粘彈性介質中輸流碳納米管的動態穩定性分析

粘彈性介質中輸流碳納米管的動態穩定性分析

梁峰， 包日東， 金瑩， 蘇勇

(沈陽化工大學 能源與動力工程學院，沈陽110142)

摘要：應用非局部粘彈性夾層梁模型分析粘彈性介質中輸送脈動流碳納米管的動態穩定性。在經典的歐拉梁模型中考慮了由管道內、外壁上的薄表面層引起的表面彈性效應和表面殘余應力，同時考慮納米管道的非局部效應，得到了改進的歐拉梁模型。用平均法對其控制方程進行求解，得到了管道穩定性區域。數值算例揭示了納米管的壁厚、粘彈性特性、表面效應及兩個介質參數對管道動態穩定性的復雜影響，結論可為納米流體機械的結構設計和振動分析提供理論基礎。

關鍵詞：輸流碳納米管；穩定性；參數共振；表面效應；粘彈性介質

中圖分類號:O326文獻標志碼：A

Dynamicstabilityofafluid-conveyingcarbonnanotubeembeddinginlinearviscoelasticmedium

LIANG Feng, BAO Ri-dong, JIN Ying, SU Yong(SchoolofEnergyandPowerEngineering,ShenyangUniversityofChemicalTechnology,Shenyang110142,China)

Abstract:A nonlocal viscoelastic sandwich-beam model was developed to investigate the dynamic stability of a pulsating-fluid-conveying carbon nanotube (CNT) embedding in linear viscoelastic medium. The classical Euler-Bernoulli beam model was modified by considering the effects of surface elasticity and surface residual stress induced by thin surface layers presented on the inner and outer tube walls. The nonlocal effect of CNT was also taken into account. The governing equation was solved via the averaging method and the stability regions were obtained. Numerical examples were presented to reveal the complicated influences of tube thickness, viscoelasticity, surface effects and two medium parameters on the dynamic stability of the CNT. The conclusions drawn in the present paper are thought to be helpful to the structural design and vibration analysis of nanofluidic devices.

Keywords:fluid-conveyingcarbonnanotube;stability;parametricresonance;surfaceeffect;linearviscoelasticmedium

碳納米管是1991年被發現的一種重要的納米材料。研究表明，碳納米管具有十分優異的力學、電磁學和化學性能，其強度是鋼的100倍，是已知材料中最高的，但密度僅為鋼的1/6，無論是強度還是韌性都遠遠優于任何已知纖維材料。碳納米管作為復合材料的增強體，表現出了良好的強度、彈性、抗疲勞性，同時還具有耐強酸、強堿，在空氣中973K以下基本不被氧化等優良性質。目前，碳納米管已經在物理、化學、生物、電子和材料等領域得到了廣泛的研究和應用。

由于碳納米管具有小尺度、低密度、高強度和高硬度等特性，加之完美的空心圓柱形幾何結構，使其成為納米尺度下流體儲藏與輸運的重要載體。碳納米管可以作為氣體存儲的納米容器，輸運流體的納米管道，最小的毛細血管，納米級化學試管等，還可以將液態金屬填充在碳納米管內部，使其成為納米級溫度計。由于碳納米管具有良好的力學、電學和化學特性，其內壁又是極其光滑的，因此可以被用來快速和安全地輸送液氫等燃料，為能源的輸送提供新的解決辦法。另外，植物細胞輸水的過程、醫學領域的藥物流體在蛋白質中輸送、生物體中選擇性輸運粒子流的特性都和碳納米管輸運流體的問題有著相似的動力學機理，都可以用碳納米管輸送流體的動力學模型來描述。

由于普通宏觀管道內壁與流體間存在較大的摩擦，在管道安全運行的前提下，流體流速一般不會很大，然而Majumder等[1]通過實驗發現，流體在納米管中的流速比理論預測結果要高4-5個數量級，流體的流動速度可以達到非常大。作為一種典型的小尺度高流速流固耦合系統，輸流碳納米管常常會表現出極其豐富的動力學現象。Yoon等[2-3]應用單彈性梁模型研究了輸流碳納米管的自由振動和結構不穩定性，證明了納米管道內部的高速流體對管道的振動頻率和振幅衰減率有明顯影響；基于此項研究，Wang等[4]應用多彈性梁模型研究了輸流雙壁碳納米管的固有頻率和屈曲失穩特性，發現其共振頻率決定于流體流速，當流速達到一定值時，碳納米管就會發生屈曲失穩；Yan等[5-6]的研究結果也證明了內部高速流體和層間的范德華力是引起輸流多壁碳納米管失穩的重要原因。但總體來說，研究碳納米管固體力學行為[7]的文獻很多，而關于碳納米管內流體流動問題的研究則較少，有關流固耦合下，尤其是脈動內流作用下碳納米管的動力學行為以及振動穩定性方面的研究報道就更少。隨著納米科技的發展，輸流納米結構在工業工程、生物、醫療等領域的應用日益廣泛，而其力學問題也應該得到廣泛關注。這也是本文研究的意義所在。

對于輸流碳納米管的力學特性研究，目前主要采用三種方法：分子動力學法[8]、實驗法[9]和連續介質力學方法[10]。由于分子動力學模擬計算量非常大，對計算機處理能力的要求很高，而納米尺度的實驗常受到取材、實驗設備和觀測手段等條件的限制，所以，盡管連續介質力學方法對于研究分子范疇的物理現象有一定的局限，但仍然成為研究輸流碳納米管力學行為的有效且不可或缺的方法，這也必將是今后一段時期對于輸流碳納米管動力學特性研究的主流方法。自從碳納米管被發現以來，已經有很多學者利用局部和非局部彈性理論，以連續彈性Euler梁、Timoshenko梁及殼為模型對單壁和多壁輸流碳納米管(包括直管和曲管)的力學特性進行了研究，但目前，利用這些方法對其非線性振動及脈動流作用下的穩定性問題的研究還不多見。因此，很有必要對這方面問題開展深入研究。本文應用非局部粘彈性夾層梁模型研究粘彈性介質[11](模擬周圍生物組織液、化學溶劑等環境介質)中輸送脈動流碳納米管的振動穩定性問題，重點分析納米管的壁厚、粘彈性特性、表面效應及兩個介質參數對系統穩定性的影響。所得結論可為工程納米流體機械的設計分析提供一定的理論基礎。

1運動微分方程

圖1(a)所示為粘彈性介質中兩端固定輸流碳納米管的力學模型。假定管道只發生橫向面內振動y(x, t)，x軸為管道軸線，t為時間變量，U為管內流速。K和C分別為粘彈性介質的線性模量和阻尼因子，可通過線粘彈性材料的實驗測得。考慮文獻[12]中的控制方程及本文中的粘彈性介質，可以得到無表面效應時輸流碳納米管系統的橫向振動微分方程為：

(1)

式中：ν、EI、L、m分別為管道的KelvinVoigt型粘彈性系數、彎曲剛度、長度、單位長度的質量，e0a為表征納米尺度效應的非局部參數；M為管內流體單位長度的質量。圖1(b)和(c)分別顯示了出現內、外表面層時管道的縱向和橫向剖面圖。通常，納米材料的表面層會引起兩種附加效應[13-15]：一種是表面彈性效應，其通常表現為彎曲剛度的增加。假定內、外表面層的楊氏模量和厚度均為Es和t0，則增加的彎曲剛度[13,15]可表示為：

(2)

式中，d和D為納米管的內、外徑，如圖1(c)所示。

圖1　系統的力學模型 Fig.1 Mechanical model of the system considered

另一種是表面殘余應力，通常表現為橫向分布載荷q(x)的增加[13-14]：

q(x)=Γ(?2y/?x2)

(3)

式中常數Γ=2τ0(d+D)，τ0為表面殘余應力，可通過廣義Young-Laplace方程來計算[15-16]。考慮表面層引起的這兩種附加效應，方程(1)可改寫為

(4)

引入無量綱變量和參數：

(5)

則式(4)可轉化為如下無量綱形式：

(6)

式中( )′和(·)分別表示?( )/?ξ和?( )/?τ。輸流碳納米管內微流體的驅動方式種類很多，如壓力驅動、電滲驅動、電水力驅動和熱驅動等等。本文考慮的輸流碳納米管，其內流可通過電滲驅動實現脈動，此時方程(6)中的流速可表示為：

u=u0[1+μcos(ωτ)]

(7)

式中u0為平均流速，ω和μ分別為無量綱脈動頻率和幅值(μ?1)。由于脈動幅值μ很小，因此介質的線性模量K和阻尼因子C沿管道長度方向可看成是均勻分布的。將式(7)代入方程(6)后用兩振型Galerkin展開式：

(8)

進行離散化處理，式中qi(τ)為廣義坐標，ψi(ξ)為兩端固定梁的振型函數。則由振型的正交性并經適當變換后可得一階微分方程組：

μB2qcos(ωτ)-αB3q

(9)

2平均化系統

(10)

z2i-1=aicosβi,z2i=aisinβi,i=1,2

(11)

當n1=1/2時，系統平均化方程為：

(12)

(13)

若系統不滿足上式條件，則將發生第一階主參數共振。

3穩定性分析

本節中將通過數值算例來分析碳納米管在脈動內流作用時的動態穩定性。為便于計算，算例中采用[111]晶體方向的碳納米管，因此其幾何和物理參數取為：ρt=2700kg/m3(納米管密度)，d=20nm，t=3nm(壁厚, t=(D-d)/2)，L/D=20 (長徑比)，E=70GPa，Est0=5.1882N/m，τ0=0.9108 N/m[15]，ρw=1000kg/m3(內流密度)。其他系統參數值選為：v=5E-11s，e0a=50nm，U=500m/s，K=0.6MPa，C=1.2E-04Pas增大間距(下面各圖中未具體給定的參數值均取該組數值)。

圖2給出了不同壁厚t和表面參數下由式(13)確定的ω μ平面上第一階主參數共振邊界曲線。其中曲線內部為發生參數共振區域，外部為穩定區域。由圖2可見(左側3條曲線)，隨著壁厚的增大，共振區域逐漸從低頻向高頻方向移動，說明系統共振頻率升高，共振從而更難發生，也即提高了系統的穩定性。而且，共振區域越來越小，這說明對一個給定的μ值，引起參數共振的ω范圍變小，即系統更加穩定。所以，適當增加納米管壁厚會提高系統的動態穩定性。這是因為增加壁厚會增大管道剛度，從而系統固有頻率和穩定性都將隨之提高。

此外，圖2中同時分析了表面效應對穩定性區域的影響(右側3條曲線)。可以看出，當出現表面層以后，不僅共振區域向高頻方向移動，而且共振區域也變小，即系統穩定性得到了提高。這種作用尤其在壁厚較小時更為明顯。但是，表面層的出現也降低了壁厚變化對穩定性區域的影響，說明表面效應會削弱壁厚對穩定性的作用。表面效應對納米管系統的復雜影響還可從圖3中得到體現，該圖取管材粘彈性系數v作為分析參數。從圖中可以看出，盡管增大v值不會改變系統共振頻率，但隨著v值增大，共振區域逐漸變小，說明增大管材粘彈性會提高系統穩定性。而在出現表面層以后，共振區域會整體大幅向高頻移動，而且共振區域會顯著縮小，說明系統穩定性再次得到提高。這種作用尤其在高v值時更為明顯。此外，v值變化對共振區域的影響也會因表面層的出現而增大，說明表面效應能夠增強管材粘彈性對穩定性的作用。以上這些都表明了表面效應對納米管系統穩定性的重要作用，在設計分析納米流體機械時應重點考慮。

圖2 不同壁厚t和表面參數下管道的穩定性區域Fig.2StabilityregionsoftheCNTfordifferenttubethicknesstandsurfaceparameters圖3 不同粘彈性系數v和表面參數下管道的穩定性區域Fig.3StabilityregionsoftheCNTfordifferentviscoelasticcoefficientvandsurfaceparameters圖4 不同線性模量K和阻尼因子C時管道的穩定性區域Fig.4StabilityregionsoftheCNTfordifferentlinearmodulusKanddampingfactorCofthelinearviscoelasticmediums

圖4分析了納米管外部粘彈性介質的線性模量K和阻尼因子C對系統穩定性區域的影響。由圖可以看出，增大K值可以使共振區域向高頻移動，且共振區域變小，說明系統穩定性提高。這是因為介質模型中的線性彈簧對管道提供了分散支承，提高K值即提高了支撐力，相當于增大了管道自身的剛度，從而使共振頻率增大，共振失穩也更難發生。而增大C值雖然不會改變共振頻率，但卻會使共振區域大幅縮小，穩定性將會大幅增強。這是因為增大C值會使介質阻尼增大，從而使更多的振動能量被周圍介質吸收，系統將更加穩定。粘彈性介質的這個阻尼效應與管材本身的粘彈性特性對系統穩定性的影響是相似的。總之，增大粘彈性介質的兩個參數均可以提高輸流碳納米管系統的動態穩定性。

4結論

本文應用非局部粘彈性夾層梁模型研究了處于粘彈性介質中的輸流碳納米管的參數共振穩定性問題。通過文中分析，可得到以下結論：

(1) 適當增加納米管壁厚和提高管材粘彈性特性可以增強系統的動態穩定性。

(2) 表面效應本身可以提高系統穩定性，而且還會增強管材粘彈性對穩定性的作用，但卻會降低納米管壁厚對穩定性的影響。

(3) 增大納米管外部粘彈性介質的兩個參數值均可以提高系統的穩定性。

綜上所述，輸流碳納米管系統的動態穩定性會受到包括材料、流體及環境等在內的多個因素的影響，而這些條件之間的相互影響又是相當復雜的。因此，在設計和分析納米流體機械時，應綜合考慮各個影響因素，以保證其安全、穩定的工作。

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