非對稱周期結構中耦合波的傳播特性

非對稱周期結構中耦合波的傳播特性

陳榮,吳天行

(上海交通大學機械系統與振動國家重點實驗室,上海200240)

摘要：為了揭示周期結構中縱向波和彎曲波的耦合作用，設計了對稱和非對稱周期結構。考慮子結構中的縱向和彎曲耦合運動，利用導納法和傳遞矩陣法，得到了周期單元的傳遞方程。由于結構中存在多種波的耦合作用，在求解周期單元的傳播系數時將出現變態矩陣，采用波型分組法，求得了周期結構中多種波型的傳播系數。推導了半無限長和有限長周期結構在縱向力、橫向力和彎矩作用下的動態響應。數值計算結果表明，對稱周期結構中縱向波和彎曲波的帶隙結構相互獨立；非對稱周期結構中縱向波和彎曲波的耦合明顯改變了兩種波的帶隙結構，只有在兩種波阻帶重疊的頻段內結構上的振動響應才存在衰減。

關鍵詞：周期結構；傳遞矩陣法；Euler梁；耦合波；傳播系數

中圖分類號:TB115;TH113;O321文獻標志碼：A

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51079118,51279148);武漢理工大學自主創新研究基金資助(135105006)

收稿日期：2014-05-12修改稿收到日期：2014-07-30

基金項目：國家自然科學基金資助(11072066);國家重點基礎研究發展計劃(973)：(2013CB733004)

收稿日期：2013-05-28修改稿收到日期：2014-02-11

Coupledwavepropagationinasymmetricperiodicstructures

CHEN Rong, WU Tian-xing(StateKeyLaboratoryofMechanicalSystemandVibration,ShanghaiJiaotongUniversity,Shanghai200240,China)

Abstract:Symmetric and asymmetric periodic structures were designed to investigate the coupling of longitudinal and flexural waves propagating in the structures. By use of mechanical mobility method and transfer matrix method, transfer matrices of the elements were derived in the consideration of the coupling of longitudinal and flexural wave motions. The multiple types of waves propagating in the periodic structures were divided into two categories to avoid the numerical difficulties in solving the case of ill-conditioned transfer matrix. The propagation constants of the longitudinal and flexural waves were calculated, and the harmonic responses of semi-infinite and finite periodic structure in symmetric and asymmetric arrangements were obtained. Numerical simulations reveal that longitudinal wave and flexural wave are uncoupled in symmetric periodic structure; the band structures of longitudinal and flexural wave are significantly influenced by the coupling of the two waves, and longitudinal and flexural vibration response are attenuated only in the zones where stop bands of the both waves overlap.

Keywords:periodicstructure;transfermatrixmethod;eulerbeam;couplingwave;propagationconstant

在實際工程中，許多結構如磁懸浮列車的承載導軌、多跨距橋梁、船舶結構、 鋼筋混凝土都是由一定數量相同或類似的單元結構，以相同方式連接而成的，他們具有振動帶隙特性。當一種彈性波在一維對稱周期結構中傳播時，某些頻率范圍內波不能通過，稱之為帶隙(bandgap)；而某些頻率范圍內波可以自由傳播，稱之為通帶(passband)。對于非對稱周期結構，多種波在結構中傳遞和反射之后可能會引起相互干涉、耦合，而不同波型的耦合作用會改變結構中原有單一波型的振動帶隙，進而影響周期結構的振動傳遞衰減性能。因此有必要對非對稱周期結構中不同波的耦合振動帶隙進行研究。

從20世紀60年代開始，各國對周期結構的振動特性給予了更多的關注，并進行了比較深入的理論和實驗研究，研究對象主要集中在實際工程中廣泛應用的周期結構，如周期支撐，周期梁、板和殼體，以及周期桁架結構等。而對復雜周期結構中多種波耦合的研究的文獻則相對較少。早在半個世紀以前，Muller[1]把鋼筋混凝土地板簡化成帶偏心子結構梁，研究了梁結構中耦合波的傳播特性。Mead[2]采用動柔度法研究了一維周期結構中波的傳播，之后他利用單元傳遞方程的特征向量提取正則力向量和位移向量[3]，計算了半無限長周期結構的耦合振動響應，并解釋了帶偏心諧振器的周期簡支梁中縱向-彎曲波的相互耦合、轉換現象[4]。Heckl[5]建立了周期簡支Timoshenko梁的力學模型，研究了周期梁中縱向波、彎曲波、剪切波和扭轉波的耦合特性，并給出了不同波的傳播系數。Roy等[6]采用傳遞矩陣法，研究了帶對稱/非對稱柔性筋的周期梁中的彎曲波的衰減特性。近期，Friss等[7-8]針對一種帶非對稱分支結構的周期梁，研究了半無限長周期梁中縱向-彎曲耦合波的傳播特性，并實驗驗證了有限長周期梁的振動響應。Yi等[9]采用傳遞矩陣法計算了周期單元中耦合波的傳播系數，發現在結構中傳播的三種對稱波和三對反對稱波相互耦合。黃修長等[10-11]研究周期結構中波傳播特性的對象主要集中在一維結構，即結構中只存在單一波型的情形，而對非對稱周期結構中耦合波傳播特性的研究還相對缺乏。

本文分析了非對稱周期結構中縱向-彎曲耦合波的傳播特性，并與對稱周期結構中波傳播進行了比較，揭示了耦合作用對結構中波傳播系數和對半無限長和有限長周期結構振動響應的影響。這一研究工作將為非對稱梁類結構中求解耦合波傳播系數提供一種有效方法，并為非對稱梁類結構的減振設計提供參考依據。

1模型描述

如圖1(a)和(b)所示分別為由橫向梁和豎向梁交替排列組成的半無限長對稱周期結構和非對稱周期結構模型。施加在結構端部的激振力向量FIeiωt包含沿著x方向的縱向力(fIx)、沿著y方向的橫向力(fIy)以及繞著z軸的彎矩(MIz)。因此結構的響應具有三自由度，包括縱向速度、橫向速度和轉角速度。當施加激振力時，非對稱結構上的響應由縱向波和彎曲波共同引起。而為了更好地理解結構中彎曲波和縱向波的耦合效果，有必要分析縱向波和彎曲波互不耦合的結構(即對稱周期結構)的波傳播特性。對稱/非對稱結構的周期單元如圖1(c)所示。為了減少傳播系數的個數，我們在沿著y軸中心的橫梁上分割，這樣選取的周期單元只有一個輸入端一個輸出端，相應地所要求解的傳播系數的個數較少。

圖1　周期結構模型 Fig.1 Model of periodic structure

2力學模型

2.1子結構振動導納方程

如圖2所示為對稱/非對稱結構周期單元的振動傳遞路徑以及各子結構端部振動量Ux的標識，其中Uq=[VqFq]T(下標q表示I、11、12、21、22、31、32、41、42或O)，Vq為端部的速度向量，Fq為端部的力向量。將如圖2中所示各子結構模型化為一具有密度ρ，以損耗因子η描述結構阻尼的Euler梁和一等截面桿的組合模型，綜合兩端自由桿的縱向振動導納和兩端自由Euler梁的彎曲振動導納，得到各子結構的振動導納方程[12]，寫成傳遞方程形式

U11=TAUI，U21=TBU12，U31=TCU22，

U42=TDU32，UO=TEU41

(1)

其中:Ty表示梁y的振動傳遞矩陣(下標y表示A、B、C、D或E)。各子結構連接界面處連續性條件，可知界面力和速度存在如下關系

Uz2=CUz1

(2)

其中C=(I0;0 -I)，I為單位矩陣，0表示零矩陣，下標z=1, 2, 3, 4。

圖2　振動傳遞路徑 Fig. 2 Vibration transmission path

周期單元的振動傳遞方程可以寫成如下形式

UO=Ta(s)UI

(3)

依據傳遞矩陣法，綜合式(1)~式(6)可以求得非對稱結構周期單元的傳遞矩陣Ta=TECTDCTCCTBCTA。同理可以求得如圖2(b)所示對稱結構的傳遞矩陣Ts=TECUCTA，其中

式中:M=Mt+Mb，Tt=TBCTCCTD，Tb=TDCTCCTB，Xij為矩陣X的第3i-2行至(3i)行第3j-2列至3j列子矩陣，i, j=1, 2，這里矩陣X表示矩陣M、Tt或Tb。

把對稱/非對稱周期單元的傳遞方程式(7)寫成導納方程的形式

(4)

2.2傳播系數

當一種波通過周期結構時，由周期單元端部的速度連續性和力平衡性，可知速度向量VI、VO和力向量FI、FO存在如下關系[4]

VO=eμVI，FO=-eμFI

(5)

綜合式(4)和式(5)，可得周期單元端部的速度向量與力向量的關系

VI=(MII-eμMIO)FI

(6)

代入式(4)并消去VI可得方程

(MII+MOO-eμMIO-e-μMOI)FI=0

(7)

表示為特征值問題，式(7)可以寫成

(8)

基于第一節中對速度和力的分類，把周期單元輸入/輸出端的速度和力向量分塊

同樣地，依據類型1和類型2坐標把周期單元的子導納矩陣分塊，并且由于單元的對稱性，子導納矩陣存在如下關系

(9)

其中:子矩陣MII1,1，MII2,2，MIO1,1和MIO2,2都為對稱矩陣。把歐拉公式eμ=(sinhμ+coshμ)/2以及式(13)分別代入式(11)和(12)可得

(10)

(12)

由式(9)或(12)可以求得3對傳播系數，即橫向運動，轉角運動和縱向運動對應的波型的傳播系數。

2.3半無限長周期結構的動態響應

激振力F0施加在半無限長周期結構的端部時，結構中存在三種正向傳播波，對于非對稱周期結構三種波都影響結構的振動響應，而對于對稱周期結構，結構的縱向運動只受縱向波的影響而彎曲運動只受彎曲波的影響。利用波動理論可得到半無限長結構激勵點和傳遞到第q個周期單元右端的速度響應分別為[7]

(12)

(13)

其中e-qμ表示包含所有e-qμi的對角矩陣，i =1,2,3，f+為3個正向傳播波的正則化力向量所組成的3×3矩陣，它通過把3個正向傳遞波的傳播系數-μi依次代入式(11)求得的3個正則力向量疊加而成。

2.4有限長周期結構動態響應

對于半無限長周期結構，不考慮邊界波的反射作用，而工程實際中的周期結構往往是由有限周期單元組成的，因此有必要考慮結構的邊界反射研究有限長周期結構的動態響應。對于包含N個周期單元的兩端自由對稱/非對稱周期結構，把結構在激勵點處分成兩個子結構，分別記為m-子結構和(N-m)-子結構，利用波動理論可得到周期結構在第q個周期單元左端的振動響應方程[8]

Vq=MqmFm

(14)

其中:Mqm=δqm(I+γmm-1δmm)-1為周期結構的導納矩陣δqm=(ζ+e-(q-m))μ+ζ-e(q-m)μe-(N-m)μrBe-(N-m)μ)(f++f-e-(N-m)μrBe-(N-m)μ)-1，γmm=(ζ+e-mμrA+ζ-e-mμ)(-f+e-mμrA-f-e-mμ)-1,δmm可以通過把矩陣δqm中的q替換成m得到， I 為三階單位矩陣,rA=f+-1f-和rB=f--1f+為結構邊界的反射矩陣，ζ+=MIIf+-MIOf+e-μ，ζ-=MIIf--MIOf-eμ。

3數值分析及討論

下面給出了對稱/非對稱周期結構的數值分析，為了簡便起見，我們把所有子結構取相同的物理參數，即所有子結構的材料均為鋁，其密度ρ為2 700kg/m3，彈性模量E為7.8×1010N/m2，結構阻尼通過取復彈性模量實現，即E*=E(1+iη)，η=0.001為結構阻尼比。如圖1(c)所示周期單元中，所有沿著x方向的橫向梁尺寸相同，長度、寬度和厚度分別為0.1m、0.02m和0.01m，所有沿著y方向的豎向梁尺寸相同，長度、寬度和厚度分別為0.05m、0.02m和0.005m。矩陣計算和數值分析在Matlab7.0中完成。

3.1傳播系數

研究表明[7]對稱周期結構中不存在縱向-彎曲耦合波，也就是縱向激振力不會引起彎曲波，而橫向力或彎矩不會激起縱向波。如圖3所示為對稱周期結構中三類波型傳播系數的衰減系數和相位系數的頻變曲線。由于近場彎曲波的相位系數特征比較簡單，為了簡潔起見圖中省略了該系數。縱向波依次在936~1 043Hz，1 522~2 757Hz和大于2 820Hz等頻段出現阻帶，即在這些頻段內波不能傳播。衰減系數越大，表征阻帶內波經過相同周期數的傳播后衰減幅度也越大。在其他頻率范圍，縱向波將毫無衰減地傳遞，稱為通帶。在通帶范圍內，縱向波傳播系數的虛部近似地呈線性遞增或遞減，兩個相鄰阻帶，波的相位相差π。阻帶的頻率位置和帶寬則取決于結構的幾何和材料屬性。彎曲運動則由兩個波型控制，其中一種波型的傳播系數具有很高的衰減系數，在所研究的頻率范圍內都為阻帶，稱之為近場波[7]，與非對稱結構中的近場彎曲波所不同的是，本文所研究對稱結構中近場波在636~892Hz頻段與彎曲波的衰減系數相同。另外一種彎曲波則由通帶和阻帶構成。彎曲波在結構中傳播與否取決于這兩種彎曲波型阻帶的疊加，即只有在164~194Hz，403~896Hz，936~1 075Hz，1 228-2 890Hz，3 057~3 710Hz和大于3 834Hz的頻段內，結構中的橫向運動和轉動才是被完全禁止的。

——為彎曲波，—-為近場彎曲波，---為縱向波 圖3　對稱結構中三類波型傳播系數 Fig.3 Propagation constants in symmetry periodic structure

——為彎曲波，—-為近場彎曲波，---為縱向波 圖4　非對稱結構中三類波型傳播系數 Fig. 4 Propagation constants in asymmetry periodic structure

如圖4所示為非對稱周期結構的傳播系數的衰減系數和相位系數頻變曲線。由于縱向-彎曲波的耦合作用，三種波型對結構的縱向、橫向和彎曲運動都有貢獻。非對稱周期結構中也存在一個衰減系數很大的近場彎曲波，且該系數遠大于如圖3所示結果，因此非對稱周期結構中的近場彎曲波衰減速度更快。如圖3所示的縱向波和彎曲波的相位曲線都是以點的方式相交，并且相交后并不影響各自相位的變化趨勢。而在圖4中，相位曲線相交處，即在234~380Hz和1 093~1 164Hz頻段出現重疊。縱向波的相位經過這些頻段后，變成原來彎曲波的相位，而彎曲波的相位變成縱向波的相位，這表明在該頻段出現了波型的強耦合或波型轉換。在強耦合頻段縱向波和彎曲波在結構中不能傳播，屬于阻帶。另外660~949Hz，1 214~2 804Hz，3 070~3 555Hz和大于3 848Hz等頻段,無論縱向波和彎曲波都不能傳遞，也屬于阻帶,而103~155Hz，384~660Hz, 949~1 060Hz，2 804~3 070Hz和3 555~3 848Hz等頻段,縱向波和彎曲波中總有一種波型被禁止而另一種波型可以自由傳播,屬于通帶，這一點也可以由下一節中結構的振動響應得到驗證。

3.2半無限長周期結構

圖5　復雜力作用下，對稱結構上縱向(上圖)、 橫向(中圖)和轉角(下圖)加速度頻響 Fig.5 Longitudinal, transverse and angular acceleration responses on symmetry structure excited by a complex force

下面我們分析波型耦合對半無限長周期結構振動響應的影響。以在結構端部施加復雜簡諧激振力F0=(1 1 1)T為例，比較無限長對稱/非對稱周期結構的振動響應的區別。如圖5所示為對稱周期結構上距離激勵端前十個周期單元處的加速度頻響，其中ax，ay和θz分別表示縱向，橫向和轉角加速度，加速度頻響以分貝的形式表示。圖5上圖為縱向加速度頻響，它在如圖3所示縱向波的阻帶頻段出現明顯的振動衰減現象，衰減幅度的大小與振動通過的周期數目成正比。圖5的中、下圖所示的橫向和轉角加速度頻響在彎曲波的阻帶頻段出現明顯的振動衰減現象。由此可見，在結構中縱向波和彎曲波共同存在的情形下，縱向振動響應不受彎曲波的影響，而彎曲振動響應也不受縱向波的影響，這也驗證了對稱周期結構中不存在縱向波和彎曲的耦合。另外，如圖5所示，在縱向波和彎曲的通帶，結構上無論經過多少個周期單元，其上振動響應毫無衰減。

圖6　復雜力作用下，非對稱結構上 縱向、橫向和轉角加速度頻響 Fig.6 Longitudinal, transverse and angular acceleration responses on asymmetry structure excited by a complex force

如圖6所示為非對稱周期結構上距離激振端前十個周期單元處的加速度頻響，它們是由結構中縱向和彎曲波的耦合的作用結果。其中上圖為縱向加速度頻響，中圖和下圖所示分別為橫向和轉角加速度頻響。與對稱周期結構振動響應最明顯的區別就是非對稱周期結構的縱向和彎曲振動響應的衰減區域相同，而這些區域剛好與如圖4所示阻帶，即縱向波和彎曲波都不能在結構中傳播的頻率范圍一致，其衰減幅度的大小與振動通過的周期數目成正比。而在通帶無論經過多少個周期單元，結構上的縱向和彎曲振動響應無衰減。

3.3有限長周期結構

無限長周期結構僅考慮結構上的入射波(即正向傳播波)，而工程實際中的結構都是有限長度的，不能忽略其邊界的反射波(即負向傳播波)。下面計算含10個周期單元的有限長對稱/非對稱周期結構在復雜激振力作用下的振動響應。對稱周期結構兩端自由，激振力作用于結構端部，分析結構上激勵點以及距離激勵點2個單元、4個單元和8個單元處的縱向加速度、橫向加速度和轉角加速度響應，結果分別如圖7中上圖、中圖和下圖所示。與無限長對稱周期結構的振動響應相同點之處為，有限長周期結構上的縱向振動在縱向波阻帶出現衰減，彎曲振動也在彎曲波阻帶出現衰減，只是衰減幅度稍微變小。不同之處為，在波型通帶，無限長周期結構中不同位置的振動響應相同，且曲線平滑無波峰；而有限長周期結構加速度頻響曲線出現很多峰值，發現在每個通帶，曲線上存在10個峰值，這一數值與結構中的周期數目是相等的，峰值所在的頻率與兩端自由周期結構固有頻率一一對應。

——　激振點，— —距離2個單元， ---距離4個單元， — - —距離8個單元 圖7　復雜力作用下，對稱結構上縱向(上圖)、 橫向(中圖)和轉角(下圖)加速度頻響 Fig.7 Longitudinal, transverse and angular acceleration responses on symmetry structure excited by a complex force

如圖8所示為兩端自由非對稱周期結構上的縱向加速度、橫向加速度和轉角加速度響應。其中實線、虛線、點線和點劃線分別為激勵點以及距離激勵點分別2個單元、4個單元和8個單元處的加速度頻響曲線。與無限長非對稱周期結構的振動響應相同點之處為，有限長周期結構上的縱向振動和彎曲振動也在縱向-彎曲耦合波阻帶出現衰減。不同之處為，有限長周期結構加速度頻響曲線出現很多峰值，在每個通帶，曲線上存在10個峰值，峰值所在的頻率與兩端自由周期結構固有頻率一一對應。

——激振點，— —距離2個單元， ---距離4個單元， — - —距離8個單元 圖8　復雜力作用下，非對稱結構上縱向、橫向和轉角加速度頻響 Fig.8 Longitudinal, transverse and angular acceleration responses on asymmetry structure excited by a complex force

4結論

本文設計了對稱和非對稱周期結構，求解了周期結構中縱向和彎曲波的傳播系數，推導了半無限長和有限長周期結構在復雜簡諧力作用下的動態響應。數值研究結果表明：對稱周期結構中縱向波和彎曲波的帶隙結構相互獨立，縱向波的阻帶決定結構縱向振動響應的衰減頻段，而彎曲波的阻帶決定彎曲振動響應的衰減頻段；非對稱周期結構中縱向波和彎曲波的耦合明顯改變了兩種波的帶隙結構，只有在兩種波阻帶重疊的頻段結構上的振動響應才有衰減，縱向和彎曲振動響應衰減的頻段相同。本文的研究工作為非對稱梁類結構中求解耦合波傳播系數提供了一種有效方法，并為非對稱梁類結構的減振提供參考依據。

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第一作者夏雪寶男，博士生，1989年1月生

通信作者向陽女，教授,博士生導師，1962年10月生

郵箱：yxiang@whut.edu.cn

第一作者潘冬男，博士，1984年5月生

郵箱：pandonghit@163.com