從錯誤題解談二重積分極坐標變換的積分限安排

從錯誤題解談二重積分極坐標變換的積分限安排

陳鳳德1陳柳娟2呂書龍1

(1.福州大學數學與計算機科學學院，福建福州350116；2.福建教育學院理科研修部，福建福州350025)

摘要：以學生的錯誤解答為切入點，給出二重積分極坐標變換下積分限安排的一點心得體會。

關鍵詞：數學分析；二重積分；極坐標

作者簡介：陳鳳德(1974-)，男，福建屏南人，福州大學教授。

中圖分類號：O175.14文獻標識碼：A

重積分的計算在數學分析課程中多變量積分學部分占有特別重要的地位，其掌握與否直接涉及到后續的曲線積分，曲面積分以及三大公式的學習，在二重積分的計算中，極坐標變換和廣義極坐標變換是一個重要內容,而這部分內容并不容易掌握，文獻[1-3]對極坐標系下積分限的安排進行了探討，其中文[2-3]側重從教師教學研究的角度進行了深入的理論探討，文[1]則根據學生學習中出現的解題情況進行了探討，回答了學生作業中出現的跟標準答案不一致的情況。筆者在教學中發覺哪怕限制角度變換范圍到[0，2π]，由于受直角坐標系的影響，學生照樣會出現錯誤。本文受論文[1]啟發，也從學生的常見錯解出發，來進一步談談學生該如何學習極坐標系下重積分積分限的安排。

由復旦大學數學系歐陽光中、朱學炎、金福臨和陳傳璋等老師[4]編寫的《數學分析》(第三版)是國內很多高校數學系采用的教材,其下冊第297頁第7題的(3)(4)兩小題：

總體來說，教師在教學中要有意識的強調：(1)在直角坐標系下畫出草圖；(2)借助x=rcosθ,y=rsinθ確定邊界方程r=r1(θ),r=r2(θ)；(3)強調的積分限安排要以固定的θ來確定，是從極角θ出發的射線跟r=r1(θ),r=r2(θ)的交點。經過這樣的強調后學生在做作業時就可能會較少出現上述錯誤，或者在出現上述錯誤后，經過教師講評也能較快理解自己的錯誤之處并進一步掌握正確的積分限安排手法。

參考文獻：

[1]任麗平.用極坐標計算二重積分教學初探[J].呂梁高等專科學校學報,2009(1).

[2]高玉芬.重積分在極坐標變換下確定積分限的方法探究[J].青海師范大學學報(自然科學版),2012(1).

[3]袁榮.利用極坐標計算二重積分的方法與技巧[J].數學學習與研究,2012(1).

[4]歐陽光中,朱學炎,金福臨，等.數學分析(下)(第三版)[M].北京：高等教育出版社,2010.