H-矩陣預條件Gauss-Seidel迭代法及其收斂性

H-矩陣預條件Gauss-Seidel迭代法及其收斂性

薛煒

(甘肅建筑職業技術學院基礎部,蘭州730050)

摘要：提出了預條件矩陣I+Cα, 并利用此矩陣討論了H-矩陣方程組的預條件Gauss-Seidel迭代法的收斂性. 一些譜半徑的比較結果也被給出。

關鍵詞：H-陣; Gauss-Seidel迭代法; 預條件; 收斂性

收稿日期:2015-03-05

基金項目:甘肅省建筑科技教育規劃項目(20153675)

作者簡介:薛煒，(1981-)，男，甘肅靜寧人，講師，碩士，主要從事數學教育，應用數學方面研究。

中圖分類號：O241.6文獻標志碼：A

0引言

考慮線性方程組

Ax=b,

(1)

對于A的任意分裂A=M-N，其中M是非奇異矩陣，用迭代法求解(1)的基本迭代格式是

(2)

為了更好地解線性方程組(1), 引入非奇異預條件矩陣MP, 即考慮解方程組

PAx=Pb,

(3)

或者解方程組

(4)

與

P-1x=y，

在一般情況下選取的預條件矩陣P都是易于求逆的, 故只解(3)與(4)。

令PA=MP-NP, MP是非奇異矩陣, 則解(3)的Gauss-Seidel迭代法的迭代格式是

本文利用文獻[2]的方法, 給出了線性方程組改進的Gauss-Seidel迭代法對于H-矩陣的收斂性定理。

在本文中, 我們用右乘預條件矩陣的方法，討論了預條件迭代法的收斂性。我們取預條件矩陣為：

記

則

顯然

I-L+Cα-LCα

與

2預備知識

定義稱為Z-矩陣, 若aij0, i≠j,i,j=1,2,…,n。

i≠j,i,j=1,2,…,n。

定義4 [3]矩陣分裂A=M-N稱為

(1)M-分裂, 如果M是M-矩陣, 且N≥0;

(2) 弱正則分裂, 如果M-1存在且M-1≥0, M-1N≥0;

(3) 正則分裂, 如果M-1存在且M-1≥0, N≥0。

引理3 [4]若A≥0且為不可約n×n矩陣, 則有

引理4 [3]設A≥0, 則

引理5 [5]A是H-矩陣的充分必要條件是存在向量x>0, 使得x〈A〉>0。

引理7 [6]如果A是H-矩陣, 且ai1≠0(i=2,3,…n), 若設

則βi>1。

引理8 [7]設A是Z-矩陣, 則下列條件等價：

(1)A是非奇異M-矩陣;

(2)A的所有主子矩陣是非奇異M-矩陣;

(3) 所有的主子式是正的。

3主要結論

令x=e〈A〉-1, 因為A是H-矩陣, 所以〈A〉是M-矩陣. 從而〈A〉-1≥0, 故x≥0。

即有

(5)

當j=1時,

(6)

(2) 如果αj>1, 那么由(5)式知, 對任意的2jn, 有

從定理的證明過程可知, 如果不滿足條件a1j≠0, (j=2,3,…,n)時, 則對任意的

當i=1時, e11=1. 因為〈A〉是非奇異M-陣,根據引理8, 有

又αj∈[0,1], 則

當i>j≥2時,

當i>j=1時,

則

而

又

記

由

則

〈A〉=Eα-Fα

是〈A〉的弱正則分裂, 又M-陣的Gauss-Seidel分裂是弱正則分裂且收斂, 所以

〈A〉=E-F

也是〈A〉的弱正則分裂。這樣

由引理2, 有

參考文獻:

[1]程光輝，等. 解線性方程組的預條件Gauss-Seidel型迭代法[J]. 應用數學與力學, 2006(09)：1117-1121.

[2]孫麗英. IMGS方法對于H-矩陣的若干令人滿意的改進[J]. 數學物理學報, 2006, 26A(4)：591-594.

[3]宋永忠. 線性方程組的迭代解法(講義)[M]. 南京: 南京師范大學出版社, 1992.

[4]張保祥.H-矩陣的預條件AOR迭代法及其收斂性[J]. 齊齊哈爾大學學報, 2008(06):69-71.

[5]胡家贛. 線性方程組的迭代解法[M]. 北京: 科學出版社, 1999.

[6]柳衛東, 暢大為.H-矩陣的預條件Gauss-Seidel迭代法[J]. 西南民族大學學報, 2007(05):1009-1012.

責任編輯：程艷艷

Preconditioned Gauss-Seidel Iterative Method for H-matrix and the Convergence

XUE Wei

(Department of Basic Courses, Gansu Construction Vocational Technical College, Lanzhou 730050, China)

Abstract：This paper presents a preconditioned matrix I+Cα, discusses the convergence of the preconditioned Gauss-Seidel iterative method for H-matrix equations and gives some comparative results of spectral radius.

Keywords：H-matrix; Gauss-Seidel iterative method; precondition; convergence