處摩擦.

2.2巧妙解析

如果碗的球面半徑很大，因為各接觸面是光滑的，當放上第4個球后，下面的3個球會散開，所以臨界情況是放上第4個球后，下面3個球之間剛好無彈力.把上面的球記為A，下面3個球分別記為B,C,D.

如圖1所示，4個球的球心連起來構成一個邊長為2r的正四面體.由立體幾何知識可得，兩球心連線AB與豎直方向間夾角α的余弦值為

(1)

圖1

圖2

如圖2所示，A,B球心的連線與豎直方向的夾角為α，半球形碗的球心為O，O與B球心的連線與豎直方向的夾角為β，A球與B，C，D球間的彈力大小都為FN，碗面與下面3個球的作用力大小都為F.則以A球為研究對象，由對稱性可得，A球重力大小等于A球對B球彈力豎直分量的3倍，即

(2)

如圖2中的陰影部分所示，幾何三角形OAB與矢量三角形對應邊平行，由相似三角形對應邊成比例可知

(3)

由式(1)、(2)和(3)可得

(4)

由圖2可知，碗的臨界半徑為

Rmax=OB+r

(5)

在△OAB中，利用余弦定理可得

(6)

由式(5)、(6)可得，碗的臨界半徑為

(7)

3小結

不難發現，上述力學極值問題若運用共點力平衡條件及相關數學公式來推理、運算求解，其過程繁瑣冗長，耗時費力，而且涉及到眾多的公式和符號運算，稍不留神就會出現紕漏.而利用相似三角形，則化繁難為簡潔，變抽象為具體，求解迅速而準確，真乃事半而功倍.