權重梯形網絡等效電阻的研究

權重梯形網絡等效電阻的研究*

邱為鋼

(湖州師范學院理學院浙江 湖州313000)

張 萍

(北京師范大學物理學系北京100875)

*國家自然科學基金,項目編號：11275067；浙江省高等學校創新團隊，項目編號：T200924；湖州師范學院首屆中青年教師卓越教學能力培養計劃；浙江省高等學校訪問學者教師專業發展項目.

摘 要：權重梯形網絡是梯形網絡的推廣，上、中、下3層各級電阻為等比級數.由電阻的串、并聯性質，得到了這個網絡N階等效電阻的遞推關系式及計算程序.當權重系數相等時，給出了無窮權重梯形網絡等效電阻的解析表達式.

關鍵詞：梯形網絡等效電阻權重系數

收稿日期：(2014-08-07)

作者簡介：邱為鋼(1975-), 男, 博士，副教授，主要從事大學物理的教學和研究.

1引言

把梯形網絡電阻看作是一級級的開口形電阻組合，那么，文獻[1～4]研究的梯形網絡電阻，每一級是相同的.我們可以繼續推廣這個模型，即每一級開口電阻不再相等，且上、中、下各層電阻前后級成正比關系(權重)，而且權重比例系數不同.當級數趨向無窮大時，這個網絡的等效電阻如何計算？這就是本文主要研究問題.

2等效電阻遞推式

設權重梯形網絡電阻的級數為N，等效電阻為RN.每一級的上、中、下層電阻是前一級相應各層電阻的倍數，比例分別為k1,k,k2.最左端的各層電阻分別為r1,r,r2，如圖1所示.

圖1　權重梯形網絡電阻

從最右端的電阻開始往前逐級計算，最右邊的一級電阻是

R0=k1Nr1+k2Nr2+kNr

(1)

由電阻的并聯關系式，得到第N級電阻與第N-1級電阻的遞推關系

(2)

式(2)電阻的迭代公式，很容易用數學軟件編程數值計算.數學軟件Mathematica的程序為：

R[k1_,k_,k2_,r1_,r_,r2_,N_]:=

理論上當級數N趨向無窮大時，以上程序給出的數值結果就是這個權重梯形網絡的等效電阻.但數值計算時，級數N越大，計算時間越大，一般我們取N=100，認為這個值就是等效電阻值.

3權重系數相等時的等效電阻

接下來我們研究電阻的解析性質.當各層電阻的比列系數相同時,即k1=k=k2，式(2)有解析解.設Rn=kN-nPn，式(2)化為

(3)

An=krAn-1+(r1+r2)Bn

(4)

Bn=kAn-1+rBn-1

(5)

如果

(6)

那么就有

(7)

(8)

式(7)除以式(8)，計算得到N級梯形網絡等效電阻滿足的關系式為

(9)

計算得到式(9)中的各個參數為

(10)

(11)

以及

(12)

式中

4等效電阻方程

接下來我們考慮各層電阻比列系數不同時，無窮梯形網絡等效電阻所滿足的關系式.設這個無窮等效電阻為R(r1,r2,r,k1,k2,k), 由式(2)取極限，得到

(13)

式(13)就是等效電阻滿足的方程，目前看來沒有解析解，但當各層電阻的等比系數相同時，可以求解，此時式(13)化為

(14)

由等效電阻的相似性質

R(kr1,kr2,kr,k)=kR(r1,r2,r,k)

(15)

計算得到無窮梯形網絡的等效電阻為

(16)

這與式(9)當N趨向于無窮大的極限的結果是一致的. 當比例系數k趨向于1時，式(16)就返回到文獻[2]的結果.

5結論

這樣，把梯形網絡電阻推廣到權重梯形網絡電阻，得到了等效電阻所滿足的關系式.當權重系數相同時，得到了無窮權重梯形網絡等效電阻的解析表達式.

參 考 文 獻

1江超. 梯形電阻網絡的研究. 大學物理, 2000 , 19 (3) :19～22

2陸建隆,譚志中. 關于梯形網絡等效電阻的普適研究.大學物理,2001,20 (10) :26～28

3李永安. 梯形網絡等效電阻的網絡分析. 大學物理,2002 ,21 (12) :9～10

4李永安.梯形網絡等效電阻網絡分析的再研究. 大學物理,2003 ,22 (10) :12～14

A Study on the Equivalent Resistance of

Weigthed Ladder-shaped Network

Qiu Weigang

(School of Science, HuZhou Teachers College, HuZhou, ZheJiang313000)

Zhang Ping

(Department of Physics,Beijing Normal University,Beijing100875)

Abstract:The weighted ladder-shaped network is a network in which each ladder resistance is a geometric series. The recursion equation of equivalent resistance is derived with a mathematic code. The analytical expression of equivalent resistance is given when the weight coefficients are the same

Key words: ladder-shaped network; equivalent resistance; weigth coefficient