一類正整數(shù)是否為孤立數(shù)研究

孫樹東

(新疆警察學(xué)院信息安全工程系， 烏魯木齊830011)

摘要：設(shè)是正整數(shù)n的所有正約數(shù)之和。如果正整數(shù)n，m滿足=m+n，則(m,n)被稱為一對相親數(shù)。相反地，對于給定的正整數(shù)n，若不存在任何正整數(shù)m滿足=m+n，則稱n為一個孤立數(shù)。討論了正整數(shù)是否為孤立數(shù)的問題，證明了其是孤立數(shù)的結(jié)論，其中n是任意的正整數(shù)。

關(guān)鍵詞：相親數(shù)；完全數(shù)；孤立數(shù)

收稿日期:2015-01-24

作者簡介:孫樹東(1958-)男,遼寧彰武人,講師,主要從事高等數(shù)學(xué)理論應(yīng)用與教學(xué)研究。

中圖分類號：O156文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0引言

1引理

2定理及其證明

表1　S n的標(biāo)準(zhǔn)分解式、對應(yīng)的 、g和 的值

由表1可知，n=1，2，3時，Sn都是孤立數(shù)。因此，只考慮n≥4的情況。由引理1，可得

即g>224。

故有

pi-1≥2n+1i，i=1,2,…,k。

(1)

于是，由(1)式可得，

(2)

又因為n≥4，則由(2)式及引理3，有

(3)

由引理4有

(4)

于是由(4)式和引理7，(1)式及引理6兩邊取對數(shù)可得，

(5)

由(3)式和(5)式可得，

(6)

假設(shè)g≥Sn，則由(6)式有，

ln2，

即

(7)

由于n≥4可知，則(2-7)式不可能成立。于是，g

則有

(8)

因為g>224，所以lnlng>2.8。于是，由(2-3)、(2-8)式和引理5可得，

即

(9)

設(shè)

(10)

由(10)式可得，

則

則

故當(dāng)n≥4時，(9)式是不可能成立的。因此，當(dāng)n≥4時，Sn都是孤立數(shù)，于是定理得證。

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責(zé)任編輯：程艷艷

Study on Whether a Class of Positive Integers are Anti-sociable Numbers

SUN Shudong

(Department of Information Security Engineering， Xinjiang Police Academy, Urumqi 830011, China)

Keywords：amicable numbers; perfect number; anti-sociable number