軸向運動層合薄壁圓柱殼內共振的數值分析

軸向運動層合薄壁圓柱殼內共振的數值分析

張宇飛1,3，王延慶2，聞邦椿3

(1. 沈陽航空航天大學航空航天工程學部, 沈陽110136； 2.東北大學應用力學研究所，沈陽110819； 3.東北大學機械工程與自動化學院，沈陽110819)

摘要：以軸向運動復合材料薄壁圓柱殼為研究模型，考慮其彈性模量隨振動頻率變化(動態彈性模量)，據Donnell非線性扁殼理論及經典層合殼理論獲得模型非線性振動微分方程。采用含四個廣義模態坐標的位移展開式，利用Galerkin方法對振動微分方程離散化；用變步長四階Runge-Kutta法對非線性模態方程組進行數值積分，研究復合材料圓柱殼1:1:1:1的內共振現象；討論圓柱殼軸向運動速度、阻尼系數及外激勵幅值對系統1:1:1:1內共振響應作用。

關鍵詞：復合材料圓柱殼；動態彈性模量；內共振；軸向運動；響應

中圖分類號:O322文獻標志碼：A

基金項目：國家自然科學基金(11072072,11502120)；河南省基礎與前沿技術研究(152300410016)

收稿日期：2015-04-01修改稿收到日期：2015-05-26

Internal resonance of axially moving laminated thin cylindrical shells

ZHANGYu-fei1,3,WANGYan-qing2,WENBang-chun3(1. Faculty of Aerospace Engineering, Shenyang Aerospace University, Shenyang 110136, China；2. Institute of Applied Mechanics, Northeastern University, Shenyang 110819, China；3. School of Mechanical Engineering and Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China)

Abstract:A thin composite circular cylindrical shell moving in axial direction was investigated. Based on the Donnell’s nonlinear shallow-shell theory, together with the classical laminated shell theory, a nonlinear vibration equation of the system was derived, in which the effects of dynamic Young’s modulus, damping and geometric large deformation were considered. The modal expansion with four generalized modal coordinates was adopted, and the vibration equation was discretized by using the Galerkin method. Applying variable step-size four-order Runge-Kutta method, the nonlinear modal equations of the system was solved, and the nonlinear frequency response curves, which show 1:1:1:1 internal resonance phenomenon in the system were obtained. The effects of moving speed, damping coefficients and amplitudes of external force on the nonlinear vibration response of the shell were also analysed.

Key words:composite circular cylindrical shell; dynamic Young’s modulus; internal resonance; axially moving; response

圓柱殼結構廣泛用于土木、航空航天、海洋及機械、核工業、化學、汽車等工程領域。因此已有諸多針對其結構振動特性的研究[1-4]。

較傳統的金屬材料，復合材料具有比強度高、比模量大、化學及環境適應性好等優點。因此，復合材料圓柱殼的振動分析頗受關注。Hua等[5]利用廣義微分求積法分析不同邊界條件下各向同性旋轉復合材料薄壁圓柱殼的固有頻率。李健等[6]通過對復合材料圓柱殼的固有特性實驗研究表明，復合材料圓柱殼的彈性模量隨殼體振動頻率變化。王延慶等[7]基于多元L-P法分析復合材料圓柱殼的內共振。Wang等[8]在Donnell非線性扁殼理論基礎上提出研究圓柱殼振動問題的新理論模型。

此外，軸向運動體系亦廣泛用于工業領域，如軸向運動的纜繩、動力傳輸帶、纜車弦索等。Wickert[9]采用KBM漸進法研究軸向運動彈性梁的非線性振動。Riedel等[10]利用Hamilton原理推導軸向運動梁的振動微分方程，研究系統3:1內共振。馮志華等[11]研究內共振條件下直線運動梁的動力穩定性。Chen等[12]用Galerkin離散法及平均法研究軸向加速黏彈性梁橫向振動的穩定性。張偉等[13]建立具有線性外阻尼的黏彈性傳動帶平面運動非線性動力學方程，利用多尺度法、離散法獲得黏彈性傳動參數激勵下傳動帶在內共振時的周期解分岔及混沌動力學。陳樹輝等[14]用多元L-P法分析軸向運動梁內共振。Ding等[15]分析軸向運動黏彈性梁的穩態周期響應。Yang等[16]研究軸向加速黏彈性梁橫向振動的分岔與混沌。

由于圓柱殼具有軸對稱結構，且周向波數n相同時驅動模態與伴隨模態固有頻率亦相同，因而在非線性振動中兩模態間會發生1:1內共振。而圓柱殼具有高模態密度特性，不同軸向半波數模態間也會產生較復雜的內共振。本文針對軸向運動復合材料圓柱殼，考慮其彈性模量隨振動頻率變化(動態彈性模量)，據Donnell非線性扁殼理論及經典層合殼理論，獲得模型的非線性振動微分方程；采用含四個廣義模態變量的位移展開式，用變步長四階Runge-Kutta法對系統非線性振動響應進行數值分析，研究復合材料圓柱殼1∶1∶1∶1內共振現象，并討論圓柱殼軸向運動速度、阻尼系數及外激勵幅值對其非線性振動響應影響。

1振動微分方程

考慮兩端簡支軸向運動復合材料薄壁圓柱殼模型見圖1，過x軸作一縱向截面，得圓柱殼截面分層見圖2。其中E18#為各向同性玻璃纖維布，USN1000為各向同性碳素布，中間粘層為環氧樹脂。

圖1　軸向運動復合材料薄壁圓柱殼示意圖 Fig.1 Model ofa composite circular cylindrical shell moving in the x-direction

圖2　復合材料圓柱殼截面幾何形狀 Fig.2 Geometry of a composite circular cylindrical shell

橫向振動中考慮圓柱殼軸向速度，則復合材料薄壁圓柱殼動平衡方程為

(1)

式中：F(t)為外激振力，表達式為

F(x,θ,t)=F0cos(ωt)δ(x-x0)δ(θ-θ0)

(2)

式中：x0=0.525 m，θ0=π/24為外激振力作用位置。

考慮復合材料的彈性模量隨振動頻率變化，兩者關系為

(3)

各向同性層合殼第k層物理方程[17]為

(4)

式中：Kx，Kθ為中面彎曲撓曲率；Kxθ為中面扭曲率；Qij為折減剛度矩陣，其中各元素表達式為

(5)

據Donnell非線性扁殼理論，中面應變與曲率表達式為

(6)

式中：Ek(ω)為第k層彈性模量；μk為第k層泊松比。

層合殼內力表達式為

(7)

據式(1)～式(7)，得軸向運動復合材料薄壁圓柱殼非線性振動微分方程為

(8)

式中：Function(w)為關于w的函數表達式，因其形式較復雜，限于篇幅，此處略去。

2Galerkin截斷

由文獻[2]知，軸向模態m對圓柱殼非線性振動特性影響較大,考慮Donnell理論對n≥5較精確，因此選擇模態組合(m=1,2；n=6)分析圓柱殼的非線性動力學行為。所用含四個模態變量的位移形式為

Bm,6(t)sin(6θ)]

(9)

振型函數為

(10)

定義加權函數為

(11)

〈Function(w),zs〉=

(12)

利用Galerkin法對方程(8)離散化，由式(12)獲得關于A1,6(t),B1,6(t),A2,6(t),B2,6(t)的二階非線性常微分方程組，即

(13)

式中：Si，Hi(i=1～15)為積分系數。

3數值分析及結果

f1=0.008 7,c=20 Ns/m3時系統內共振頻率-響應在不同軸向運動速度下的變化規律見圖4。由圖4看出，在不同速度下四階模態均被激勵，說明內共振均能發生，且速度增加時四階模態振幅均增大，即速度增加對四階模態均為軟效應。速度較大時范圍較窄的一段分支消失，各階模態解的分支均減少為2個。

(a)　(1,6)驅動模態 (b)　(1,6) 伴隨模態 (c)　(2,6)驅動模態 (d)　(2,6)伴隨模態 圖3　各階模態幅頻特性曲線 Fig.3 Frequency-response curves for different modes

(a)　(1,6) 驅動模態 (b)　(1,6)伴隨模態 (c)　(2,6)驅動模態 (d)　(2,6)伴隨模態 圖4　不同軸向運動速度下幅頻特性曲線 Fig.4 Frequency-response curves for different moving speeds

f1=0.008 7,V=2 m/s時不同阻尼系數驅動模態的幅頻特性曲線見圖5。由圖5看出，阻尼系數增大， (1,6) 驅動模態的振動響應逐漸減小，且共振區間亦逐步縮小。與此相反，(2,6) 驅動模態振動響應則逐漸增加，說明阻尼系數對兩階驅動模態有不同的定量影響。

c=20 Ns/m3,V=2 m/s時不同激振力幅值下系統驅動模態的幅頻特性曲線見圖6。由圖6看出，激振力幅值增大(1,6)的驅動模態非線性振動響應增大，且硬彈簧特性增強，內共振區間擴大，兩模態間耦合作用逐漸強烈；(2,6)的驅動模態非線性振動響應宏觀呈增大趨勢，激振力幅值取較小數值f1=0.001 31時，有個分支的幅值增長較快，甚至超過較大激振力時的幅值，但共振區間已變小，兩模態間耦合已不像激振力幅值較大時顯著。

(a) (1,6)驅動模態(b) (2,6)驅動模態(a) (1,6)驅動模態(b) (2,6)驅動模態圖5 不同阻尼系數時幅頻特性曲線Fig.5Frequency-responsecurvesfordifferentdampingcoefficients圖6 不同激勵幅值時幅頻特性曲線Fig.6Frequency-responsecurvesfordifferentamplitudesofforce

4結論

考慮復合材料圓柱殼的彈性模量隨振動頻率變化(動態彈性模量)，據Donnell非線性扁殼理論及經典層合殼理論推導該圓柱殼軸向運動非線性振動方程，并用數值方法分析該系統非線性振動響應，結論如下：

(1)在(1,6)頻率附近，模態A1,6(t)，B1,6(t)，A2,6(t)，B2,6(t)均被激發，且響應均不為零，幅頻特性曲線呈多條解分支，驅動模態A1,6(t)與A2,6(t)分別與伴隨模態B1,6(t)及B2,6(t)產生跳躍位置相同,可判斷系統產生1∶1∶1∶1內共振。

(2)對于本文復合材料圓柱殼，內共振在不同軸向速度下均會發生。且當速度增加時四階模態振幅均增大，說明均為軟效應。速度較大時范圍較窄的一段分支消失，各階模態解的分支均減少為2個。

(3)阻尼系數增大使(1,6)驅動模態振動響應逐漸減小，且共振區間縮小。而(2,6)的驅動模態振動響應則逐漸增加，說明阻尼系數對兩階驅動模態定量影響不同。

(4)激振力幅值增大使(1,6)、(2,6)的驅動模態非線性振動響應總體增大，且硬彈簧特性增強，內共振區間擴大，兩模態間耦合作用逐漸強烈；激振力幅值取較小值時，有個分支幅值超過較大激振力時幅值，共振區間變小，兩模態間耦合已不顯著。

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第一作者肖新科男，博士，副教授，1982年2月生